2019版高考数学(文)讲义：第3章 三角函数、解三角形 第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( )
[ ] 4
π
3
，π
(2)已知 sinα＝5，α∈ 2 ，则 cosα＝5.( )
(3)sin(π＋α)＝－sinα 成立的条件是 α 为锐角．( )
(4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角．( )
1
1
A.2 1
B．－ 3 1
C．－ 2
D.3
答案 C
sinα·cosα
解析 ∵f(α)＝－cosαtanα＝－cosα，
( ) ( ) ( ) 31π
31π
π
π1
－
－
10π＋
∴f 3 ＝－cos 3 ＝－cos
3 ＝－cos3＝－2.
( ) ( ) π 1
7π
α＋
α＋
5．已知 sin 12 ＝3，则 cos 12 的值为( )
命题角度 2 同角关系和诱导公式的综合应用
例 3 [2016·全国卷Ⅰ]已知 θ 是第四象限角，且
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
sin 4 ＝5，则 tan 4 ＝________.
4
答案 －3
( ) ( ) π 3
π
θ＋
θ－
解析 因为 sin 4 ＝5，所以 cos 4 ＝sinError!Error!＝sin
3
3
A．－ 2
B. 2
3
3
C．－ 4
D.4
答案 B
5π 3π
解析 ∵ 4 ＜α＜ 2 ，
∴cosα＜0，sinα＜0 且|cosα|＜|sinα|，∴cosα－sinα＞0. 13
又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×8＝4， 3
∴cosα－sinα＝ 2 .
板块四 模拟演练·提能增分 [A 级 基础达标]
11
答案 2 2
1
1
解析 由 sin(π＋α)＝－2，得 sinα＝2，
1
则 sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝2，
( ) ( ) ( ) 3π
3π
π
α＋
α＋ －2π
α－
cos 2 ＝cos 2
＝cos 2
( )π
1
－α
＝cos 2 ＝sinα＝2.
5．[课本改编]若 α 是第二象限角，且 tanα＝－2，则
第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识]
考点 1 同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
sinα 2．商数关系：tanα＝cosα. 考点 2 六组诱导公式
[必会结论] 1．同角三角函数基本关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； (sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2； (sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα. 2．诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
(4)关于 sinα，cosα 的齐次式，往往转化为关于 tanα 的式子求
解．
π
【变式训练】 (1)已知 2tanα·sinα＝3，－2＜α＜0，则 sinα＝( )
3
3
A. 2
B．－ 2
1
1
C. 2
D．－2
答案 B
2sin2α
解析 因为 2tanα·sinα＝3，所以 cosα ＝3，所以 1
( )π 3
π
θ＋
4 ＝5，因为 θ 为第四象限角，所以－2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，
3π
π
π
所以－ 4 ＋2kπ＜θ－4＜2kπ－4，k∈Z，所以
( )π
sin θ－ 4
( ) ( ) ( ) ( ) π
3
4
π
π4
θ－
1－ 2
θ－ cos θ－
sin 4 ＝－ 5 ＝－5，所以 tan 4 ＝
4
4
A.5
B．－ 5
3
3
C. 5 答案 B
D．－5
3
3
解析 tan(α－π)＝4⇒tanα＝4.
( ) π 3π ， 又因为 α∈ 2 2 ，所以 α 为第三象限的角，
( )π
4
α＋
所以 sin 2 ＝cosα＝－5.
( ) sinπ－αcos2π－α
31π
－
4．已知 f(α)＝ cos－π－αtanα ，则 f 3 的值为( )
10
答案 － 5
( ) ( ) π 1
π
θ＋
θ＋
答题启示 1.由 tan 4 ＝2挖掘 tan 4 ＞0，结合 θ 为第二
π
象限角，进一步确定角 θ＋4的范围． 2．开方运算时，应先根据角 θ 的范围或象限角判定三角函数值
的符号．
跟踪训练
1 5π 3π
已知 sinαcosα＝8，且 4 ＜α＜ 2 ，则 cosα－sinα 的值为( )
1．[2018·洛阳模拟]下列各数中与 sin2019°的值最接近的是( )
1 A.2
1
3 B. 2
3
C．－ 2 答案 C
D．－ 2
解析 2019°＝5×360°＋180°＋39°，
∴sin2019°＝－sin39°和－sin30°接近．选 C.
π
2．已知 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|＜2，则 θ 等于( )
cosα＝________.
5
答案 － 5
解析 由 tanα＝－2，得 sinα＝－2cosα，代入平方关系得
5
5cos2α＝1，因为 cosα<0，所以 cosα＝－ 5 .
( ) ( ) π 1
π
α－
＋α
6．[2018·桂林模拟]若 sin 4 ＝3，则 cos 4 ＝________.
1
答案 －3
函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时
要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．
2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
板块三 启智培优·破译高考
易错警示系列 5——忽视“角范围”的信息提取致误
( )π 1
θ＋ [2018·石家庄模拟]设 θ 为第二象限角，若 tan 4 ＝2，则 sinθ＋cosθ＝________.
( )π 1
θ＋ 得 sin2 4 ＝5.
∵θ 为第二象限角．
3
π
5
∴2kπ＋4π＜θ＋4＜2kπ＋4π，k∈Z.
( )π 1
θ＋ 又 tan 4 ＝2＞0，
π
5
∴2kπ＋π＜θ＋4＜2kπ＋4π(k∈Z)，
( )π
5
θ＋
故 sin 4 ＝－ 5 .
( )π
10
θ＋
因此 sinθ＋cosθ＝ 2sin 4 ＝－ 5 .
