数学-浙江省四校联盟联考2023-2024学年高三上学期试题和答案+ (1)

2023年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省杭州第二中学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.
1.若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）
A.
2i
-- B.
2i
-+ C.2i
+ D.2i
-2.已知,m n ∈R ，集合2,2m A n ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，集合{},=B m n ，若{}1A B ⋂=，则n =（）
A.1
B.2
C.
12
或1 D.
12
3.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“322n n n n S S S S ->-”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄.则下列说法正确的是（）
A.//αβ，//l α
B.αβ⊥，l β
⊥C.α与β相交，且交线平行于l
D.α与β相交，且交线垂直于l
5.标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，A 表示事件“第一次取出的数字是3”，B 表示事件“第二次取出的数字是2”，C 表示事件“两次取出的数字之和是6”，D 表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（）
A.()16
P C =
B.()
()P A D P A =C.()
()P A C P A = D.()()()
P BC P B P C =
6.已知函数()cos f x x x ωω=
-（0ω>）在区间2π3π,54⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，若存在唯一的实数
[]00,πx ∈，使得()02f x =，则ω的取值范围是（
）A .28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.25,36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C.28,39⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D.58,69⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
7.已知双曲线1C ：22221x y
a b
-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，点2F 与抛物线2C ：22y px
=（0p >）的焦点重合，点P 为1C 与2C 的一个交点，若12PF F △的内切圆圆心在直线4x =上，2C 的准线与1C 交于A ，B 两点，且9
2
AB =，则1C 的离心率为（）
A.
94
B.
95 C.
74
D.
54
8.已知0a >，若点P 为曲线1C ：22
x
y ax =+与曲线2C ：22ln y a x m =+的交点，且两条曲线在点P 处
的切线重合，则实数m 的最大值为（）
A.
12
e
-
B.
12
e
C.
e 2
D.2e
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知()1,0,(0,2)P N -，过点P 作直线:0l ax y a --=的垂线，垂足为M ，则（）
A.直线l 过定点
B.点P 到直线l
的最大距离为C.MN 的最大值为3
D.MN 的最小值为2
10.2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y 如表所示.已知40%y =，于是分别用p ＝30%
和p ＝40%得到了两条回归直线方程：11ˆˆy b x a =+，2
2ˆˆy b x a =+，对应的相关系数分别为1r 、2r ，百分比y 对应的方差分别为2
1s 、2
2s
，则下列结论正确的是（
）（附：121
ˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-）年份20182019
202020212022年份代码x
1
2
3
4
5
y
20%
p
40%50%
q
A.12r r >
B.22
12
s s > C.12
ˆˆb b > D.12ˆˆa
a >11.如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个
动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=
，则（
）
A.()
12AG AB AC =+
B.GAB △面积的最小值是
23
C.1
AG ≥ D.GA GB ⋅
存在最小值
12.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ,B ,C 是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣
弧分别为 ,,AB BC
CA ，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面ABC ，定义AB d 为经过,A B 两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为R ，北极为点N ，点P ，Q 是地球表面上的两点，则（
）
A .
NP NQ PQ
d d d +<B.若点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则π6
PQ R
d =
C.若点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面NPQ △的面积
2π9
R
D.若26
3
NP NQ PQ R ===
，则球面NPQ △的面积为2πR 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.已知1
21
log 1,12
a a <<，则实数a 的取值范围___________.
14.
已知锐角,αβ满足223παβ+=
，tan tan 22
α
β=-αβ+=_____.15.函数()e x f x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.
16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆C ：2
214
x y +=上，且其中恰有两个顶点为椭圆C 的
顶点．这样的等腰三角形有________个.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1
cos 2
a C c
b -=．（1）求A ；
（2）线段BC 上一点D 满足1AD BD ==，3CD =，求AB 的长度．
18.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a +=（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）能否从{}n a 中选出以1a 为首项，以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能，请说明理由.19.已知四面体ABCD ，D 在面ABC 上的射影为O ，O 为ABC 的外心，4AC AB ==，2BC =.
（1）证明：BC ⊥AD ；
（2）若E 为AD 中点，OD =2，求平面ECO 与平面ACO 夹角的余弦值．
20.数轴上的一个质点Q 从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为13
，向右移动的概率为
2
3
，记点Q 移动n 次后所在的位置对应的实数为n X .（1）求3X 和4X 的分布列和期望；
（2）当10n =时，点Q 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.
21.已知椭圆22
:1164
x y C +=，00(,)P x y 是椭圆外一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,M N ，
直线MN 与直线OP 交于点Q ，,A B 是直线OP 与椭圆C 的两个交点.（1）求直线OP 与直线MN 的斜率之积；（2）求AMN 面积的最大值.
