13年天津数学中考分析

2013天津初中毕业生学业考试数学试卷分析
一、试题分析
1.题型与题量
试卷分值、设置与11年相同。

试卷设置了选择、填空、解答三种题型，其中选择题有10个，占30分，填空题有8个，占24分，解答题有8个，占66分。

2.考查内容分值分布
试题与近几年天津市学业考试数试卷的命题思想、原则相一致，基本覆盖了《数学课程标准》所列的核心知识点，各部分的分值比与所对应的课时比相当。

体现了稳中有变，变中有新，对初中教学有较好的导向作用，试题的难度与去年相当，特别是注重了学生分析、解决问题能力、数学思想方法的考查。

3、考题考点分析
二、试题特点分析
1.注重基础，突出数学核心知识点的考查，体现教学导向
试题在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四部分的分值分布与所用教材的课时比相当。

考查的内容，数与代数部分有：有理数运算、科学记数法、分式运算、解方程、解不等式组及应用、一次函数、反比例函数、二次函数等内容；图形与几何部分有：对称、平移、旋转、全等、相似、视图等内容，涉及等腰三角形、等边三角形、特殊四边形的性质与判定，圆周角与圆心角、直径所对圆周角性质、圆内接四边形性质、切线性质判定等内容；统计考查了平均数、中位数、众数、扇形统计图、样本估计总体，概率考查了用列举法求事件概率，综合与实践有三角形的内接正方形、测量与解直角三角形。

这些检测点既是初中学段的基本内容又是核心知识点。

试题的编排从基础的有理数计算开始，由易到难，缓步上升，学生上手容易。

综合题考查的重点是知识的综合运用与解决问题的能力，如25、
26题的第（1）问多数学生都可以完成，第（2）问多数学生也能基本完成（知识的综合运用），完成（3）问有一定的难度，考查的是解决问题的能力，对落实因材施教有较好的导向作用。

2. 注重过程，突出数学思想、方法的考查，体现课标要求
函数与方程、数形结合、分类讨论、特殊到一般等思想方法是试题考查的重点。

设置的开放性、探索性的试题，答案不惟一，突出了对学生数学思维的过程和对数学学习过程的考查。

如13题，利用已知条件，可判断两个三角形全等也可判断一个三角形为等腰，都可以得到两条线段相等；如18题是将一个三角形放置在正方形网格中，作三角形所能包含的面积最大的正方形，考查了学生分析解决问题的能力与实际画图能力，体现了课标的教学要求；24题设置的是购物过程中打折与优惠问题，素材选自教材，问题情境学生不陌生，解答的关键是将问题转化为两个关系式的等与不等，考查了学生对数学建模思想的掌握与运用；25题是图形平移的距离与三角形形状的变化（两边平方和的最小、两边和的最小）问题，借助数的变化（坐标）探究形的变化；26题恰好是借助图形的变化（动态的菱形）研究数（函数）的变化问题，两道综合题用到的主要方法都是数形结合，试题在考查方式上与以往相似，给学生提供了思考、探究的空间，突出了数学思维的过程及对数学知识本质理解与运用能力的考查。

3.注重能力，突出问题研究，体现“学业考试”的特点
试卷按7:2:1的难度设置，与近年的编排结构相当，梯度合理，符合各层次学生的需求。

如1题、11题考查的是初中学段基本的计算，每个学生都能完成，7题以动态旋转的形式考查了矩形的判定，直观判断与理性思考（为什么一定是矩形）结合，不同层次的学生会有不同的思考。

22题考查圆性质的综合应用，由已往的静态变为动态问题，移动的直线在与圆相切、相交时两个角的等量关系问题，解答的关键是问题的转换，从不同的角度分析可得到不同的解法，解答这些考题需要具有一定的分析解决问题的能力。

18题给出的是底为4、高为3的三角形，若是任意锐角三角形又该如何作出最大的内接正方形？26题的分类讨论，都有进一步研究的空间，试题的这种延展性与研究性对学生后续数学学习都有导向作用。

三、几点建议
1. 回归基础，重视落实
收集学生反馈的问题，说明学生缺少的不是技巧，而是基础。

概念、定理、公式模糊、计算不准，导致解题不细致严谨，失去很多应得的分数。

对所学知识不能较好地迁移，在遇到陌生问题时不知道如何运用已学知识去合理地展开联想，进行有效的探究，复习阶段演算
了大量习题，但大量的训练并没有使其获得思考和解决问题的能力的提高，达不到预期分数。

