2023年上海市宝山区高三上学期高考一模数学试卷含详解

2023届宝山区高三一模数学试卷
2022.12
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.
集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____．
2.函数
2
1log 1x
y x +=-的定义域是______.
3.设复数
()
i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则
z =
______.
4.当1x >时，
4
1x x +
-的最小值为______．
5.若函数y =a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a =_________
6.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.
7.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.
8.已知平面向量a 、b 满足3a = ，4
b =
，则2a b + 在a 方向上的数量投影的最小值是______.
9.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）10.双曲线C 的左、右焦点分别为
1
F 、
2
F ，点A 在y 轴上.双曲线C 与线段1AF 交于点P ，与线段
2
AF 交于点Q ，
直线1AF 平行于双曲线C 的渐近线，且
:5:6
AP PQ =，则双曲线C 的离心率为______.
11.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大
.
12.对于正整数n ，设
n
x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记[](1)(2)n n a n x n =+≥，其中[]
x
表示不超
过x 的最大整数，则()23420221
1012a a a a +++⋅⋅⋅+=
______.
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）
13.已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件
A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（
）人.
A.16
B.18
C.20
D.24
15.设sin cos x αα+=，且3332
3210sin cos a x a x a x a αα+=+++，则0123a a a a +++=（
）
A
.
－1
B.
12
C.1
D.
16.已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线C ：()2
20x py p =>上，过点()0,1B -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点：①抛物线C 的准线为12
y =-；②直线AB 与抛物线C 相切；③2OP OQ OA ⋅>；④2
BP BQ BA ⋅=，以上结论中正确的是（）A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17.已知函数()sin 22f x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调增区间；
（
2）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，当()0f A =，1b =，且三角形ABC 求a .
18.已知数列{}n a 满足11a =，134(2)n n a a n -=+≥.（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）写出
5
21
1
i i a
-=∑的具体展开式，并求其值.
19.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11C D 、1C C 、1A
A 的中点.
（1）证明：M 、N 、1A 、B 四点共面；
（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）求三棱锥-P MNB 的体积.
20.已知椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN 面积的最大值；
（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数()2
f x x ax a =--，R a ∈.
（1）判断函数()f x 的奇偶性；
（2）若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；
（3）记()e x
g x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有
()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.
2023届宝山区高三一模数学试卷
2022.12
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____．【答案】{2}【解析】
【分析】直接利用交集的定义求解．【详解】解：∵A ={1，2}，B ={2，3}，∴A ∩B ={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．2.函数2
1log 1x
y x
+=-的定义域是______.【答案】()1,1-【解析】
【分析】根据已知，可得
101x
x
+>-，解出不等式即可得到结果.【详解】要使函数2
1log 1x
y x +=-有意义，则应满足
101x x
+>-，即101x x +<-该不等式等价于()()110x x -+<，解得11x -<<.所以，函数2
1log 1x
y x
+=-的定义域是()1,1-.故答案为：()1,1-.
3.设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.
【答案】【解析】
【分析】化简z ，根据复数模的运算即可求得结果.
【详解】因为()i 2i 12i z =-=+，所以z ==.
.4.当1x >时，4
1
x x +-的最小值为______．【答案】5【解析】
【分析】将所求代数式变形为441111
x x x x +
=-++--，利用基本不等式即可求解.【详解】解：因为1x >，所以10x ->，
所以44111511
x x x x +
=-++≥+=--，当且仅当411
x x -=-，即3x =时等号成立，
所以4
1
x x +
-的最小值为5.故答案为：5.
5.若函数y =a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a =_________【答案】3【解析】
【分析】由指数函数是单调函数，代入端点计算最值之和，即可求解.【详解】函数y =a x (a ＞0，a ≠1)为单调函数，
所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为212a a +=.解得3a =或-4（舍）.答案为：3.
6.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.【答案】0.3【解析】
【分析】根据独立事件概率的乘法公式，即可求得结果.
【详解】记“第一个篮球运动员罚球一次，命中”为事件A ，“第二个篮球运动员罚球一次，命中”为事件B ，则()0.6P A =，()0.5P B =，事件A 和B 相互独立.
则“两人各投一次，则他们同时命中”可用事件AB 来表示，()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.故答案为：0.3.
7.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.
##3π3
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可.
【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则2π2πr =，∴1r =.
∴圆锥的高h =
=，
∴圆锥的体积21ππ33
V r h =
=.故答案为：
33
π.