22.已知12,x x 是方程()e ln x
ax ax x -=-的两个实根，且12x x <.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）已知()f x ax =，()ln(1)cos 2g x x x =+-+，若存在正实数3x ，使得13()()f x g x =成立，证明：
13x x <.
2023年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省杭州第二中学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.
1.若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则=（）
A.
2i
-- B.
2i
-+ C.2i
+ D.2i
-【答案】B 【解析】
【分析】根据复数的除法运算，化简可得2i z =--，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.
【详解】由已知可得，12i 2i i
z -==--，从而
2i z =-+.
故选：B.
2.已知,m n ∈R ，集合2,2m A n ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，集合{},=B m n ，若{}1A B ⋂=，则n =（）
A.1
B.2
C.
1
2
或1 D.
12
【答案】D 【解析】
【分析】根据交运算结果，列出方程，求得对应参数值；再验证即可选择.
【详解】因为{}1A B ⋂=，故可得12m n =且1m =，或12m n
=且1n =；解得1
1,2
m n ==或2,1m n ==；当11,2m n ==
时，{}12,1,1,2A B ⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭
，满足题意；当2,1m n ==时，{}{}2,1,2,1A B ==，不满足题意，舍去；综上所述，1
2
n =.故选：D.
3.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“322n n n n S S S S ->-”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】利用等差数列的前n 项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.【详解】因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列，所以
321113(31)2(21)(51)
32222n n n n n n n n S S na d na d na d ----=+
--=+，21112(21)(1)(31)
2222n n n n n n n n S S na d d na d ----=+--=+，
所以3222
)(n n n n n d S S S S --=-，
若等差数列{}n a 的公差0d >，则20n d >，所以322n n n n S S S S ->-，故充分性成立；
若322n n n n S S S S ->-，则3222
)0(n n n n S S S S n d ---=>，所以0d >，故必要性成立，
所以“0d >”是“322n n n n S S S S ->-”的充分必要条件，故选：C.
4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，若直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄.则下列说法正确的是（）
A.//αβ，//l α
B.αβ⊥，l β
⊥C.α与β相交，且交线平行于l D.α与β相交，且交线垂直于l
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件，结合线面平行、线面垂直的判定与性质和面面平行的性质等对各个选项进行分析，即可得出正确结论.
【详解】假设//αβ，因为m ⊥平面,n α⊥平面β，则//m n ，这与直线,m n 为异面直线矛盾，故A 错误；
假设l β⊥，因为n ⊥平面β，所以//n l ，这与l n ⊥矛盾，故B 错误；设a αβ⋂=，作b //m ，使得b 与n 相交，记b 与n 构成平面γ
，如图，
因为m ⊥平面α，a α⊂，则m a ⊥，又b //m ，故b a ⊥，同理：n a ⊥，而b 与n 构成平面γ，所以a γ⊥；
因为l m ⊥，又b //m ，故l b ⊥，又l n ⊥，b 与n 构成平面γ，所以l γ⊥，故而l a //，即α与β的交线平行于l ，故C 正确，D 错误；故选：C
5.标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，A 表示事件“第一次取出的数字是3”，B 表示事件“第二次取出的数字是2”，C 表示事件“两次取出的数字之和是6”，D 表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（）
A.()16
P C =
B.()
()P A D P A =C.()
()P A C P A = D.()()()
P BC P B P C =【答案】B 【解析】
【分析】根据已知条件，分别求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，相互独立事件的概率公式判断即可.
【详解】由题意，
()1611661C 1
C C 6
P A ⨯==，
()161166
C 11C C 6P B ⨯==，对于C 事件的可能组合有：
()()()()()1,5,5,1,2,4,4,2,3,3，共5种，
()11
66
55
C C 36P C =
=，故A 错误；对于D 事件的可能组合有：
()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3，共6种，
()11
66
61
C C 6P
D =
=，对于AD 事件的组合只有()3,4一种，对于AC 事件的组合只有()3,3一种，对于BC 事件的组合只有()4,2一种，则()
()()()1
6
n AD P A D P A n D =
=
=，B 正确；()()()
()1
5
n AC P A C P A n C =
=
≠，C 错；又()11
6611C C 36P BC ==，()()155
636216
P B P C =⨯=，则()()()P
BC P B P C ≠，D 错.
