百师联盟(全国卷)2021届高三上学期一轮复习联考(三)数学(理)含答案

百师联盟2021届高三一轮复习联考(三)全国卷I
理科数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为
A.{x|x ≥2}
B.{x|x<－1或x ≥2}
C.{x|x<－1或x>1}
D.R
2.已知复数z ＝
21i i +，则z ·z 的值 A.0B.2iC.2D.1
3.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝
A.cos40°
B.sin40°
C.12
D.32 4.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 3x 2＋y 2＝1的位置关系为
A.相切
B.相离
C.相交或相切
D.相交
5.函数f(x)＝x
e x
的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y ＝x ＋e －1B.y ＝eC.y ＝x －e －1D.x ＝e
6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3
π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 A.g(x)＝sin(12x ＋3
π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3
π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π)
7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋
1a )(1＋2b
)的最小值为 A.14＋
B.25
C.24
8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝
52
，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为 A.4或5 B.3或4 C.4D.3 9.已知α∈(
2π，π)，且cos(α－4
π)＝35，则tan α＝ A.－7B.－17 C.－7或－17D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)
B.2
11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n
++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为
A.4036
B.4037
C.4038
D.4039
12.已知a ，b 满足0<a<b<e ，则a b ＋
ln a a
与b “＋m 的大小关系为 A.a b ＋
ln a a >b a ＋ln b b B.a b ＋ln a a ＝b a ＋ln b b
C.a b ＋ln a a <b a ＋ln b b
D.不能确定 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面上点P(x ，y)满足x 1x 2y 42y x 0≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩
，则z ＝3y －2x 的最大值为。

14.已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，BC ＝4，AD ＝
，∠ABC ＝
4
π，则△ABC 的面积为。

++＝0，15.已知点O，A，B，C在同一平面上，A，B，C三点不共线，且满足OA OB OC
⋅的值为，则△ABC的面积为。

(第一其中|OA|，|OB|＝2，|OC|OA OB
空2分，第二空3分)
16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为5，其中有一半径为2的球O与该正方体的底面ABCD和两个侧面ADD1A1，ABB1A1都相切。

另有一球O2，既与正方体的另外两侧面BCC1B1，DCC1D1以及底面ABCD相切，又与球O1相切，则球O2的半径为。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：60分。

17.(12分)
已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，数列{b n－a n}是首项为2，公比为2的等比数列。

(1)求数列{a n}和数列{b n－a n}的通项公式；
(2)求数列{b n}的前n项和T n。

18.(12分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。

ccosC＝acosB＋bcosA。

(1)求∠C的大小；
(2)已知a＋b＝4，求△ABC的面积的最大值。

19.(12分)
斜三棱柱ABC－HDE中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是边长为1的等边三角形，DC⊥
BC，且DC DC中点为M，且F，G分别为CE，AD的中点。

(1)证明：FG//平面ABC；
(2)求二面角B－AC－E的余弦值。

20.(12分)
某企业年初在一个项目上投资2千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目。

设经过n(n∈N*)年后，该项目的资金为a n万元。

(1)求证：数列{a n－1000}为等比数列；
(2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？(lg3≈0.5，lg2≈0.3)
21.(12分)
已知函数f(x)＝e －x (13
x 3－2x ＋2sinx ＋1)，g(x)＝sinx ＋cosx ＋x 2－2x 。

(1)求g(x)在点(0，g(0))处的切线方程；
(2)证明：对任意的实数a ≤1，g(x)≥af(x)在[0，＋∞)上恒成立。

(二)选考题：10分。

请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。

按所涂题号进行评分，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多答，则按所答第一题评分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x cos y 2sin θθ
=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ＋
6π)＝1。

(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2相交于A ，B 两点，设P(－1)，求|PA|·|PB|。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知x ，y ≥0，满足x ＋y ＝2。

(1)求x 2＋xy ＋3y 2的最小值；
(2)证明：x 2y 2(x 2＋y 2)≤2。