8.已知平面向量a 、b 满足3a = ，4b = ，则2a b + 在a
方向上的数量投影的最小值是______.
【答案】2【解析】
【分析】先求出()
2a b a +⋅
的范围，根据()
2a a
b a +⋅ 即可求得结果.【详解】因为2a b + 在a
方向上的数量投影为()
2a a
b a +⋅ ，所以当()
2a b a +⋅
最小时，数量投影取得最小值.
设,a b θ= ，则()
222a b a a a b +⋅=+⋅ 22cos a a b θ=+
1812cos θ=+.
因为1cos θ1-＃，则当cos 1θ=-时，(
)
21812cos a b a θ=+⋅+
有最小值6.
所以，2a b +
在a
方向上的数量投影的最小值是
()2263
a b a a
⋅=+= .故答案为：2.
9.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）【答案】96【解析】
【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有1
3
44C A 96=种.故答案为：96
10.双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在y 轴上.双曲线C 与线段1AF 交于点P ，与线段2AF 交于点Q ，直线1AF 平行于双曲线C 的渐近线，且:5:6AP PQ =，则双曲线C 的离心率为______.【答案】5
3
【解析】
【分析】根据双曲线的对称性，可得PQ 与x 轴平行.双曲线的渐近线方程为b
y x a =±
，可得出0,bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.根据1//MP OF ，可得
1
MP MA OF OA
=
，代入相关数值，可得43a b =，进而得出离心率.
【详解】
如图，PQ 交y 轴于M .根据双曲线的对称性，知PQ 与x 轴平行，且1
2
PM PQ =.设5AP k =()0k >，则6PQ k =，3PM k =
，所以4MA k ==.
双曲线渐近线方程为b
y x a =±.()1,0F c -，由已知直线1AF 斜率为b a
，则直线1AF 的方程为()b y x c a =
+，则0,bc A a ⎛⎫
⎪⎝⎭，bc OA a =.
因为1//MP OF ，所以有1MP
MA
OF OA
=，即34k k
bc c a
=
，整理可得，43a b =，则43b a =，则2
2222242539a c a b a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以有22
2259
c e
a ==，所以53e =.故答案为：
5
3
.11.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大
.
【答案】60︒##π
3
【解析】
【分析】遮阴影面ABC '面积达到最大即是点C '到AB 的距离最大，根据正弦定理表示出点C '到AB 的距离，即
可找出角度取值与面积之间的关系．
【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥交AB 于D ，连接C D '，由题可知C D AB
'⊥因此C DC '∠就是遮阳篷ABC 与地面所成的角，因为C D AB '⊥，所以求遮阴影面ABC '面积最大，即是求C D '最大，其中已知30CC D '∠=︒，32CD =设DCC θ'∠=，()0,150θ∈︒︒，根据正弦定理
62sin 30sin CD C D
C D θθ
''=⇒=︒当90θ=︒时遮阴影面ABC '面积最大，此时60C DC '∠=︒故答案为：60︒
12.对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记[](1)(2)n n a n x n =+≥，其中[]
x 表示不超过x 的最大整数，则()23420221
1012
a a a a +++⋅⋅⋅+=______.【答案】2021【解析】
【分析】根据导数可得()f x 为单调递增函数，根据零点存在性定理找到n x 的取值范围，代入[](1)(2)n n a n x n =+≥即可得出通项公式，求出答案.
【详解】设()32f x nx x n =+-，则()2
32f x nx '=+，当2n ≥时，()0f x ¢>因此()f x 为单调递增函数，
又因当2n ≥时，()
()
2
3
32111110n n n n f n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++<+且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x ，且,11n n x n ⎛⎫
∈
⎪+⎝⎭
，所以(1)1n n n x n <+<+，[](1)n n a n x n =+=，
因此
()()()234202222022202111
234202220211012101221012
a a a a +⨯+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯故答案为：2021
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）
13.已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件
A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
【答案】B 【解析】
【分析】举出特例，即可说明充分条件不成立，必要条件显然成立，即可得到答案.【详解】令1a =，3b =，则4a b +=是偶数，而,a b 都是奇数；
若a ，b 都是偶数，显然a b +是偶数.
所以，“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的必要而不充分条件.故选：B.
14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.
A.16
B.18
C.20
D.24
【答案】A 【解析】
【分析】由已知可求得抽样比为
1
20
，再求出高三的学生数，即可求出结果.【详解】设高一学生数为6k ，则高二学生数为5k ，高三学生数为4k .所以，该高中共有学生数为654151200k k k k ++==，解得80k =.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为601
120020
=，所以，高三年级应该抽取1
4801620
⨯⨯=人.故选：A.
