《等差等比数列类比探究》教学设计
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5 5 1 n ；当 n 为奇数时， S n n . 2 2 2
【设计目的】本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的 等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想
5
方法。
问题 3： 等差数列有如下性质：若数列 an 为等差数列，则当 bn
a1 a2 n an
类比上述方法，请你计算
1 2 3 2 3 4 n(n 1)(n 2) __________ ____
【分析】类比已知可得：
6
…
相加，得 【设计目的】本题是对成题做了小小的改动，考虑到大部分学生学过奥数， 对列项相消的方法比较熟悉，而且感叹于其奇妙，引出此题，增强学生对数 学的学习兴趣，和遇到新问题，新概念时运用类似思想的意识。
问题 6（选做） ：
问题 2： 定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同 一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知 数列 {an } ，是等和数列，且 a1 2 ，公和为 5，那么 a18 的值为 个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为 。 ，这
【分析】由等和数列的定义，易知 a2n1 2, a2n 3(n 1,2,), 故 a18 3. 当 n 为偶数时， S n
题的过程。
an1 an 、an1 an 两种，根据学生回答
情况进行分析。 问题 3： 等差数列{an}首项为 a1，公差为 d，前 n 项和 为 Sn，则 Sn= ； 类比上述结论，请给出你的猜想. 等差数列{bn}首项为 b1，公差为 q， 前 n 项积为 Tn，则 Tn= 。 问题 4：在等差数列 an 中，若 a10 0 ，则 有等式
的值
课堂 总结
。
培养归纳概括 能力和分享意 识
1. 学生总结本节课的收获 2. 教师提醒学生在实际生活中也要学会使 用类比的方法发现问题、解决问题 教学效果评价
总结、分享
评价方式： （即：用什么方式检测学习效果）
4
作业——类比思想应用： 问题 1： 设函数 f ( x)
1 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法， 2 2
教学重点和难点
（一）教学重点 1. 等差、等比数列的基本知识和基本方法的进一步落实； 2. 类比思想方法的渗透 （二）教学难点 类比思想方法的实质的理解和掌握，以及类比意识的培养
教学过程 教学 环节 教师活动 复习引入： 我们在前面的学习中研究了两类特殊的 数列——等差数列和等比数列， 下面我们一起 来回顾一下： Q1：什么是等差数列？ 什么是等比数列？ Q2：等差数列的通项公式？ 等比数列的通项公式？ Q3： 等差数列的通项公式的推导方法是什么？
思考谈论， 分享 不同的想法
类比上述性质，相应的在等比数列 bn 中， 请你猜想一下，能获得什么样的结论？ 问题 5（备选作业中同学们的问题） ：
设函数 f ( x)
1 ，利用课本中 2 2
x
推导等差数列前 n 项和公式的方法，可 求得
f (5) f (4) f (0) f (5) f (6)
观察、归纳
d 换成等比数列的 q ，并将“加、减、乘、除”
依次变成“乘、除、乘方、开方”运算即可以 相应的产生等比数列的定义、通项公式和中 项。 说明： （1）由于类比推理，是一种由特殊到特 殊的合情推理， 所以推理内容不一定正确， 利 用结论类比得到的性质应该证明其正确性。 （２）将“加、减、乘、除”依次变成 “乘、除、乘方、开方”的变换中，下标之间 的运算无需变化。 （3） 等差数列中 d 0 通常类比成等比 数列中 q 1 。 学生观察、 问题 1： 已知一个等差数列 an 的首项为 a1 ， 公差 分析、思考，一 为 d ，取出所有的奇数项组成一个新的数列， 方 面 从 形 式 上 则这个数列仍是等差数列？ 加以类比， 另一 通过类比，请你猜想： 方面， 从证明方 法上也进行类 已知一个等差数列 bn 的首项为 b1 ，公差 比证明。 为q， 问题一结 束后， 结合前面 的知识启发引 问题 2： 导学生经历运 用类比思想方 我们经过研究发现若 an 为等差数列，则 法研究数列问