故选：B
6.已知函数(
)cos f x x x ωω=-（0ω>）在区间2π3π,54⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦上单调递增，若存在唯一的实数[]00,πx ∈，使得()02f x =，则ω的取值范围是（
）A.28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.25,36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.58,69⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】利用辅助角公式变形函数()f x ，结合函数的单调区间和取得最值的情况，利用整体代入法可求得参数范围.【详解】由题得：
()π
cos 2sin()
6
f x x x x ωωω=-=-，且0ω>，
因为[]
00,πx ∈，所以0πππ,π666x ωω⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦
，若存在唯一的实数[]
00,πx ∈，使得()02f x =，
则
ππ5ππ262ω≤-<，解得2833ω≤<，当2π3π,54x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，2πππ3ππ56646
x ωωω-
-≤-≤-，又()f x 区间2π3π,54⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增，所以2πππ562ω-
-≥-且3πππ462
ω-≤，解得5
6ω≤且89ω≤，
结合2833
ω≤<，可得2536ω≤≤，
故选：B .
7.已知双曲线1C ：22221x y
a b
-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，点2F 与抛物线2C ：22y px
=（0p >）的焦点重合，点P 为1C 与2C 的一个交点，若12PF F △的内切圆圆心在直线4x =上，2C 的准线与1C 交于A ，B 两点，且9
2
AB =，则1C 的离心率为（）
A.
94
B.
95 C.
74
D.
54
【答案】D
【分析】令12(,0),(,0)F c F c -，由题设知02p c =>且2
2b AB a
=求得249b a =，再由内切圆中切线长性
质及双曲线定义、性质确定与12F F 的切点的位置，进而求离心率.【详解】由题设12(,0),(,0)F c F c -，又点2F 与抛物线的焦点重合，即02
p
c =
>，由()22
22222
1c y a b
a b c ⎧-⎪-=⎨⎪+=⎩
，则2b y a =±，故2292b AB a ==，即249b a =，如下图示，内切圆与△12PF F 各边的切点为,,D E K
，
所以1122,,PD PE DF KF EF KF ===，又12||||2PF PF a -=，
则121212()()2PD DF PE EF EF KF KF a +-+=-=-=，所以K 为双曲线右顶点，又12PF F △的内切圆圆心在直线4x =上，即4a =，故29b =，则5c =，所以离心率为54
c e a ==.故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用切线长性质推得122KF KF a -=，从而利用双曲线的对称性得到4a =，进而得解.
8.已知0a >，若点P 为曲线1C ：22
x
y ax =+与曲线2C ：22ln y a x m =+的交点，且两条曲线在点P 处
的切线重合，则实数m 的最大值为（）
A.
12
e
-
B.
12
e
C.
e 2
D.2e
【答案】B
【详解】设点P 的横坐标为(0)n n >，则由22
x
y ax =+可得y x a '=+，k n a =+，
又2
2ln y a x m =+可得22a y x '=，2
2a k n
=，
所以2
2(0)a n a a n
+=>，解得n a =或2n a =-（舍去）
，由点P 为曲线1C ：22
x
y ax =+与曲线2C ：22ln y a x m =+的交点，
所以2
(,)2n P n an +与2(,2ln )P n a n m +为同一点，
所以22
2ln 2
n an a n m
+=+，即2232ln 2m a a a =-+，令2
2
3()2ln (0)2
f a a a a a =-+
>，则()4ln (14ln )f a a a a a a '=-+=-，令()0f a '=可得
1
4e a =，由0a >知，当
14
0e
a <<时，)0f a '>，当
14
e a <时，()0
f a '
<，
所以()f a 在1
4(0,e )上单调递增，在1
4(e ,)+∞上单调递减，所以1
1
42max ()(e )e f a f ==，
故实数m 的最大值为12
e .
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知()1,0,(0,2)P N -，过点P 作直线:0l ax y a --=的垂线，垂足为M ，则（）
A.直线l 过定点
B.点P 到直线l 的最大距离为
C.MN 的最大值为3
D.MN 的最小值为2
【答案】AC
【分析】由点斜式确定定点，由点M 在以原点为圆心，直径为2PB =的圆上，结合圆的性质判断即可.
