2017届北京市东城区高三上学期期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）
A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}
2．抛物线y2=2x的准线方程是（）
A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．
3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0
C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．2 D．
8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．
10．若x，y满足，则x+2y的最大值为．
11．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．
14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围
是．
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．
16．已知函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18．设函数．
（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．
19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上
两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．20．已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．
（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；
（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；
（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．
2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）
A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A，由集合交集的定义，即可得到所求．
【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，
则A∩B={x|2＜x＜3}．
故选：C．
2．抛物线y2=2x的准线方程是（）
A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．
【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．
故选：D．
3．“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据直线和圆相切得到关于k的方程，解出即可．
【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，
则由得：（1+k2）x2﹣6kx+9=0，
故△=72k2﹣36（1+k2）=0，解得：k=±1，
故“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的充分不必要条件，
故选：A．
4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，S的值，可得当S=时不满足条件S ≤，退出循环，输出k的值为8，即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
S=0，k=0
满足条件S≤，执行循环体，k=2，S=
满足条件S≤，执行循环体，k=4，S=+
满足条件S≤，执行循环体，k=6，S=++
满足条件S≤，执行循环体，k=8，S=+++=
不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8．
故选：B．
5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0
C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0
【考点】函数单调性的性质．
【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可．
【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，
对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；
对于B：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；
对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；
对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．
故选D
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x+1）≥0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，
∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，
∵f（0）=0，
∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），
则x+1≥0，得x≥﹣1，
即不等式的解集为[﹣1，+∞），
故选：C
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．B．C．2 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，
其直观图如下图所示：
其底面面积S=×2×2=2，
高h=2，
故棱锥的体积V==，
故选：B．
8．数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】散点图．
【分析】由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而
实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论．
【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，
r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，
故选B．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=﹣1．
【考点】复数的基本概念．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是纯虚数，
∴2a+2=0，4﹣a≠0，
解得a=﹣1．
故答案为：﹣1．
10．若x，y满足，则x+2y的最大值为6．
【考点】简单线性规划．
【分析】设z=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，
由，得，即A（2，2）
此时z=2+2×2=6．
故答案为：6
11．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，
点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，
可得：=1，解得a=．
故答案为：．
12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．【考点】三角形中的几何计算．
【分析】利用余弦定理求BC，利用面积公式求出AD．
【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，
∴由余弦定理可得BC==，
=，∴AD=，
故答案为，．
13．在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，
则λ=．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】用特殊值法，不妨设△ABC是等腰直角三角形，腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点D的坐标，即可得出λ的值．
【解答】解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，
且腰长AB=AC=1，
建立直角坐标系，如图所示，
则A（0，0），B（1，0），C（0，1），
∴=（1，0），=（0，1）；
∴=+=（，），
∴=﹣=（﹣，）；
设点D（0，y），
则=（﹣1，y），
由、共线，得y=，
∴=（0，），=（0，1），
当时，
λ=．
故答案为：．
14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=1；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是a＞1．
【考点】分段函数的应用．
【分析】若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，
若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函
数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．
【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，
故方程g（x）=t有且只有一个根，
故f（t）=1，
g（x）=，
当t≤0时，f（t）=1恒成立，
若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，
则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，
即，
解得：a＞1，
故答案为：1，a＞1
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
15．已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；
（Ⅱ）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．a1=3，a4=24
得q3==8，q=2．
所以a n=3•2n﹣1．
又数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列，