3
在学生理解性 质后，初步体 验用“类比” 方法发现问题 并解决问题。 帮助学生初步 感觉到“和” 与“积”的类 比， “差”与 “商”的类比。 通过这一问 题，引导学生
新课 探究
an1 an 也成等差数列。请你类比猜想：
若 bn 为等比数列， 则 预 计 学 生 可 能 出 现 的 答 案 有
问题 5： 已知两个等差数列的公差不相等，但第 5 项相等，这两个等差数列中除 第 5 项外，还有可能出现序号与数值都相等的项吗？ 相应地： 已知两个等比数列的公比不相等，但第 5 项相等，这两个等比数列中除 第 5 项外，还有可能出现序号与数值都相等的项吗？ 【分析】本题可以从数列公式和图像两个角度解决。 【设计目的】本题选自课本上的问题，加深学生对数列的认识，既有运算过 程的类比，也有思想方法上的类比，同时可见由于定义中减法和除法运算的 适用范围不同，导致在某些情况下两者性质的不同。同时可以帮助学生完善 对类比的认识，类比猜想的结论需要验证。
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( )” 想到了如下一 1 2 2 3 n(n 1) 2 2 3 n n 1
1 种方法：先改写第 k 项： k (k 1) [k (k 1)( k 2) (k 1)k (k 1)]. 3
发现两个问题 不仅仅是形式 上的模仿，其 证明方法、考 虑角度也可进 行类比，说明 这种思考问题 的方法已不自 觉地纳入他们 的思维体系之 中。 从倒序相加到 倒序相乘的类 比，更重要的 是一种思想上 的类比——化 归的思想。
a1 a2
成立。
an a1 a2
a19n (n 19, n N )
由此得
1 1 2 (1 2 3 0 1 2), 3 1 2 3 (2 3 4 1 2 3), 3 1 n(n 1) [n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1], 3
1 相加得 1 2 2 3 n(n 1) n(n 1)( n 2) 3
2
学生活动
教学意图
课堂 引入
回顾等差等比 数列的基本概 念和基本方法
复习巩固基础 知识和基本方 法，缓解学生 紧张情绪，帮 助学生进入思 考状态
等比数列呢？ Q4：若 m n s t , m, n, s, t N * ，则等差 数列 {an } 中， a m 、 an 、 as 、 at 满足什么关 系？等比数列中呢？ 在研究的过程中， 我们发现等差数列和等 比数列的研究过程、 方法和所得的结论都有很 大的相似之处，我们再来比照一下： Q5：对比等差数列和等比数列的定义、通项、 中项等公式， 请你来观察分析一下这些公式中 的运算有着怎样的对应关系？ 减法→除法，加法→乘法， 乘法→乘方，猜测：除法→开方 总结： 等差数列和等比数列在运算上具备一定 的规律性， 即只要将等差数列的定义和通项中
时，数列 bn 也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列 cn 是正项等比 数列，当 dn 时，数列 dn 也是等比数列。 dn n c1c2
cn
【设计目的】检验本节课课堂内容的落实情况，通过学生的推理过程，发现 个别学生的问题，以便进行个别化指导。
问题 4： 在计算“ 1 2 2 3 n(n 1) ”时，某同学类比 “
x
可求得 f (5) f (4) f (0) f (5) f (6) 的值
【分析】观察每一个因式的特点，尝试着计算 f ( x) f (1 x) :
。
1 2x 1 1 2 , f (1 x) 1 x 2 x, ∵ f ( x) x x 2 2 2 2 2 2 2 22
课题名称：等差等比数列类比探究 教学背景分析 （一） 本课时教学内容在本教材及单元中的地位： 数列是一个古老的数学内容，也是近代数学研究的重要对象，是反映自 然规律的基本数学模型。所以，数列是高中阶段的一个重要数学基础知识和 基本技能。全章贯穿观察、分析、类比、归纳、猜想、化归、模型化、函数 思想、递推思想等思想方法。在本章教学中可以帮助学生进行观察分析、归 纳概括、计算技巧、转化化归等技能训练，提高学生的思维能力，培养学生 的创新能力。 等差数列、等比数列是数列中两个特殊而又基本的数列，有着广泛的应 用价值，因此是本章的重点内容。课标中明确指出，在数列的教学中，应保 证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本 关系，但训练要控制难度和复杂程度。