【详解】0ax y a --=可化为()1y a x =-，则直线l 过定点()10B ,
，故A 正确；因为直线l 的斜率存在，所以点M 与点B 不重合，
因为PM l ⊥，所以点M 在以原点为圆心，直径为2PB =的圆上（去掉点B ），点P 到直线l 的距离为PM ，由图可知，02PM ≤<，故B 错误；由图可知，NA MN NC ≤≤，即13MN ≤≤，故C 正确，D 错误；故选：
AC
10.2022年11月17日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”.某芯片研发单位用在“A 芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比y 如表所示.已知40%y =，于是分别用p ＝30%
和p ＝40%得到了两条回归直线方程：11ˆˆy b x a =+，2
2ˆˆy b x a =+，对应的相关系数分别为1r 、2r ，百分比y 对应的方差分别为2
1s 、2
2s
，则下列结论正确的是（
）（附：121
ˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-）年份20182019
202020212022年份代码x
1
2
3
45
y
20%p
40%
50%
q
A.12r r >
B.22
12
s s > C.12
ˆˆb b > D.12ˆˆa
a >【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合方差、相关系数的定义，以及最小二乘法公式即可求解.【详解】30%p =时，60%q =，变量x 、y 呈线性正相关，故121r r =>，故A 正确；
方差反映数据的稳定性，显然40%p =时更稳定，故此时方差更小，即22
12s s >，故B 正确；
由于1
2
21
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx
==-=-∑∑，当30%p =时，
5
1
120%230%340%450%560%700%i
i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
当40%p =时，
5
1
120%240%340%450%550%670%i
i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
所以12
ˆˆb b >，故C 正确；因为ˆˆa y bx =-，所以12
ˆˆb b >时，12ˆˆa a <，故D 错误.故选：ABC
11.如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个
动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=
，则（
）
A.()
12AG AB AC =+
B.GAB △面积的最小值是2
3
C.1
AG ≥ D.GA GB ⋅
存在最小值
【答案】BC 【解析】
【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，根据AC AB ⊥及
0GA GB GC ++= ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG ，()
13
AB AC +
，即可判断A ；取AB 中点
为F ，连接CF ，根据0GA GB GC ++=
，可得,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，即可找
到GAB △面积与ABC 面积之间比例关系，进而建立GAB △面积等式，根据基本不等式即可判断B ；求
出AG ，再根据基本不等式可判断C ；写出GA GB ⋅ 进行化简，根据m 的范围即可得到GA GB ⋅
的最值情
况.
【详解】设AB 中点为F ，连接CF ，
以D 为原点，,DB DE 方向分别为,x y
轴建立如图所示的直角坐标系，
则()0,2A ，()0,3E ，
设(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，,,,R m n x y ∈，且,0m n ≠，
所以(),1AC m = ，(),2AB n =-
，
因为AC AB ⊥，所以0AC AB ⋅=
，即20mn -=，故2n m =
，即2B m ⎫⎪⎝⎭
，所以(),2GA x y =-- ，2,GB x y m --⎛⎫= ⎪⎝⎭
，(),3m x y GC =--
，
因为0GA GB GC ++=
，
所以2230355303m m
x m x m y y ⎧
+⎪⎧=
+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-=⎩=⎪
⎩，
因为
()
211,333m m AB AC ⎛⎫+ ⎪+=- ⎪
⎪⎝⎭
，故()
13
AG AB AC =+
，A 错误；因为0GA GB GC ++= ，
所以()
GC GA GB =-+ ，即2GC GF =- ，
所以,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，所以1136
GAB
ABC S S AC AB ==⋅
=
23
=
≥=，当且仅当2
2
1
m m =
，即1m =±时取等，故B 正确；因为()
211,33
3m m AG AB AC ⎛⎫
+ ⎪
=+=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以AG =
1=
≥=，当且仅当
224
m
m
=，即m =时取等，故1AG ≥
，C 正确；
因为32,15,3334,m m m m GA GB ⎛⎫
⎪-= ⎪ ⎪⎛⎫+- ⎪=- ⎪⎭
⎪⎝⎭⎝ ，所以245
339m m m m GA GB ⎛⎫⎛⎫
+- ⎪⎪⋅=--
⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
22228827
5999
m m m m ----=-=
，因为R m ∈且0m ≠，所以20m >，记()8
7,0f x x x x
=-
->，
()2
8
10f x x '=+
>，可知()f x 单调递增，没有最值，即GA GB ⋅
没有最值，故D 错误.故选：BC
【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.12.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ,B ,C 是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣
弧分别为 ,,AB BC
CA ，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面ABC ，定义AB d 为经过,A B 两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为R ，北极为点N ，点P ，Q 是地球表面上的两点，则（
）
A.NP NQ PQ
d d d +<B.若点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则π6
PQ R
d =
C.若点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面NPQ △的面积
2π9
R
D.若3
NP NQ PQ R ===，则球面NPQ △的面积为2πR 【答案】BD 【解析】
【分析】当NP NQ PQ R ===时，求得NP NQ PQ d d d ==，可判定A 错误；求得π
6
POQ ∠=，得出PQ d ，可判定B 正确；由球心角2π
9
POQ ∠=
，结合球的表面积求得NPQ △的面积，可判定C 错误；由
3
NP NQ PQ R ===
时，构造正四面体N PQS -，求得3PN R =，结合对称性，求得球面NPQ △的面积，可判定D 正确.