所以a n+b n=4+（n﹣1）=n+3．
从而b n=n+3﹣3•2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n+3﹣3•2n﹣1．
数列{n+3}的前n项和为．
数列{3•2n﹣1}的前n项和为=3×2n﹣3．
所以，数列{b n}的前n项和为为﹣3×2n+3．
16．已知函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
【考点】三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（Ⅰ）根据函数的部分图象得出最小正周期T以及x0的值；
（Ⅱ）写出f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间[0，]上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数，
∴函数的最小正周期为T==π；…
因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的图象上，
所以2sin（2×0+φ）=1；
又因为|φ|＜，
所以φ=，…
令2x+=，解得x=，
所以x0=π+=；…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+），
因为0≤x≤，所以≤2x+≤；
当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；
当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣1．…
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上
存在点M，使得BM⊥AC．此时，=
【解答】（共14分）
证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．
因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．
在△PAC中，由已知E为PA中点，
所以EF∥PC．
又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，
所以PC∥平面BED．…
（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．
因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，
所以PO⊥CD．
又因为平面PCD⊥平面ABCD，
PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．
取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，
所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…
如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），
B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．
=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．
设平面PAC的法向量为=（x，y，z），
则，令z=1，得=（2，1，1）．
平面PCD的法向量为=（1，0，0）．
设的夹角为α，所以cosα==．
由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，
所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…
（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．
因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．
由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．
因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．
此时，=．…
18．设函数．
（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．
【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，计算f′（0）=0，求出a的值检验即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围判断函数的单调性结合f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求出a 的具体范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为，
所以f′（x）=﹣，
因为f（0）为f（x）的极小值，
所以f′（0）=0，即﹣=0，
所以a=1，
此时，f′（x）=，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在x=0处取得极小值，
所以a=1．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，
所以f（x）＞f（0）=0，
所以f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．
因此，当a＜1时，f（x）=ln（x+1）﹣＞ln（x+1）﹣＞0，
f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．
当a＞1时，f′（x）=，
所以，当x∈（0，a﹣1）时，f′（x）＜0，因为f（x）在[0，a﹣1）上单调递减，
所以f（a﹣1）＜f（0）=0，
所以当a＞1时，f（x）＞0并非对x∈（0，+∞）恒成立．
综上，a的最大值为1．…
19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上
两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由题意得，求出b，由此能求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），求出p点的坐标，由B，Q，P三点共线，得，联立方程组求解得x3，y3，再结合已知条件能求出λ值，则的值可求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，
解得．
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），
∵点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，
∴P（3x1，3y1）．
∵B ，Q ，P 三点共线， ∴
．
∴（3x 1﹣x 2，3y 1﹣y 2）=λ（x 3﹣x 2，y 3﹣y 2）， 即
，
解得，
∵点Q 在椭圆C 上，∴．
∴．
即
，
∵A ，B 在椭圆C 上，
∴
，
．
∵直线OA ，OB 的斜率之积为，
∴
，即
．
∴，解得λ=5．
∴=|λ|=5．
20．已知集合A n ={（x 1，x 2，…，x n ）|x i ∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n ）}．x ，y ∈A n ，x=（x 1，x 2，…，x n ），y=（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n ）．定义x ⊙y=x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ．若x ⊙y=0，则称x 与y 正交．
（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A 4中与x 正交的所有元素； （Ⅱ）令B={x ⊙y |x ，y ∈A n }．若m ∈B ，证明：m +n 为偶数；
（Ⅲ）若A ⊆A n ，且A 中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A 中最多可以有多少个元素．
【考点】数列的应用．
【分析】（Ⅰ）由子集定义直接写出答案；
（Ⅱ）根据题意分别表示出m，n即可；
（Ⅲ）根据两个元素均正交的定义，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素即可．【解答】解：（Ⅰ）A4中所有与x正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）．…
（Ⅱ）对于m∈B，存在x=（x1，x2，…，x n），x i∈{﹣1，1}，y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}；
使得x⊙y=m．
令，；当x i=y i时，x i y i=1，当x i≠y i时，x i y i=﹣1．
那么x⊙y=．
所以m+n=2k﹣n+n=2k为偶数．…
（Ⅲ）8个，2个
n=8时，不妨设x1=
，x2=（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）．
（1，1，1，1，1，1，1，1）
在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1）
，（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，
1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x1，x2搭配，可形成8种情况．
所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…
N=14时，
不妨设y1=（1，1…1，1），（14个1），y2=（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y1与y2正交．
令a=（a1，a2，…a14），b=（b1，b2，…b14），c=（c1，c2，…c14）且它们互相正交．
设a、b、c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外
a、b相应位置数字都相同的共有m个，
c、b相应位置数字都相同的共有n个．
则a⊙b=m+k﹣（14﹣m﹣k）=2m+2k﹣14．
所以m+k=7，同理n+k=7．
可得m=n．
由于a⊙c=﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）=0，可得2m=7，m=矛盾．所以任意三个元素都不正交．
综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…
2017年1月21日。