2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章第2讲两直线的位置关系 Word版含答案

第2讲两直线的位置关系
, [同学用书P145])
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件两直线位
置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行
k1＝k2
k1与k2都不存在垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、
另一个不存在
2．两条直线的交点3．三种距离
点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的
距离
|P1P2|＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2
点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By
＋C＝0的距离
d＝
|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与
Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
|C1－C2|
A2＋B2
1．辨明三个易误点
(1)在推断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可依据相应公式或性质推断，若直线无斜率，要单独考虑．
(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．
(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|
A2＋B2
时，肯定要留意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．
2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．
1.教材习题改编已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－m，m＋1)，若直线AB∥PQ，则m的值为()
A．－1B．0
C．1 D．2
C[解析] 由于AB∥PQ，
所以k AB＝k PQ，即
0－3
－4－2
＝
m＋1－1
－m－（－3）
，
解得m＝1，故选C.
2.教材习题改编已知A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m 的值为()
A．4 B．3
C．2 D．1
D[解析] 由题意得B＝90°，
即AB⊥BC，k AB·k BC＝－1，
所以
m＋1
m－5
·
3－m
2－m
＝－1.
解得m＝1或m＝
7
2，故整数m的值为1，故选D.
3．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则实数a的值为________．
[答案]
2
3
4.教材习题改编两平行直线x－2y－1＝0与x－2y＋m＝0的距离为5，则m＝________．
[解析] 由平行线间的距离公式得
|－1－m|
12＋（－2）2
＝5，即|m＋1|＝5，
所以m＝4或m＝－6.
[答案] 4或－6
5.教材习题改编已知三点O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，则△OAB的面积为________．
[解析] 由于|AB|＝（1－3）2＋（3－1）2＝2 2.
AB所在的直线方程为
y－3
1－3
＝
x－1
3－1
，即x＋y－4＝0.
所以O 到AB 的距离d ＝|－4|
2＝2 2.
所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝1
2×22×22＝4.
[答案] 4
两条直线平行与垂直[同学用书P146]
[典例引领]
(1)(2021·邢台摸底考试)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．
【解析】 (1)依题意，留意到直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是
⎩
⎪⎨⎪⎧－a 3＝－1a －2
，1
a －2≠1，
解得a ＝－1，故选C.
(2)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，
即P (0，2)．
由于l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－4
3，
所以直线l 的方程为y －2＝－4
3x ，
即4x ＋3y －6＝0.
法二：由于直线l 过直线l 1和l 2的交点，
所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，
即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 由于l 与l 3垂直，
所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， 所以λ＝11，
所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.
【答案】 (1)C (2)4x ＋3y －6＝0
将本例(2)中条件“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直”改为“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0平行”，求此时直线l 的方程．
[解] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，
x ＋y －2＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，
y ＝2，
即P (0，2)． 由于l ∥l 3，所以直线l 的斜率k ＝34，
所以直线l 的方程为y －2＝3
4x ，
即3x －4y ＋8＝0.
法二：由于直线l 过直线l 1和l 2的交点，
所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 由于l 与l 3平行，
所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝2
7，
所以直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0.
两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． (3)已知两直线的一般方程
设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2
＋B 1B 2＝0.该方法可避开对斜率是否存在进行争辩．
已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．
(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)由于l 1⊥l 2， 所以a (a －1)－b ＝0.
又由于直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.
故a ＝2，b ＝2.
(2)由于直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在． 所以a
b
＝1－a .①
又由于坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b ＝b .②
联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3，b ＝2.
距离公式(高频考点)[同学用书P147]
距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式．在高考中经常消灭，多为简洁题或中档题．
高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度： (1)求距离；
(2)已知距离求参数值； (3)已知距离求点的坐标． [典例引领]
(1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )
A ．9
5
B ．185
C ．2910
D ．295
(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________．
【解析】 (1)由于36＝48≠－12
5
，所以两直线平行，
由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82
＝29
10，
所以|PQ |的最小值为29
10.
(2)设点P 的坐标为(a ，b )． 由于A (4，－3)，B (2，－1)，
所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．
而AB 的斜率k AB ＝－3＋1
4－2
＝－1，
所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.
由于点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①
又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|5
＝2，
即4a ＋3b －2＝±10，②
由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－4或⎩
⎨⎧a ＝27
7，b ＝－87
.
所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－8
7. 【答案】 (1)C (2)(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87
[题点通关]
角度一 求距离 1．(2021·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )
A ．
102
B ．10
C ．5
D ．10
D [解析] 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，
由于过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以M 位于以PQ 为直径的圆
上，
由于|PQ |＝
9＋1＝10，
所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 角度二 已知距离求参数值
2．若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 A [解析] 由于直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，
所以⎩⎨⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，
所以n ＝－2，m ＝2(负值舍去)． 所以m ＋n ＝0.
角度三 已知距离求点的坐标
3．已知定点A (1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，12 B ．⎝⎛⎭⎫
22，22 C ．⎝⎛
⎭⎫
32
，32 D ．⎝⎛
⎭⎫52
，52 A [解析] 由于定点A (1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝1
2
，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.
对称问题[同学用书P148]
[典例引领]
已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知
⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×2
3
＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－33
13，
y ＝4
13. 所以A ′⎝⎛⎭
⎫－3313，4
13. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，
则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则
⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02
＋1＝0，
b －0a －2×2
3
＝－1.
解得M ′⎝⎛⎭⎫
613，3013.