15.设sin cos x αα+=，且3332
3210sin cos a x a x a x a αα+=+++，则0123a a a a +++=（
）
A.－1
B.
1
2
C.1
D.
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，求出21
sin cos 2
x αα-=，则可以得到，
3
3
3232103
322
sin cos a x x a x a x x a αα+==++-+，进而可得0123a a a a +++的值.
【详解】sin cos x αα+=，故22(sin cos )x αα+=，
得2
12sin cos x αα+=，得到21
sin cos 2
x αα-=，
3322sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )
αααααααα+=+-+23(3)3222
x x x x -==-，
所以，232103
3322
a x a x a x a x x =++-+，
得00a =，132a =
，20a =，312
a =-，则01231a a a a +++=故选：C
16.已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线C ：()2
20x py p =>上，过点()0,1B -的直线交抛物线C 于P 、Q 两
点：①抛物线C 的准线为12
y =-；②直线AB 与抛物线C 相切；③2OP OQ OA ⋅>；④2
BP BQ BA ⋅=，以上结论中正确的是（）
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意求出抛物线C 方程，再假设出直线AB 的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．【详解】将点()1,1A 代入抛物线方程，可得12p =
，故抛物线C 的准线为1
4
y =-，①错误；抛物线C 方程为2x y =，令()2
f x x =，()12AB f k '==，抛物线在A 点处切线斜率与直线AB 斜率相同，因此直线AB 与抛物线C 相切，②正确；
由题可知2
2OA =，直线PQ 斜率存在，所以设直线PQ 的方程为1y kx =-，交点()2
11,P x x ，(
)
2
22,Q x x ，联立
方程21
x y
y kx ⎧=⎨=-⎩，整理可得：210
x kx -+=22404k k ∆=->⇒>，且12x x k +=，121
=x x
OP OQ ⋅=
=
因为24k >2
2OA >=，③正确；
()22
121211BP BQ k x x k ⋅===+=+因为24k >，所以2
15
BP BQ k ⋅=+>()()22210115BA =-++=，所以2
BP BQ BA ⋅>，④错误
故选：B ．
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17.已知函数()sin 22f x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，当()0f A =，1b =，且三角形ABC 求a .
【答案】（1）5πππ,π1212k k ⎡⎤
⎢⎥⎣++⎦
-()k ∈Z ；
（2）a =.【解析】
【分析】（1）由已知可得()π2sin 23f x x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）先解出π
3
A =，根据面积公式可求得4c =，根据余弦定理，即可求解.【小问1详解】
由题意可得，()sin 22f x x x =
+12sin 2222x x ⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭
π2sin 23x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ
2π22π232
k x k -
+≤+≤+，k ∈Z 可得，5ππ
ππ1212
k x k -
+≤≤+，k ∈Z .所以，函数()f x 的单调增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤
⎢
⎥⎣++⎦
-()k ∈Z .【小问2详解】
由（1）知，()π2sin 23f A A ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
.因为()0f A =，所以π2π3
A k +=，k ∈Z ，则ππ
62k A =-+，k ∈Z ，
又A 是锐角，所以πππ0622
k <-+<，k ∈Z ，解得1k =，则π
3A =.
又1b =
，ABC S =
113
sin 1222
ABC S bc A ==⨯⨯= ，所以，4c =.
根据余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-2
2
1
14214132
=+-⨯⨯⨯=
，所以a =.18.已知数列{}n a 满足11a =，134(2)n n a a n -=+≥.（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）写出
5
21
1
i i a
-=∑的具体展开式，并求其值.
【答案】（1）证明见解析；（2）32n
n a =-；
（3）1138388
-.
【解析】
【分析】（1）利用构造法，得到123(2)n n a a -+=+，可证明{}2n a +是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式，求出23n
n a +=，进而可求{}n a 的通项公式；
（3）直接写出
5
21
1
i i a
-=∑的具体展开式，根据n a ，利用等比数列的前n 项和公式，直接计算
5
21
1
i i a
-=∑可得答案.
【小问1详解】
134(2)n n a a n -=+≥，等式两边同时加上2，
得123(2)n n a a -+=+，又11a = ，123a +=则{}2n a +为首项是3，公比3q =的等比数列【小问2详解】
由（1）得，{}2n a +为首项是3，公比3q =的等比数列，
23n n a ∴+=，故32n n a =-.