【详解】对于A 中，当NP NQ PQ ==时，可得NOP NOQ POQ ∠=∠=∠，此时NP NQ PQ d d d ==，可得NP NQ PQ d d d +>，所以A 不正确；对于B 中，当点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，可得球心角π6POQ ∠=
，此时π6
PQ R d =，所以B 正确；对于C 中，当点,P Q 在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，
可得球心角2π
409POQ ∠==
，又由球的表面积为24πS R =，所以NPQ △的面积为
22π12π922π9
R S S =⨯⨯=
，所以C 错误；对于D 中，如图所示，当26
3
NP NQ PQ R ===
时，可得NPQ △为等边三角形，构造一个球内接正四面体N PQS -，其中心为O ，
连接NO 交SPQ 于点H ，则NO R =，OH 为正四面体N PQS -内切球得到半径，设正四面体N PQS -的表面积为S ，可得1
3
N PQS V S OH -=⋅，
即2211()4()343343
R NH R OH ⨯
⨯⨯=⨯⨯⋅，可得1
4
OH NH =
，即O 为高NH 的靠近H 的四等分点，则1
cos cos 3
OH OH NOP HOP OP ON ∠=-∠=-
=-=-，由余弦定理可得222222
21cos 223ON OP PN R PN NOP ON OP R +--∠===-⋅，解得26
3
PN R =，根据对称性，可得球面NPQ △的面积为2πR ，所以D 正确.故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.已知1
21
log 1,12
a a <<，则实数a 的取值范围___________.
【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【解析】
【分析】求解对数不等式和根式不等式，即可求得参数的范围.【详解】
12
1a <
1<，解得01a ≤<；
1log 12a
<，即1
log log 2
a a a <，当1a >时，不等式解集为12a >；当01a <<时，不等式解集为1
02a <<；
综上所述，10,
2a ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
.故答案为：10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
.
14.已知锐角,αβ满足223παβ+=
，tan tan 22
α
β=αβ+=_____.【答案】512
π【解析】
【分析】根据正切的和角公式，结合已知条件，求得tan tan 2αβ；根据根与系数的关系，求得tan ,tan 2
α
β，结合角度范围，求得,αβ即可.
【详解】由223παβ+=可得：23απβ+=，则
tan
tan tan tan 22tan 21tan tan 2
αα
ββ
αβαβ++⎛⎫+=
= ⎪⎝⎭-，
解得tan tan 32αβ+=-
，又tan tan 22α
β=-故tan ,tan 2
αβ
为一元二次方程
)
2
320x x +-+-的两个实数根，
又
)(
)()
2
32120x x x x ++-=-+=
，解得121,2x x ==；
若tan
12α=，又α为锐角，2α也为锐角，故可得24απ=，则2
π
α=，不满足α为锐角，舍去；
若tan 22α=-，则tan 1β=，故22tan
32tan 31tan 2
ααα=
=-，
又α，β为锐角，故可得,64ππαβ==，则512
αβπ+=.故答案为：
512
π.15.函数()e x f x ax b =++在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为_________.
【答案】2e 2
##2
1e
2【解析】
【分析】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，转化为点(),a b 在直线()1e 0t
t x y -++=上，
根据2
2
a b +的几何意义，可得()
222
2
e 11
t
a b t +≥
-+有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案．
【详解】设t 为()f x 在[]1,3上的零点，可得e 0t at b ++=，所以e 0t ta b ++=，即点(),a b 在直线e 0t tx y ++=，又22a b +表示点(),a b 到原点距离的平方，
≥
22
2
2e 1t
a b t +≥+有解，令()22
e
1
t
g t t =
+，可得()()()
()
()
222222
2
2
2
2e 12e 2e 111t t t t t t t g t t
t
+-=
-+'=
=
++，
因为2e 0t >，210t t -+>，所以()0g t '
>恒成立，
可得()g t 在[]1,3上为单调递增函数，所以当1t =时，()()2
min
e 12
g t g ==，
所以22
2
e 2a b +≥，即22
a b +的最小值为2e 2
．
故答案为：2
e 2
.
16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆C ：2
214
x y +=上，且其中恰有两个顶点为椭圆C 的
顶点．这样的等腰三角形有________个.【答案】20【解析】
【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案.【详解】不妨设()()122,0,0,1A B -，
如图1，连接12A B ，当12A B 为等腰三角形的底时，作12A B 的垂直平分线交椭圆于,P Q 两点，连接1212,,,QA QB PA PB ，则1212,QA B PA B
为等腰三角形，满足题意，
同理当222121,,A B A B A B 为等腰三角形的底时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；如图2，当12A B 为等腰三角形的腰时，以2B 为圆心，12A B
为半径作圆，
则圆的方程为()2
215x y +-=，
联立()2222
151
4x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩或25323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或25323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
即圆与椭圆相交于点12,,,A A N M ，连接1122,,,MA NA MB NB ，
其中1212,MA B NA B 满足要求，212A A B △三个顶点均为椭圆顶点，不合题意，
同理当222121,,A B A B A B 为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；如图③，以2B 为圆心，12B B 为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点1,,B S T ，
连接1212,,,SB SB TB TB ，此时1212,SB B TB B 为等腰三角形，满足题意，共有2个，如图4，以1B 为圆心，12B B 为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点2,,B U V ，
连接1212,,,UB UB VB VB ，此时1212,UB B VB B 为等腰三角形，满足题意，共有2个，
由椭圆性质可知，12A A 为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求，
综上：满足要求的等腰三角形个数为8+8+2+2=20.故答案为：20.