分析学生存在的问题，结合学生的认知规律和课程标准对学生的评价要求，感到要使学生的数学成绩得到提高，关键是要回归基础。

把眼睛牢牢钉在基础上，无论是概念、公式、定理还是解题，要围绕基础去设计，使基本知识、基本技能真正成为学生学数学、做数学、用数学的基础。

教学中既重视知识的发现过程，又重视问题本质的抽象，使所学知识是容易被激活的迁移性的，而不是对知识的简单罗列、机械重复和死记硬背。

盲目的解题训练非但无益甚至有害，只从形式上去思考，而不从本质上去探究，不利能力的提高。

2. 关注变化，改进教学
今年试题的几点变化值得关注，一是计算能力的考查，1题、11题是已往没出现过的计算题；二是综合与实践的考查，23题已往给出的观测角是特殊角，不给三角函数值，今年是任意锐角，给三角函数值，部分学生不会用（对任意锐角三角函数给你按的理解）；三是函数模型思想的考查，10题是同一个图象与不同的问题情境的对应；四是图形与几何的考查，22题由已往的静态问题，变为移动的直线在与圆相切、相交时两个角的关系是否改变的问题。

虽然变化不大，但逐渐向新课标要求靠近。

今年的复习与模拟，整体上与考题的趋势相一致，复习时间、复习重点、两个节点安排的模拟考都是合适的，成绩比去年有较大提高（去年平均分数是80.8分，今年是88.1分，华辰是97.6分，东堤头是93.5分，南仓是91.3分，小淀是90.9分，普育是89.8分，实验是88.8分）。

今年试卷的变化特点、学生答题后的反馈值得以后复习借鉴与关注，25、26题仍是制约学生获得高分的栏杆，跨越这两个栏杆需要学生具备较高的数学综合能力，提高能力不能只靠难题的演练，还需日常教学的培养及学生自我数学素养的积累，结合学生实际实施针对教学、把培养能力贯穿在教学的过程中，多数学生是能够跨越这道栏杆的。

3.加强研究，培养能力
每年的试题都有部分难题，使一些学生很难突破110分，那么问题难在哪？如何破解？学生能力如何提高？值得研究。

其中有两点值得重视，一是突出基础，对基础知识要熟知，二是积累，小题做大、作精、作实，为大题搭实台阶。

25（Ⅱ）②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标。

先看两个教材中简单问题的解答：
模型1，已知直线a和不在a上的两个定点A和B，点P是直线a上的动点，当点P在
最小？
直线a的什么位置时，PA PB
定点A和B与直线a的位置有两种可能：
①点A 和B 在直线a 的两侧，如图（1）—1； ②点A 和B 在直线a 的同侧，如图（1）—2.
问题的关键是点P 是动点，线段PA 、PB 长随点P 的移动而变化，解决的方法是： 图（1）—1，根据“两点的所有连线中，线段最短”，连接AB ，交直线a 与点P ，此时PA PB +最小；图（1）—2，作点B 关于直线a 的对称点B '，根据轴对称的性质，可得
BP B P '=，问题转化为①的情况，可解.
模型2，如图（2）—1，直线a ∥b ，点A 、B 是两个定点，点P 是直线b 上一个动点，
PQ a ⊥，交直线a 于点Q ，当点P 在
直线b 的什么位置时，AQ PB +最小？
图（1）-2
图（1）-1
b
a
图（2）-3
b
a
图（2）-1
b
a
图（2）-4
图（2）-2
b
a
b
a
图（2）-5
模型2中，点Q 随着点P 的移动同时在直线a 上移动，也是动点，所以本题有两个动点，只是PQ 的长是定值，因此当AQ PB +最小时，有AQ QP PB ++最小.由于PQ 长是定值，所以平移PQ ，使点Q 与点A 重合，点P 移至点A '，连接A P '，得四边形AQPA '是平行四边形，有A P AQ '=，所以将AQ 随点Q 的移动的变化转化为A P '随点P 的移动的变化.进而问题转化为在直线b 上确定点P ，使A P PB '+最小，即转化为问题1的只有一个动点的情形，如图（2）—2所示，其解答如图（2）—3所示.
图（2）—4是在直线a 上确定点Q ,使直线a 两侧的点A 、点B ′与点Q 的和最小，其解 答如图（2）—5所示.
考题中A′B 、BE′的长是随着点A ′、E ′在变动，与模型2在本质上是相似的，解决的方法可以借用模型2的方法。

（1）转化为动点E′
平移线段A′E′，使点A′与点B 重合，得线段BP ，如图（3），此时A′B =E ′P ，A′B 的变化与E ′P 一致，使两个动点A′、E ′问题转化为一个动点E′，即转化为求P E ′+ BE ′的最小值问题。