【小问3详解】
5
21
135791
i i a
a a a a a -==++++∑35793333325
=++++-⨯53(19)1019-=--1153383(91)10888
=⨯--=-
19.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11C D 、1C C 、1A
A 的中点.
（1）证明：M 、N 、1A 、B 四点共面；
（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）求三棱锥-P MNB 的体积.【答案】（1）证明见详解；
（2）arccos 10
；（3）
13
.【解析】
【分析】（1）由已知可证明11//A B CD 和1//MN A B ，即可证明1//MN A B ，进而得出结果；
（2）1//MN CD ，所以1PD C ∠即等于异面直线1PD 与MN 所成角，在1PD C V 中，求出各边长，用余弦定理即可求出；
（3）根据已知可得，四边形1MNA B 为梯形，112MNB MA B S S =
V V ，则11
2
P MNB P MA B V V --=，根据等体积法可知
11P MA B M PA B V V --=，求出1P MA B V -，即可解出.
【小问1详解】证明：
如图1，连结MN 、1A B 、1CD .
由已知可得，11//A D BC ，11=A D BC ，所以四边形11A BCD 为平行四边形，则11//A B CD .又M 、N 分别是11C D 、1C C 的中点，所以1//MN CD ，且11
=2
MN CD ，所以1//MN A B ，且11
=
2
MN A B .所以M 、N 、1A 、B 四点共面.【小问2详解】
如图2，连结DP 、1D P 、CP .
因为CD ⊥平面11ADD A ，DP ⊂平面11ADD A ，所以CD DP ⊥.因为，P 是1AA 的中点，所以11PA PA ==.
又111A D A A ⊥，所以1PD ==同理DP =.
在Rt PDC 中，3PC =
=.又1D C ==
在1PCD V 中，有3PC =，1D C =，1PD =
，
由余弦定理可得，222111
11cos 2PD D C PC PD C PD D C +-∠=⋅10==
.又1//MN CD ，所以异面直线1PD 与MN 所成角的大小即等于直线1PD 与1CD 所成角的大小，即等于
1arccos
10
PD C ∠=.【小问3详解】
如图3，1.,,,MP MB PN MA NB ，因为1//MN A B ，且11
=
2
MN A B ，且M 、N 、1A 、B 四点共面，所以四边形1MNA B 为梯形，设梯形高为h ，则12MNB S MN h =⨯⋅V ，111
2
MA B S A B h =⨯⋅V ，所以111111
2222
MNB MA B S MN h A B h S =
⨯⋅=⨯⋅=V V .设P 到平面MNB 即到平面1MNA B 的距离为d ，则13P MNB MNB d V S -=
⨯⋅V ，1113P MA B MA B d V S -=⨯⋅V ，则11111322
P MNB MA B P MA B V S d V --=⨯⨯⋅=V ，且11P MA B M PA B V V --=.因为11//C D 平面11ABB A ，11C B ⊥平面11ABB A ，11M C D ⊂，
所以M 到平面11ABB A 的距离等于线段11C D 到平面11ABB A 的距离112C B =.又111112122PA B S PA AB =
⨯⋅=⨯⨯=V ，所以11112212333
M PA B PA B V S -=⨯⨯=⨯⨯=V ，所以，11121
2233
P MNB P MA B V V --=⨯=
=.20.已知椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN 面积的最大值；
（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）22
1124
x y +=；
（2
）3+；
（3）3,3⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
【解析】
【分析】（1）观察可知，,Q M 都在椭圆上，即满足椭圆方程，若()1,3P 在椭圆上，代入方程，联立解得2210a b ==，
舍去；因此,,Q M N 三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；
（2）要使EMN 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.当过点E 的直线l 与MN 平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；
（3）写出直线l 的方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，可得(
)
2
2
31690k x kx ++-=，根据韦达定理求出AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程，代入0y =，即可求得m 的值.根据基本不等式，可求出实数m 的取值范围.【小问1详解】
因为()3,1Q ，()3,1M -关于y 轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有22
91
1a b +=成立.若()1,3P 在椭圆上，则有
2
219
1a b
+=.联立22
22
91
1191a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得，2210a b ==，不合题意，舍去.
所以，()0,2N 在椭圆上，即有
241b =，所以2
4b =，代入22911a b
+=，可得212a =.所以，椭圆C 的方程为22
1124
x y +=.
