2019届北京市顺义区高三第二次统练数学（理）试题

2019届北京市顺义区高三第二次统练数学（理）试题
一、单选题
1．已知全集，集合，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解出集合，根据补集定义求得结果.
【详解】
或
即：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.
2．若实数满足则的最小值是
A．B．C．0 D．4
【答案】B
【解析】画出约束条件所表示的区域，通过平移得到取得最小值的点，代入求解出结果. 【详解】
由约束条件可得如下可行域（阴影部分）：
令，可变为：，可知的最小值即为直线在轴截距的最小值
平移可知，当直线经过下图中点时，最小
解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查线性规划中的型的最值问题，属于基础题.
3．在等比数列中，若，，则=
A．32 B．16 C．8 D．【答案】A
【解析】由和可求得，从而求得结果.
【详解】
为等比数列
本题正确选项：
【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.
4．某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积是
A．12 B．2 C．D．【答案】D
【解析】根据三视图将几何体还原，再分别求解各侧面面积，求得表面积. 【详解】
由三视图还原可知几何体是如下图所示的直三棱柱：
则，
表面积
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三视图还原、空间几何体的表面积求解，关键在于能够通过三视图确定几何体为直三棱柱，属于基础题.
5．过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将参数方程化为普通方程，可得圆心与原点之间距离和半径，先求解出一条切线与轴所成角，再得到所求角.
【详解】
由得圆的方程为：
则半径为：；圆心与原点之间距离为：
设一条切线与轴夹角为，则
根据对称性可知，两条切线所成锐角为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程、直线与圆位置关系中的相切关系，关键在于能够通过相切的条件，得到半角的正弦值.
6．已知m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则
A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β`；
B．若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
C．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；
D．若m∥α，n∥α，则m∥n.
【答案】B
【解析】依次判断各个选项，排除法得到最终结果.
【详解】
在如下图所示的正方体中依次判断各个选项：
选项：面面，面，此时面，可知错误；选项：，则内必存在直线，使得；又，则，可知，可知正确；
选项：取和中点和，可知面，面，面，此时面面，可知错误；
选项：面，面，此时，可知错误.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查空间中的线线、线面关系，对于此类问题可通过定理来证明，也可以举出反例，用排除法得到正确结果.
7．“或” 是“函数存在零点”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】通过存在零点求解出的解集，通过集合间的关系可判断出结果.
【详解】
存在零点有根
当时，不合题意
当时，或
可知解集是或的子集
“或”是“函数存在零点”的必要不充分条件
本题正确选项：
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题.
8．已知集合，若对于，，使得
成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：
；；
；．
其中是“互垂点集”的集合为
A．,B．,C．, D．,
【答案】D
【解析】首先判断和，通过反例可知不是“互垂点集”，由此可排除三个选项.
【详解】
设，为上任意一点
：当时，需存在使得：，即，此时无解，可知不是“互垂点集”，可排除和选项；
：当时，需存在使得：，即，无意义，可知
不是“互垂点集”，可排除选项；
本题正确选项：
【点睛】
本题考查对于新定义的理解，简单方式为通过排除的方法得到正确选项，也可以利用函数的值域来确定和为“互垂点集”，但判断过程较繁琐；对于选择题，合理的采
用排除法可极大的减少运算量.
二、填空题
9．__________
【答案】1+
【解析】分子分母同乘，化简得到结果.
【详解】
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题.
10．已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，且，则a与b的夹角为_________【答案】
【解析】通过得到关于的方程，从而得到.
【详解】
设和夹角为
本题正确结果：
【点睛】
本题考查利用向量数量积求解向量夹角的问题，属于基础题.
11．设双曲线经过点（4,0），且与双曲线具有相同渐近线，则的方程为__________；渐近线方程为__________.
【答案】.
【解析】求解出双曲线的渐近线方程；由过可得，再利用
求得，从而得到的方程.