因此本节课中重视对等差、等比数列 的定义、通项公式，等差（比）中项等基本知识、基本概念的使用，在问题 解决的过程中让学生感受到其重要性。 类比是最基本最重要的猜想方法，是知识内容和方法更容易为学生所接 受，同时提高了学生的创造力。牛顿说： “没有大胆地猜测，就做不出伟大的 发现。 ”法国数学家拉普拉斯说： “即使在数学里，发现真理的最要工具也是 归纳和类比。 ”在教师用书中明确指出： “本节教材在教学中应突出建模、类 比方法的渗透与强化。 ” 因此本节课主要是以等差等比数列的定义和通项公式等基本知识作为 载体，传递类比的思想方法，通过等差等比数列的类比研究，希望能够培养 学生类比发现的意识，提升学生的创新能力。 （二） 学生情况分析： 学生已经学习了数列、等差数列的全部内容以及等比数列的定义、通项 公式和等比中项等简单的性质，但是知识和方法的应用还不是十分熟练，需 要进一步强化基础知识、基本方法和基本技能的落实；在函数、数列的学习 以及生活中，对类比的思想有初步的体验和感受，但是对类比的实质性分析 还不够，需要在不断的学习中不断体会和感悟。 （三） 教学方式： 本节课主要引导学生观察分析等差、等比数列的联系，通过类比等差数 列的一些研究结果，猜想、探求等比数列的结论和规律，并给出解释和证明。 因此，本节课的教学方式采用“类比——发现——自悟”的研究性学习课堂
1
教学模式。 （四）教学手段： 多媒体辅助教学
教学目标
（一）知识与技能： 1. 进一步掌握和理解等差、等比数列的概念、通项公式、等差中项、等 比中项的概念，并能运用公式解决数列中相关的问题； 2. 提高观察、概括、猜想、运算和论证能力，能通过类比的方法解决有 关数列的一些问题； （二）过程与方法： 1. 经历类比等差数列研究等比数列的过程，感受类比思想； 2. 在解决问题的过程中，进一步体会倒序相加（乘） 、叠加（乘） 、叠乘 等方法的应用； （三）情感态度价值观： 1. 在类比探究的过程中体验探索的乐趣，培养学生学习数学的兴趣； 2. 培养学生自主探索、独立思考、用于质疑的习惯，同时学着与他人合 作、交流、分享； 3. 培养学生大胆猜想的创新意识， 同时培养孜孜于严格证明的科学精x) f (1 x)
1 2x 2 2 , x 2 22
发现 f ( x) f (1 x) 正好是一个定值，∴ 2S
2 12 ，∴ S 3 2. 2
【设计目的】此题选择学生以前的作业题目，类比课本中推导等差数列前 n 项和公式的倒序相加法，需要理解倒序相加法的实质。通过弱化或强化条件 与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题。这样，通过 从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本 拓新之用，从而有效于发展学生创新的思维。
【设计目的】本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的 等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想
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方法。
问题 3： 等差数列有如下性质：若数列 an 为等差数列，则当 bn
a1 a2 n an
类比上述方法，请你计算
1 2 3 2 3 4 n(n 1)(n 2) __________ ____
【分析】类比已知可得：
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…
相加，得 【设计目的】本题是对成题做了小小的改动，考虑到大部分学生学过奥数， 对列项相消的方法比较熟悉，而且感叹于其奇妙，引出此题，增强学生对数 学的学习兴趣，和遇到新问题，新概念时运用类似思想的意识。
问题 6（选做） ：
问题 2： 定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同 一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知 数列 {an } ，是等和数列，且 a1 2 ，公和为 5，那么 a18 的值为 个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为 。 ，这