【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1
cos 2
a C c
b -=．（1）求A ；
（2）线段BC 上一点D 满足1AD BD ==，3CD =，求AB 的长度．
【答案】（1）
2π
3
（2）
7
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；
（2）根据角之间的关系及正弦定理求出2sin θθ=，由同角三角函数间的基本关系求出cos θ即可得解.
【小问1详解】由1cos 2a C c b -
=结合正弦定理可得1
sin cos sin sin 2
A C C
B -=，因为πA B
C ++=，所以()sin =sin +=sin cos +cos sin B A C A C A C ，所以1
sin cos sin sin cos +cos sin 2
A C C A C A C -
=，即1
sin cos sin 2
C A C -=，
因为sin 0C ≠，所以1cos =2
A -，因为()0,πA ∈，所以2π3
A =；【小问2详解】如图，
由题设，令(π
2
0,B BAD θ∠=∠=∈，
则2π3
DAC θ∠-=，π
3C θ∠=-，2ADC θ∠=，
在△ADC 中sin sin AD CD
C DAC =∠，即13
sin()sin(π2π)
33
θθ-=
-，
所以sin(
)3s 2ππ33in()θθ=--，故cos sin 221322
θθθθ+=-，
所以2sin θθ=，又22sin cos 1θθ+=，π
(0,2
θ∈，
解得sin ,cos 77
θθ=
=
.在等腰ABD △中，取AB 中点E ，连接DE ，则DE AB ⊥，则47
22cos 7
AB BE BD θ===
.
18.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n a +=（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）能否从{}n a 中选出以1a 为首项，以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能，请说明理由.【答案】（1）(
)
22n a n n =+∈*
N （2）能，1
2m m k a +=，1
2
2n n T n +=--.
【解析】
【分析】（1）对题干的递推关系先平方，然后多写一项作差，结合正项数列的性质，可证明其是等差数列；（2）注意到{}n a 的每一项是偶数，偶数数列是等比数列的很容易想到2,4,8,16, ，然后证明其公比最小，最后在分组求和.【小问1详解】
1
n a +=2
428n n
n S a a =+-当1n =时，2
11114284S a a a =+-=，即()2
1112800a a a --=>，
得14a =或12a =-（舍去）.
当2n ≥时，由2
428n n n S a a =+-，……①得()2
1114282n n n S a a n ---=+-≥，……②
-①②得：22
11422n n n n n a a a a a --=-+-，
化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.
因为0n a >，所以120n n a a ---=，()122n n a a n -=+≥，
即数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列，所以(
)22n a n n *
=+∈N .
【小问2详解】存在.
当114k a a ==，238k a a ==时，
会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ，
此时的公比2q =，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：
114k a a ==，假若2k a 取26a =，公比为
6342
=，则3
2
3492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
为奇数，不可能在数列{}n a 中.
所以1
142
2m m m k a -+=⋅=.
又1
222
m m k m a k +=+=，所以21m
m k =-，即{}n k 的通项公式为：(
)12n
n k n -=∈*
N
，
故()1
2
12122121 (212212)
n n
n n T n n +-=-+-++-=
-=---.
19.已知四面体ABCD ，D 在面ABC 上的射影为O ，O 为ABC 的外心，4AC AB ==，2BC =
.
（1）证明：BC ⊥AD ；
（2）若E 为AD 中点，OD =2，求平面ECO 与平面ACO 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2
）
5
【解析】
【分析】（1）根据题意，连接AO 并延长AO 交BC 于M ，连接,OB OC ，由线面垂直的判定定理可得BC ⊥面AMD ，即可证明BC ⊥AD ；
（2）解法一：取AO 中点H ，连接EH ，作HN 垂直CO 交于点N ，连接EN ，由题意可得ENH ∠即为平面ECO 与平面ACO 夹角的平面角.