再用模型（1），作对称点，问题得到解决。

（2）转化为动点A ′
图（3）
图（3）
-1
P
（3）转化为动点O ′
本题的解答方法与10年的25题（Ⅱ）考查的解答方法类似，考查的是平移与转化。

25. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、
y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
如图（6），四边形CDEF 的边CD 、EF 的长是定值，所以周长的最小值既是DE+CF 的最小值，其中D 、C 是定点，E 、F 是动点，DE 、CF 的长随动点E 、F 的移动而变化，与教材中模型2一致，解决的策略是将两个动点转化为一个，方法可以是平移线段EF ，使点F 与点C 重合，连接PE ，有CF=PE ，使问题转化为DE 、PE 随动点E 的移动而变化，转化为图（6）-1所示，点E 为动点，点P 、D 为顶点。

本题的问题与10年的25题（2）相似，解答的方法类似。

或转化为如图（10）所示，点F 为动点。

图（6）-1
图（6）
图（5）-1
图（5）
两道考题解法多样，但将两个动点转化为一个是解题方法的本质。

由以上的分析可以看出，破解的关键是分析问题本质、构造基本图形，部分学生不能解答的关键是分析不出问题的本质，不会构造基本图形，就是发现问题与解决问题的能力不够，对所学知识停留在问题本身，而没有做进一步的思考与研究。

新的数学课程标准对初中学段的数学教学提出了四基与四能的要求，即数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。

在日常的教学中怎样贯彻与落实值得我们思考与反思，当这些要求得到切实的落实，学生的能力得到提高，自然就有了解答这类难题的能力，难题也就不难了。

（18）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上.
图（7）
图（7）-1
图（8）---2
P D
图（8）---1
P D
图（8）
P D
（Ⅰ）△ABC 的面积等于 ；
（Ⅱ）若四边形DEFG 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法（不要求证明） .
分析：本题有3个要点，其一是面积最大（包含）正方形位置如何确定（内接正方形的两个在三角形一边上的顶点应在那个边上）；其二是如何确定正方形一个顶点的位置（比值），其三是如何作出符合要求的正方形（利用直尺、三角板、正方形网格，不使用圆规）。

如图，三角形内的正方形可以通过平移旋转，使其
一边落在三角形的一边上，一个顶点在三角形的另一边上；再利用位似使正方形的另一
个顶点在三角形的一边上，得内接正方形.
设正方形的边长为x （边在a 上），则有
x h x a h -= ，得222ah s s
x s a h a h
a a
===+++
； 同理：22bh s s
y b h b h b b
=
==
+++（边在b 上）. 若a ＞b ，则222()()()(1)s s s
a b a b a b ab
+-+=--
. 设a 、b 边的夹角为α，则1sin 2s ab α=，211sin s
ab
α-
=-＞0. 22s s a a +＜22s
s b b
+
， x ＜y . 即当内接正方形的一边落在锐角三角形的短边上时， 正方形面积最大。

（1）确定分点D 作法1：（利用位似）
1.在AB 上任取一点P ，作PQ ⊥BC 于点Q ，
以PQ 为一边在△ABC 内部作正方形PQMN ；
作射线BN 交AC 于点D ，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，作DE ⊥DG 交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F .四边形DEFG 即为所求.
作法2（利用相似）设正方形的边长为x （边在BC 上），则有ah
x a h
=+. ∴
AC a a h AD x h +==，CD AC AD a h h a
AD AD h h
-+-=== 结论：分点的确定只于边长及该边上高有关
如图，作PC BC =，且有PC BC ⊥.作高AH ，连接PH 交AC 于点D ，
作正方形DEFG .
作法3（利用相似）
：由11
DE =
，BC =56CD AD =.确定点D
11 作法4（等分线段）
确定分点E
提高课堂复习效率：
1、情感态度：兴趣是最好老师 对知识的渴望，学生喜欢、喜欢课、喜欢学科；
2、课堂提问：有效科学，适时有度，思维导向，质疑解惑；
3、 学生活动：自主探索，动手实践，合作交流，自学阅读，既动手，又动脑；
4、 例题设计：提高习题 “品位”，不用题海战术，典型性，规律性，循序渐进，重视过程；
5、动笔训练：给学生一定量的时间完成不同量的练习， 减少口答，控制板演、讨论的时间；
6、矫正反馈：课堂及时矫正反馈比课下辅导、批改、测试检查等更具有适时、针对的特征；
7、分层要求：十指有长短，减少个别提问，分层辅导、作业、考查，给优秀学生更多时间；
8、学生习惯：多角度帮助学生形成良好习惯，重视错题矫正，规范答题，抓得分不失分。