【分析】由等和数列的定义，易知 a2n1 2, a2n 3(n 1,2,), 故 a18 3. 当 n 为偶数时， S n
题的过程。
an1 an 、an1 an 两种，根据学生回答
情况进行分析。 问题 3： 等差数列{an}首项为 a1，公差为 d，前 n 项和 为 Sn，则 Sn= ； 类比上述结论，请给出你的猜想. 等差数列{bn}首项为 b1，公差为 q， 前 n 项积为 Tn，则 Tn= 。 问题 4：在等差数列 an 中，若 a10 0 ，则 有等式
的值
课堂 总结
。
培养归纳概括 能力和分享意 识
1. 学生总结本节课的收获 2. 教师提醒学生在实际生活中也要学会使 用类比的方法发现问题、解决问题 教学效果评价
总结、分享
评价方式： （即：用什么方式检测学习效果）
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作业——类比思想应用： 问题 1： 设函数 f ( x)
1 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法， 2 2
教学重点和难点
（一）教学重点 1. 等差、等比数列的基本知识和基本方法的进一步落实； 2. 类比思想方法的渗透 （二）教学难点 类比思想方法的实质的理解和掌握，以及类比意识的培养
教学过程 教学 环节 教师活动 复习引入： 我们在前面的学习中研究了两类特殊的 数列——等差数列和等比数列， 下面我们一起 来回顾一下： Q1：什么是等差数列？ 什么是等比数列？ Q2：等差数列的通项公式？ 等比数列的通项公式？ Q3： 等差数列的通项公式的推导方法是什么？
思考谈论， 分享 不同的想法
类比上述性质，相应的在等比数列 bn 中， 请你猜想一下，能获得什么样的结论？ 问题 5（备选作业中同学们的问题） ：
设函数 f ( x)
1 ，利用课本中 2 2
x
推导等差数列前 n 项和公式的方法，可 求得
f (5) f (4) f (0) f (5) f (6)
观察、归纳
d 换成等比数列的 q ，并将“加、减、乘、除”
依次变成“乘、除、乘方、开方”运算即可以 相应的产生等比数列的定义、通项公式和中 项。 说明： （1）由于类比推理，是一种由特殊到特 殊的合情推理， 所以推理内容不一定正确， 利 用结论类比得到的性质应该证明其正确性。 （２）将“加、减、乘、除”依次变成 “乘、除、乘方、开方”的变换中，下标之间 的运算无需变化。 （3） 等差数列中 d 0 通常类比成等比 数列中 q 1 。 学生观察、 问题 1： 已知一个等差数列 an 的首项为 a1 ， 公差 分析、思考，一 为 d ，取出所有的奇数项组成一个新的数列， 方 面 从 形 式 上 则这个数列仍是等差数列？ 加以类比， 另一 通过类比，请你猜想： 方面， 从证明方 法上也进行类 已知一个等差数列 bn 的首项为 b1 ，公差 比证明。 为q， 问题一结 束后， 结合前面 的知识启发引 问题 2： 导学生经历运 用类比思想方 我们经过研究发现若 an 为等差数列，则 法研究数列问
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在学生理解性 质后，初步体 验用“类比” 方法发现问题 并解决问题。 帮助学生初步 感觉到“和” 与“积”的类 比， “差”与 “商”的类比。 通过这一问 题，引导学生
新课 探究
an1 an 也成等差数列。请你类比猜想：
若 bn 为等比数列， 则 预 计 学 生 可 能 出 现 的 答 案 有
问题 5： 已知两个等差数列的公差不相等，但第 5 项相等，这两个等差数列中除 第 5 项外，还有可能出现序号与数值都相等的项吗？ 相应地： 已知两个等比数列的公比不相等，但第 5 项相等，这两个等比数列中除 第 5 项外，还有可能出现序号与数值都相等的项吗？ 【分析】本题可以从数列公式和图像两个角度解决。 【设计目的】本题选自课本上的问题，加深学生对数列的认识，既有运算过 程的类比，也有思想方法上的类比，同时可见由于定义中减法和除法运算的 适用范围不同，导致在某些情况下两者性质的不同。同时可以帮助学生完善 对类比的认识，类比猜想的结论需要验证。
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( )” 想到了如下一 1 2 2 3 n(n 1) 2 2 3 n n 1