【小问2详解】
要使EMN 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.由()3,1M -，()0,2N ，可得直线MN 方程为360x y -+=.
过点E 作直线l ，使得//l MN ，则E 到直线MN 的距离即等于直线l 到直线MN 的距离.显然，当直线l 与椭圆相切时，距离为最大或最小.则设直线l 方程为30x y m -+=，联立直线与椭圆的方程
22
1124
30x y x y m ⎧+
=⎪⎨⎪-+=⎩
可得，22126120y my m -+-=.
因为，直线l 与椭圆相切，则()()()
2
2
2
64121212480m m m ∆=--⨯-=--=，
解得，m =±.
则当m =-
时，此时直线方程为30x y --=，与直线360x y -+=距离最大，此时
5
d +=
=
.
又
MN ==，
所以EMN
面积的最大值为113225
MN d +⋅==+.【小问3详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，假设在x 轴上存在一点(),0D m ，使得DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形.因为直线l 过()0,1R 点，则直线l 的方程为1y kx =+()0k >，
联立直线l 的方程与椭圆的方程2211124
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩可得，()
22
31690k x kx ++-=，
()()()()
2
22Δ6431936410k k k =-⨯+⨯-=+>恒成立，
且122
631
k x x k +=-
+，1229
31x x k -=+，111y kx =+，221y kx =+，所以()12122y y k x x +=++2
26231
k k =-++2
231k =+，则AB 的中点坐标为22
31,3131k k k ⎛
⎫-
⎪++⎝⎭
，所以线段AB 的垂直平分线方程为221
133131k y x k k k ⎛⎫
-=-+ ⎪++⎝⎭，
显然该直线过点(),0D m .令0y =，则221
133131k m k k k ⎛⎫-
=-+ ⎪++⎝⎭，即2
231
k
m k -=+.因为0k >
，所以23113k k k k +=+≥=，
当且仅当13k k =
时，即33
k =时，等号成立.所以，231k k
+≥2
31k k ≤
+2232313k k -≥-=-+，所以33m ≥-.即实数m 的取值范围为3,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭
.
21.已知函数()2
f x x ax a =--，R a ∈.
（1）判断函数()f x 的奇偶性；
（2）若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；
（3）记()e x
g x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有
()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）0a =时，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）5
[1,
27
-；（3）[]2ln 22,1-.【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；
（2）根据极值，求出1a =，得到32()F x x x x =--，利用导数的性质，判断()F x m =有3个不同的实根时，m 的取值范围；
（3）根据()g x 的单调性，问题转化为()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-，整理得，
11221122()()()()
()()()()
f x
g x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨
->-⎩，分别判断函数()()f x g x +和函数()()f x g x -在[0,e]上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】
()2f x x ax a =--，因为()f x 的对称轴为2
a
x =
，故当0a =时，()f x 的对称轴为y 轴，此时()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.【小问2详解】
()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，因为32()F x x ax ax =--，则2()32F x x ax a '=--，故(1)320F a a '=--=，
得1a =；
32()F x x x x =--，此时，2()321(1)(31)F x x x x x '=--=-+，
故1
(,)3x ∈-∞-和(1,)+∞上，()F x 单调递增，1(,1)3
x ∈-上，()F x 单调递减，
因为关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，根据导数的性质，当1(1)()3
F m F ≤≤-时，满足题意，得
5127m -≤≤
，故5[1,]27
m ∈-【小问3详解】
()e x g x =-，()g x 单调递减，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，
21()()0g x g x ->，12()()0g x g x -<，
则对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，
转化为，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-成立，即
11221122()()()()
()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨
->-⎩
，所以，函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，①函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，即()()0f x g x ''+≤在[0,e]上恒成立，又因为，()2
f x x ax a =--，()e x
g x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''+=--≤，
得2e x x a -≤在[0,e]上恒成立，令()2e x h x x =-，()2e x h x '=-，
令()0h x '=，得ln 2x =，所以，()h x 在[)0,ln 2上单调递增，在(]ln 2,e 上单调递减，故max ()(ln 2)2ln 22h x h ==-，故2ln 22a ≥-；②函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，即()()0f x g x ''-≥在[0,e]上恒成立，又因为，()2
f x x ax a =--，()e x
g x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''-=-+≥，得
2e x x a +≥在[0,e]上恒成立，因为函数2e x
y x =+在[0,e]上为单调递增函数，故min 1y =，此时，1a ≤；
综上所述，实数a 的取值范围为：[]2ln 22,1-.。