2025高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(含答案)

高考数学一轮总复习知识梳理：
第三讲 函数的奇偶性与周期性
知 识 梳 理
知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数
定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x 都有 f (－x )＝f (x ) ，那么函数f (x )是
偶函数 都有 f (－x )＝－f (x ) ，那么函数f (x )是奇函数
图象
特征 关于 y 轴 对称
关于 原点 对称 知识点二 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫做f (x )的最小正周期．
归 纳 拓 展
1．奇(偶)函数定义的等价形式
(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f －x
f x ＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；
(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f －x
f x ＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．
2．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为奇函数，在公共定义域内
(1)y ＝f (x )±g (x )为奇函数；
(2)y ＝f (x )g (x )与y ＝f x
g x 为偶函数；
(3)y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为奇函数．
同理若y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共定义域内均为偶函数，则y ＝f (x )±g (x )，y ＝
f (x )
g (x )，y ＝f x
g x ，y ＝f [g (x )]，y ＝g [f (x )]均为偶函数．
若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为偶函数，则在公共定义域内y ＝f (x )g (x )与y ＝f x
g x 均为奇函数，y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为偶函数．
3．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T
(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |；
(2)若f (x ＋a )＝1f x ，则T ＝2|a |；
(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |.
4．函数图象的对称关系
(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称；
(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．
5．一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x
为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1
a 2x ＋1为奇函数；
(3)函数f (x )＝log a b －x
b ＋x 为奇函数；
(4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．
双 基 自 测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y ＝x 2，x ∈(－2,2]是偶函数．( × )
(2)若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0.( × )
(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( √ )
(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )
(5)2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(0，＋∞)的一个周期．( × )
(6)周期为T 的奇函数f (x )，一定有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0.( × )
[解析] (6)举反例．函数f (x )＝tan x ，T ＝π，f (T )＝f (π)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2无意义，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0不对．
题组二 走进教材
2．(多选题)(必修1P 85T2改编)给出下列函数，其中是奇函数的为( BC )
A ．f (x )＝x 4
B ．f (x )＝x 5
C ．f (x )＝x ＋1x
D ．f (x )＝1x 2
[解析] 对于f (x )＝x 4，f (x )的定义域为R ，
由f (－x )＝(－x )4＝x 4
＝f (x )，
可知f (x )＝x 4是偶函数，
同理可知f (x )＝x 5，f (x )＝x ＋1x 是奇函数，f (x )＝1
x 2是偶函数． 3．(必修1P 85T3改编)若函数y ＝f (x )(x ∈(a ，b ))为奇函数，则a ＋b ＝ 0 .
4．(必修1P 85T1改编)若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B )
A ．(a ，－f (a ))
B ．(－a ，－f (a ))
C ．(－a ，－f (－a ))
D ．(a ，f (－a ))
[解析] ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．
5. (必修1P 87T12改编)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为_(－2,0)∪(2,5]__.
[解析] 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；
当2<x ≤5时，f (x )<0，
又f (x )是奇函数，
∴当－2<x <0时，f (x )<0，
当－5≤x <－2时，f (x )>0.
综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
6．(必修1P 87T11改编)定义在R 上的奇函数f (x )以2为周期，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值是( A )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[解析] 根据函数的周期性和奇偶性得到f (3)＝f (－1)＝－f (1)、f (2)＝f (0)＝0，从而可求f (1)＋f (2)＋f (3)．因为函数以2为周期，所以f (3)＝f (－1)，f (2)＝f (0)，因为函数是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (0)－f (1)＝0，故选A.
7．(必修1P 86T3改编)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝ －7 .
[解析] 因为f (x )为R 上的奇函数，
所以f (0)＝0，
即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，
故f (x )＝2x
－1(x ≥0)，
则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.
题组三 走向高考
8．(2023·新课标Ⅱ，4,5分)若f (x )＝(x ＋a )·ln 2x －1
2x ＋1为偶函数，则a ＝( B )
A ．－1
B ．0 C.12 D ．1 [解析] f (－x )＝(－x ＋a )ln －2x －1－2x ＋1＝(－x ＋a )ln 2x ＋12x －1＝(x －a )ln 2x －1
2x ＋1，∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ＋a ＝x －a ，∴a ＝0.
9．(2021·全国乙，4)设函数f (x )＝1－x
1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( B )
A. f ()x －1－1
B ． f ()x －1＋1 C. f ()x ＋1－1 D ． f ()x ＋1＋1
[解析] 思路一：将函数f (x )的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；
思路二：由函数f (x )的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．
解法一：f (x )＝－1＋2
x ＋1，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f (x －1)＋1的图象，关于(0,0)对称，所以函数f (x －1)＋1是奇函数，故选B.
解法二：选项A ，f (x －1)－1＝2x －2，此函数为非奇非偶函数；选项B ，f (x －1)＋1＝2x ，
此函数为奇函数；选项C ，f (x ＋1)－1＝－2x －2
x ＋2，此函数为非奇非偶函数；选项D ，f (x ＋
1)＋1＝2
x ＋2，此函数为非奇非偶函数，故选B.。