设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩
⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，
3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又由于m ′经过点N (4，3)，所以由两
点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.
(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，由于P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.
[通关练习]
1．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________． [解析] 法一：由题知，点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， 所以两直线平行， 所以－12＝－a
4，所以a ＝2.
又点A 到两直线距离相等， 所以|1－3|5＝|2＋b |
25
，
所以|b ＋2|＝4， 所以b ＝－6或b ＝2.
由于点A 不在直线x ＋2y －3＝0上，
所以两直线不能重合， 所以b ＝2.
法二：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)， 则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上． 由于易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，
－a ＋b ＝0，
所以b ＝2.
[答案] 2
2．已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．
[解析] 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，
所以⎩⎨⎧b －4
a －（－3）·1＝－1，
－3＋a 2－b ＋4
2＋3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.
又反射光线经过点N (2，6)， 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －1
2－1，
即6x －y －6＝0. [答案] 6x －y －6＝0
,
[同学用书P148])
——忽视直线斜率的不存在性致误
已知直线l 过点A (1，2)，且原点到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．
【解】 当直线l 过点A (1，2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意．
当直线l 过点A (1，2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 由于原点到直线l 的距离为1，所以|－k ＋2|
k 2＋1＝1，
解得k ＝3
4
.
所以所求直线l 的方程为y －2＝3
4(x －1)，
即3x －4y ＋5＝0.
综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.
(1)解决本题易忽视直线的斜率不存在的状况，从而只求得一条直线．
(2)在解决与直线方程或直线位置关系有关问题时，若题目中没有明确直线的斜率是否存在，要留意对斜率的存在性进行分类争辩．
已知经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线
l 2相互垂直，则实数a 的值为________．
[解析] l 1的斜率k 1＝3a －0
1－（－2）
＝a .
当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2a
a .
由于l 1⊥l 2，
所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2a
a ＝－1，
解得a ＝1.
当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0，0)，这时直线l 2为y 轴， A (－2，0)，B (1，0)，直线l 1为x 轴，明显l 1⊥l 2.
综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] 1或0
,
[同学用书P339(独立成册)])
1．若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0相互平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [解析] 由于直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0相互平行，所以
⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋（2－m ）＝0，m ＋2（2－m ）≠0，
解得m ＝1.故选C. 2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或1
2
B ．1
3或－1
C ．13
D ．－1
B [解析] 由于直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0， l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2， 所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝1
3
或a ＝－1.故选B.
3．当0<k <1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．其次象限
C ．第三象限
D ．第四象限
B [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，
ky －x ＝2k ，得⎩
⎨⎧
x ＝k k －1
，y ＝2k －1k －1
.
又由于0<k <1
2
，
所以x ＝k
k －1<0，y ＝2k －1
k －1
>0，
故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在其次象限．
4．(2021·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0
A [解析] 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ
＝
1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.
5．已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．－6或1
2
B ．－1
2或1
C ．－12或12
D ．0或1
2
A [解析] |3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12
，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或1
2
.
6．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则线段P 1P 2的中
点P 到原点的距离的最小值是( )
A ．522
B ．5 2
C ．1522
D ．15 2
B [解析] 由题意得，线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，由于原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝10
2
＝52，所以线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值为5 2.
7．已知A ，B 两点分别在两条相互垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．
[解析] 依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )，B (－2y ，y )，故⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，
2x ＋y ＝10，则 A (4，8)，B (－4，2)，
所以|AB |＝
（4＋4）2＋（8－2）2＝10.
[答案] 10
8．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．
[解析] 由于l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋3
2，即直线l 2的斜率
为12
. [答案] 1
2
9．已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线
l 1的方程是________．
[解析] 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．由于A (1，1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－1
0－1＝
2，所以两平行直线的斜率为k ＝－1
2
，
所以直线l 1的方程是y －1＝－1
2
(x －1)，即x ＋2y －3＝0.
[答案] x ＋2y －3＝0
10. 如图，已知A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E (－1，0)，F (1，0)，一束光线从F 点动身射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．
[解析] 从特殊位置考虑．如图，
由于点A (－2，0)关于直线BC ：
x ＋y ＝2的对称点为A 1(2，4)，所以kA 1F ＝4.又点E (－1，0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2，1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1，4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，所以k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．
[答案] (4，＋∞)
11．正方形的中心为点C (－1，0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程． [解] 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9
＝3105
.
设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m |1＋9
＝3105
，
解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，
所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离
d ＝|－3＋n |1＋9＝3105
，
解得n ＝－3或n ＝9，
所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.
12．(2021·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )
A ．过点P 且与l 垂直的直线
B ．过点P 且与l 平行的直线
C ．不过点P 且与l 垂直的直线
D ．不过点P 且与l 平行的直线
D [解析] 由于点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C
＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排解A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C
＝0平行，排解C ，故选D.
13．已知点P (2，－1)．
(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；
(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． [解] (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，明显，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，
此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.
由已知得|－2k －1|
k 2
＋1＝2，
解得k ＝3
4
.
此时l 的方程为3x －4y －10＝0.
综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.
(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图． 由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1
k OP
＝2.
由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，
即2x －y －5＝0.
所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，
最大距离为|－5|
5
＝ 5.
(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．
14．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？
[解] 如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，
则点A (0，400)，点B (a ，100)． 过点B 作BC ⊥AO 于点C .
在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300， 由勾股定理得BC ＝400， 所以B (400，100)．
点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)， 由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝5
4x －400.
令y ＝0，得x ＝320， 即点P (320，0)．
故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。