【详解】
由可得渐近线方程为：
双曲线过可知焦点在轴上，且
则
的方程为：
本题正确结果：；
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质、标准方程的求解，属于基础题.
12．已知为锐角，，则____________.
【答案】.
【解析】由可求得，进而得到，则，求得结果. 【详解】
为锐角
又
由诱导公式可得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查同角三角函数关系、二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题. 13．“当时，能使不等式”成立的一组正数的值依次为
_________________．
【答案】，（答案不唯一）
【解析】当时，底数以为分界的对数函数分别大于零和小于零，由此只需，即可.
【详解】
当时，若，则；若，则
因此可任取，，均能使得不等式成立
本题结果不唯一，可取，
【点睛】
本题考查对数函数图象问题，只要找到一组符合题意的答案即可，属于基础题. 14．、分别为椭圆：的左、右焦点，是上的任意一点. 则
的最大值为___________，若，则的最小值为____________.
【答案】94
【解析】通过椭圆定义表示出，进而将变为二次函数问题，通过的范围得到最大值；再将表示为，通过图形可知当在线段上时取得最小值，求解得到结果.
【详解】
由可得：，
由椭圆定义可知
又，即
当时，取最大值，最大值为：
又（当且仅当在线段上时取等号）
【点睛】
本题考查椭圆的定义、几何性质、最值类问题，关键在于能够利用椭圆定义将焦半径进行转化，从而变成函数和几何问题来进行求解.
三、解答题
15．在△ABC中，b=8，,．
（Ⅰ）求及的值；
（Ⅱ）求边上的高．
【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据余弦定理求出，再利用正弦定理求出；（Ⅱ）在直角三角形中直接利用求解出高.
【详解】
（Ⅰ）在中，由余弦定理得
所以
由正弦定理得：
（Ⅱ）在中，边上的高为
【点睛】
本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形的问题，属于基础题.
16．如图，在四棱锥中，等边三角形所在的平面垂直于底面，
，，是棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）判断直线与平面的是否平行，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）见解析(Ⅱ) （Ⅲ）直线与平面不平行
【解析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理直接证得结果；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求解出平面和平面的法向量，然后求出法向量夹角的余弦值，由二面角为锐二面角，可得到所求二面角的余弦值；（Ⅲ）求解平面的法向量，可知与法向量不垂直，由此得到结论为不平行.
【详解】
（Ⅰ）证明：平面平面，平面平面，平面
且
平面
（Ⅱ）取的中点，连结，
又四边形是平行四边形
平面
建立如图所示空间直角坐标系
则，，，，
，
设为平面的一个法向量，由
得令，得，，所以
因为轴垂直于平面，所以取平面的一个法向量
所以二面角的余弦值为
（Ⅲ）直线与平面不平行
理由如下：，
设为平面的一个法向量，由
得令，得，所以
所以与不垂直，又因为平面
所以直线与平面不平行
【点睛】
本题考查面面垂直的性质、空间向量法解二面角、线面位置关系的判定问题.采用空间向量法解决二面角问题的关键是能够明确二面角大小等于两平面法向量所成角或其补角.
17．国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：
下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数.
家庭恩格尔系数（%）
年份
A B C D E
1978年57.752.562.361.058.8
1988年54.2 48.351.955.452.6
1998年44.7 41.643.549.047.4
2008年37.936.529.241.342.7
2018年28.627.719.835.734.2
（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕” 或更高生活质量的概率；
(Ⅱ) 从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为，求的分布列；
(Ⅲ) 如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5. 请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）.
【答案】（Ⅰ）(Ⅱ)见解析(Ⅲ)方差最大：；方差最小：
【解析】（Ⅰ）根据古典概型，可求得结果；(Ⅱ)满足超几何分布，根据超几何分布公式求得概率，从而得到分布列；(Ⅲ)利用数字列出统计表格，方差大的数值波动大；方差小的数值波动小；由数值波动情况可确定方差最大和最小的家庭.