解法二：建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算，结合二面角的公式即可得到结果.【小问1详解】
连接AO 并延长AO 交BC 于M ，连接,OB OC ，因为O 恰好为△ABC 的外心，所以OB OC =，又AC AB =，AO OA =，所以AOC AOB ≅ ，所以CAO BAO ∠=∠，即AM 是BAC ∠的角平分线，又AC AB =，所以由等腰三角形三线合一可得AM BC ⊥，因为D 在面ABC 上的投影为O ，所以OD ⊥面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以OD BC ⊥，
又,,AM OD O AM OD =⊂ 面AMD ，所以BC ⊥面AMD ，又AD ⊂面AMD ，所以BC AD ⊥.【小问2详解】
解法一：在ABC 中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M 是BC 的中点，由（1）知AM BC ⊥，OD ⊥面ABC ，
取AO 中点H ，连接EH ，因为2OD =，1EH =,EH ⊥面ABC,
作HN 垂直CO 交于点N ，连接EN ，ENH ∠即为平面ECO 与平面ACO 夹角的平面角.
由题可得HNO CMO ，
11
,22
HN HO HO HN CM OC OA ====
，tan 2,cos 5
EH ENH ENH HN ∠=
=∠=
，即平面ECO 与平面ACO
解法二：由（1）知AM BC ⊥，OD ⊥面ABC ，过M 作z 轴平行于OD ，则z 轴垂直于面ABC ，如图建立空间直角坐标系，
在ABC 中，由（1）与等腰三角形三线合一可知M 是BC 的中点，又4AC AB ==，2BC =
，则
AM ==设AO r =，则BO r =，又2
2
2
OM BM OB +=
，所以
)
2
221r
r -+=
，解得15
r =
，故715
15
OM AM AO =-=
，则(
)(
)
1,0,0,0,,0,,0,,2,0,,1,151515C O A D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故0,,1,1,,01515OE OC ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，设(),,n x y z = 为平面ECO
的一个法向量，则015
015n OE y z n OC x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩
，
取1y =，则715415,1515x z ==-
，故,1,15
15n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，易得()0,0,1m =
是平面COB 的一个法向量，设平面ECO 与平面ACO 夹角的平面角为θ
，
5cos cos ,5m n m n m n
θ⋅===
，所以平面ECO 与平面ACO 夹角的余弦值为
5
5
.20.数轴上的一个质点Q 从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为13
，向右移动的概率为
2
3
，记点Q 移动n 次后所在的位置对应的实数为n X .
（1）求3X 和4X 的分布列和期望；
（2）当10n =时，点Q 在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.【答案】（1）分布列见解析，3()1E X =，44
()3
E X =（2）对应实数为4，理由见解析【解析】
【分析】（1）根据题意分别计算对应的概率列出分布列，求期望；
（2）设点Q 向右移动m 次，向左移动10m -次的概率为m P ，作商与1比较可得出7m =时m P 最大即可得解.
【小问1详解】当3n =时，
3311(3)(327P X =-==，121
33122(1)C ()()339
P X =-==
21233124(1)C ()()339P X ===，303
33128(3)C ()()3327P X ===.
3
x 3-1
-13
P
1
27
29
49827
31248()3111279927
E X =-⨯
-⨯+⨯+⨯=.当4n =时，
4411
(4)(381P X =-==，13144
128(2)C ()()3381
P X =-==22244128(0)C ()()3327P X ===，313
441232(2)C ()()3381P X ===，
44216
(4)()381P X ===.
4
x 4
-2-024
P
1
81
881
82732811681
418832164()4202481812781813
E X =-⨯
-⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】
设点Q 向右移动m 次，向左移动10m -次的概率为m P ，则10101
2
C ()
()3
3
m
m
m m P -=，1010101111111010
12C ()()2C 2(11)22332
12C C ()()33
m m m m
m m m m m m P m P m m -------====当7m ≤时，1m m P P ->，m P 随m 的值的增加而增加，当7m >时，1m m P P -<，m P 随m 的值的增加而减小，所以当7m =时，m P 最大，
此时点Q 所在的位置对应的实数应为4.