1
1
(5)若 cos(nπ－θ)＝3(n∈Z)，则 cosθ＝3.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2．[2018·商丘模拟]sin(－600°)的值为( )
3
2
A. 2
B. 2
3
C．1
D. 3
答案 A
3
解析 sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin120°＝ 2 .
1
1
1
1 7 25
×
cos2x－sin2x＝cosx＋sinxcosx－sinx＝5 5＝ 7 .
sinx－2cosx
在本例条件下，求4sinx＋cosx的值． 3
－ －2 sinx－2cosx tanx－2 4 11
解 4sinx＋cosx＝4tanx＋1＝－3＋1＝ 8 .
在本例条件下，求 sin2x＋sinxcosx 的 值．
( )π
θ＋ 错因分析 (1)不能提炼隐含信息 tan 4 ＞0.
(2)利用同角三角函数平方关系，开方运算时忽视三角函数符号
的判定．
( ) ( ) ( ) π 1
π
π
θ＋
θ＋
θ＋
解析 由 tan 4 ＝2，得 cos 4 ＝2sin 4 ，代入 sin2
( ) ( ) π
π
θ＋
θ＋
4 ＋cos2 4 ＝1，
解 (1)解法一：联立方程Error!
1
由①得 sinx＝5－cosx，将其代入②，
整理得 25cos2x－5cosx－12＝0. π
∵－2<x<0，∴Error!
7
∴sinx－cosx＝－5. 1
解法二：∵sinx＋cosx＝5，
( )1
1
∴(sinx＋cosx)2＝ 5 2，即 1＋2sinxcosx＝25，
sinα
用cosα＝tanα 可以实现角 α 的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于
sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 这三个式子，利用(sinα±cosα)
2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：
1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
4 ＝－3.
触类旁通
利用诱导公式化简求值的思路
(1)给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值
转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，
符号看象限”的应用．
(2)在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存
在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转
化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞
24
∴2sinxcosx＝－25.
∵(sinx－cosx)
24 49
2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋25＝25.① π
又∵－2<x<0，∴sinx<0，cosx>0，
∴sinx－cosx<0.② 7
由①②可知 sinx－cosx＝－5.
(2)解法一：由已知条件及(1)可知
( ) [ ( )] ( ) ( ) π
ππ
π
π1
＋α
－ －α
－α
α－
解析 cos 4 ＝cos 2 4 ＝sin 4 ＝－sin 4 ＝－3.
板块二 典例探究·考向突破
考向 同角三角函数基本关系式的应用
π
1
例 1 [2018·杭州模拟]已知－2<x<0，sinx＋cosx＝5. 1
(1)求 sinx－cosx 的值； (2)求cos2x－sin2x的值．
错．
核心规律 1.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用 方法有：(1)弦切互化法；(2)和积转换法；(3)巧用“1”的变换． 2.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角 函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数 名称和符号的确定．
满分策略
1.同角三角函数的基本关系及诱导公式要注意角的范围对三角
( ) ( ) π
3
π 3π
＋α
，
3．已知 cos 2 ＝5，且 α∈ 2 2 ，则 tanα＝( )
4
3
A.3
B. 4
3
3
C．－ 4ຫໍສະໝຸດ D．±4答案 B3
4
3
解析 ∵sinα＝－5，cosα＝－5，∴tanα＝4.选 B.
1
4．若 sin(π＋α)＝－2，则 sin(7π－α)
( )3π
α＋ ＝________，cos 2 ＝________.
2sin2α＝3cosα，即 2－2cos2α＝3cosα，所以 cosα＝2或 cosα＝－2(舍
π
3
去)，又－2＜α＜0，所以 sinα＝－ 2 . 1
(2)已知 α 是三角形的内角，且 tanα＝－3，求 sinα＋cosα 的
值．
1
1
解 由 tanα＝－3，得 sinα＝－3cosα，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，
93 －
16 4 sin2x＋sinxcosx tan2x＋tanx 9
＋1 解 sin2x＋sinxcosx＝ sin2x＋cos2x ＝ tan2x＋1 ＝16 ＝－ 3 25.
触类旁通
同角三角函数基本关系式及变形公式的应用
(1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利
3
Error!解得Error!∴tanx＝－4.
sin2x＋cos2x
cos2x
1
sin2x＋cos2x cos2x－sin2x tan2x＋1
又∵cos2x－sin2x＝cos2x－sin2x＝ cos2x ＝1－tan2x，
1
25
∴cos2x－sin2x＝ 7 .
解法二：由已知条件及(1)可知Error!
π
π
A．－ 6 π
B．－ 3 π
C. 6
D.3
答案 D
解析 ∵sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，
π
π
∴－sinθ＝－ 3cosθ，∴tanθ＝ 3.∵|θ|＜2，∴θ＝3.
( ) 3
π 3π
，
3．[2018·华师附中月考]已知 tan(α－π)＝4，且 α∈ 2 2 ，则
( )π
α＋ sin 2 ＝( )
10
9
得 9 cos2α＝1，∴cos2α＝10，易知 cosα＜0，
3 10
10
∴cosα＝－ 10 ，sinα＝ 10 ，
10
故 sinα＋cosα＝－ 5 .
考向 利用诱导公式化简求值
命题角度 1 利用诱导公式化简求值
例 2 已知
( ) ( ) π
11π
sin2π－αcosπ＋αcos ＋α cos －α
2
2
( ) 9π
cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin ＋α
f(α)＝
2，
( )11π
求 f 4 的值．
－sinα－cosα－sinα－sinα
解 f(α)＝ －cosαsinαsinαcosα
( )11π
11π π
＝－tanα，则 f 4 ＝－tan 4 ＝tan4＝1.