【详解】
（Ⅰ）记“在年和年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件
因为在年和年都达到了“富裕” 或更高生活质量的只有家庭
所以
(Ⅱ)的可能取值为
，，
的分布列为：
(Ⅲ)由题意可得可得如下图表：
家庭年年年年年
生活质量方差最大的家庭是，方差最小的家庭是
【点睛】
本题考查古典概型、随机变量的超几何分布、方差问题，属于常规题.
18．设函数.
（I）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；
（II）若有极小值2，求.
【答案】（I）（II）
【解析】（I）代入求得，得到函数解析式，求导得到，即切线斜率；利用点
斜式得到切线方程；（II）求导后经讨论可知当时存在极小值，求得极小值，
令，解方程得到.
【详解】
（I）因为点在曲线上，所以
又，所以
在该点处曲线的切线方程为，即
（II）有题意知：定义域为，
（1）当时，
此时在上单调递减，所以不存在极小值
（2）当时，令可得
列表可得
极小值
所以在上单调递减，在上单调递增
所以极小值为：
所以
【点睛】
本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值的问题，关键在于能够通过求导确
定函数的单调性，从而根据单调性得到符合题意的极值点，从而问题得到求解. 19．已知为抛物线上两点，的纵坐标之和为4，为坐标原点.（I）求直线的斜率；
（II）若点满足，求此时直线的方程.
【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）
【解析】（I）利用点差法得到，从而求得斜率为；（II）分在轴同侧和异侧两种情况进行讨论；当异侧时，将直线代入抛物线，利用韦达定理表示出和，代入得到关于的方程，求解得到结果；当同侧时，验证可知不符合题意，从而总结得到最终结果.
【详解】
（I）设，则依题意可知：
相减可得：，即
又，所以，即直线的斜率为
（II）由（I）知直线的斜率为，所以可设直线的方程为
（1）当在轴异侧时
由知
又
所以，即
又，所以
化简得……①
联立方程组消去得
所以，
代入①式可得
所以直线的方程为
（2）当在轴同侧时
由知
即直线过点，所以此时直线方程为
经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去
综上可知：直线的方程为
【点睛】
本题考查利用点差法解决中点弦问题、直线与抛物线综合应用问题.解决直线和抛物线综合问题时，通常采用联立的方式，采用设而不求的方式，得到韦达定理的形式，再利用韦达定理表示出已知当中的等量或不等关系，从而求得所求结果.
20．在数列中，若（，，为常数），则称为“平方等差数列”．
（Ⅰ）若数列是“平方等差数列”，，写出的值；
（Ⅱ）如果一个公比为的等比数列为“平方等差数列”，求证：；
（Ⅲ）若一个“平方等差数列”满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）通过求出，再解出，从而求得结果；（Ⅱ）列出等比数列通项公式，根据平方等差数列定义，可得，由于和无关，可证得结论；（Ⅲ）首先求解出，可得到数列的前项和
；假设存在，通过，可求得此时，再验
证此时是否对于一切均成立；由可进行放缩，从而证得结论成立，从而确定.
【详解】
（Ⅰ）由是“平方等差数列”，
于是，
所以
（Ⅱ）设数列是等比数列，所以（为公比且）
则
若为“平方等差数列”，则有
因为为与无关的常数，所以
即
（Ⅲ）因为数列是“平方等差数列”，
则，
所以数列的前项和
假设存在正整数使不等式对一切都成立，即
当时，
又为正整数
下面证明：对一切都成立
由于
所以：
所以存在使不等式对一切都成立
【点睛】
本题考查新定义问题、等差等比数列综合应用、放缩法证明不等式问题.解决问题首先要明确新定义表示的含义，同时能够利用从特殊到一般的证明思路，先求出的取值，再证明对一切都成立.在此过程中，要对通项进行合理的放缩，也是解决最终证明的关键.。