21.已知椭圆22
:1164
x y C +=，00(,)P x y 是椭圆外一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,M N ，
直线MN 与直线OP 交于点Q ，,A B 是直线OP 与椭圆C 的两个交点.（1）求直线OP 与直线MN 的斜率之积；（2）求AMN 面积的最大值.【答案】（1）1
4
-（2
）【解析】
【分析】（1）设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，根据导数的几何意义可求得椭圆的切线方程，从而可得
00:
1164
MN x x y y
l +=，再根据斜率公式即可求解；（2）分00,0x y ≠、00x =、00y =三种情况分别求解，根据弦长公式和点线距离可求得AMN 面积，再利用导数判断单调性，从而求得最大值.【小问1
详解】
设00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，
由221164x y +=可得2
2
4116x y ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
，对其求导可得22x yy '=-，所以当10y ≠时，直线PM 的斜率为1
1
4x y -
，则直线PM 的方程为()1
1114x y y x x y -=-
-，即111164
x x y y +=.当10y =时，
111164x x y y +=成立，所以直线PM 的方程为111164
x x y y
+=.同理可得直线PN 的方程为221164
x x y y
+=，又因为P 是两条切线的交点，所以有10101164x x y y +=，20201164
x x y y
+=，
所以00:
1164MN x x y y
l +=，则00
4MN x k y =-，又因为00OP y k x =，
所以00001
44
MN OP x y k k y x ⋅=-⋅=-.【小问2详解】
①当00,0x y ≠时，联立直线MN 与椭圆方程00022444160x y x y y x y ⎧
=-+⎪
⎨
⎪+-=⎩
，得2222
0000(4)32256640x y x x x y +-+-=，
4
2220
00
256(416)0y y x y ∆=-+>，2
0012122222
0000
3225664,44x y x x x x x y x y -+==++，
则00
=
MN ，联立直线OP 与椭圆方程00224160y y x x x y ⎧
=⎪⎨⎪+-=⎩
，解得点A .则点A 到直线MN
的距离d =，
所以
00
412AMN
S =
00
=
令)0t t =>
，则2
8(4)16AMN
t S t +== ，令()411m m t +
=>，则4
12m t
-=-，记()343(2)2f m m m m m =-=-+，()()32246223f m m m m m '=-+=--，
所以()f m 在3
(1,)2
上单调递增，在3(,)2
+∞上单调递减，所以当32m =
，8t =，即22
0000464(,0)x y x y +=≠时，()max 327216
f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.
所以AMN S ≤= AMN
面积的最大值是.②当00x =时，直线MN 的方程为0
4y y =，联立02244160y y x y ⎧=⎪
⎨⎪+-=⎩
，
可得MN =，根据椭圆的对称性，不妨令0
0y >，则()0,2A -，则点A 到直线MN 的距离0
4
2d y =
+，
所以01422AMN S y ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭ 令()02112n n y +
=<<，则0
2
12n y -=-，记()343(2)2g n n n n n =-=-+，()()32246223g n n n n n '=-+=--，
所以()g n 在3(1,2上单调递增，在3(,2)2
上单调递减，所以当32n =
，04y =时，()max 327
216
g n g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.
所以AMN S ≤= AMN 面积的最大值是.
根据对称性可得当04y =-时，AMN 面积的最大值是
所以当04y =±时，AMN S 的最大值为.
当00y =时，同理可求得，当08x =±时，AMN S 的最大值为.
综上，当22
00464x y +=时，AMN 面积的最大值是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
22.已知12,x x 是方程()e ln x ax ax x -=-的两个实根，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围；
（2）已知()f x ax =，()ln(1)cos 2g x x x =+-+，若存在正实数3x ，使得13()()f x g x =成立，证明：13x x <.
【答案】（1）e
a >（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将()e ln x ax ax x -=-整理为()ln e e ln x
ax x ax +=+，即可得到方程()e ln x ax ax x -=-的根即方程e x ax =的根，由此令()x
e h x x
=，利用导数求该函数的最小值，即可求得答案.（2）由题意可得要证明13x x <即证明31e e x x <，结合（1）可知11e x ax =，从而将问题转化为证明
()e ln(1)cos 20x x x x >+-+>，由此构造函数，判断函数的单调性，利用导数即可证明结论.
【小问1详解】
由()e ln x ax ax x -=-，可得()e ln x x ax ax +=+，即()ln e e ln x ax x ax +=+，设()e x m x x =+，函数()m x 为单调递增函数，
则()()(ln )m x m ax =，则()ln x ax =，即e x ax =，
所以方程()e ln x
ax ax x -=-的根即方程e x ax =的根.令()x e h x x
=，则2(1)e ()x
x h x x -='，当1x <且0x ≠，()0h x '<；当1x >，()0h x '>；
()h x 在(,0)-∞上单调递减，且()0h x <，()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
当0,0x x >→时，()x
e h x x
=的值趋近于正无穷大，当x →+∞时，()x e h x x
=的值趋近于正无穷大，因为方程e x ax =有两个实根，所以min ()(1)h x h e ==，故e a >.
【小问2详解】
要证13x x <，即证31e e x x <，由（1）可得11e x ax =，
只需证明3133ln(1)cos 2e e x
x x x +-+=<，
下面证明()e ln(1)cos 20x x x x >+-+>；令()sin x x x ϕ=-，()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以()y x ϕ=在R 上单调递增，又因为(0)0ϕ=，则当0x >时，sin x x >.
设()()e ln 1cos x
k x x x =-++，则()1e sin 1x k x x x '=--+，当0x >时，()11e sin e 11x x k x x x x x '=-
->--++，设()e x t x x =-，则()e 1x t x '=-，
所以当0x >时，()0t x '>，()t x 在(0)+∞，
上单调递增，所以()()e 01x
t x x t =-≥=，则e 1x x ≥+，。