1 种方法：先改写第 k 项： k (k 1) [k (k 1)( k 2) (k 1)k (k 1)]. 3
发现两个问题 不仅仅是形式 上的模仿，其 证明方法、考 虑角度也可进 行类比，说明 这种思考问题 的方法已不自 觉地纳入他们 的思维体系之 中。 从倒序相加到 倒序相乘的类 比，更重要的 是一种思想上 的类比——化 归的思想。
a1 a2
成立。
an a1 a2
a19n (n 19, n N )
由此得
1 1 2 (1 2 3 0 1 2), 3 1 2 3 (2 3 4 1 2 3), 3 1 n(n 1) [n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1], 3
1 相加得 1 2 2 3 n(n 1) n(n 1)( n 2) 3
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学生活动
教学意图
课堂 引入
回顾等差等比 数列的基本概 念和基本方法
复习巩固基础 知识和基本方 法，缓解学生 紧张情绪，帮 助学生进入思 考状态
等比数列呢？ Q4：若 m n s t , m, n, s, t N * ，则等差 数列 {an } 中， a m 、 an 、 as 、 at 满足什么关 系？等比数列中呢？ 在研究的过程中， 我们发现等差数列和等 比数列的研究过程、 方法和所得的结论都有很 大的相似之处，我们再来比照一下： Q5：对比等差数列和等比数列的定义、通项、 中项等公式， 请你来观察分析一下这些公式中 的运算有着怎样的对应关系？ 减法→除法，加法→乘法， 乘法→乘方，猜测：除法→开方 总结： 等差数列和等比数列在运算上具备一定 的规律性， 即只要将等差数列的定义和通项中
时，数列 bn 也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列 cn 是正项等比 数列，当 dn 时，数列 dn 也是等比数列。 dn n c1c2
cn
【设计目的】检验本节课课堂内容的落实情况，通过学生的推理过程，发现 个别学生的问题，以便进行个别化指导。
问题 4： 在计算“ 1 2 2 3 n(n 1) ”时，某同学类比 “
x
可求得 f (5) f (4) f (0) f (5) f (6) 的值
【分析】观察每一个因式的特点，尝试着计算 f ( x) f (1 x) :
。
1 2x 1 1 2 , f (1 x) 1 x 2 x, ∵ f ( x) x x 2 2 2 2 2 2 2 22
课题名称：等差等比数列类比探究 教学背景分析 （一） 本课时教学内容在本教材及单元中的地位： 数列是一个古老的数学内容，也是近代数学研究的重要对象，是反映自 然规律的基本数学模型。所以，数列是高中阶段的一个重要数学基础知识和 基本技能。全章贯穿观察、分析、类比、归纳、猜想、化归、模型化、函数 思想、递推思想等思想方法。在本章教学中可以帮助学生进行观察分析、归 纳概括、计算技巧、转化化归等技能训练，提高学生的思维能力，培养学生 的创新能力。 等差数列、等比数列是数列中两个特殊而又基本的数列，有着广泛的应 用价值，因此是本章的重点内容。课标中明确指出，在数列的教学中，应保 证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本 关系，但训练要控制难度和复杂程度。因此本节课中重视对等差、等比数列 的定义、通项公式，等差（比）中项等基本知识、基本概念的使用，在问题 解决的过程中让学生感受到其重要性。 类比是最基本最重要的猜想方法，是知识内容和方法更容易为学生所接 受，同时提高了学生的创造力。牛顿说： “没有大胆地猜测，就做不出伟大的 发现。 ”法国数学家拉普拉斯说： “即使在数学里，发现真理的最要工具也是 归纳和类比。 ”在教师用书中明确指出： “本节教材在教学中应突出建模、类 比方法的渗透与强化。 ” 因此本节课主要是以等差等比数列的定义和通项公式等基本知识作为 载体，传递类比的思想方法，通过等差等比数列的类比研究，希望能够培养 学生类比发现的意识，提升学生的创新能力。 （二） 学生情况分析： 学生已经学习了数列、等差数列的全部内容以及等比数列的定义、通项 公式和等比中项等简单的性质，但是知识和方法的应用还不是十分熟练，需 要进一步强化基础知识、基本方法和基本技能的落实；在函数、数列的学习 以及生活中，对类比的思想有初步的体验和感受，但是对类比的实质性分析 还不够，需要在不断的学习中不断体会和感悟。 （三） 教学方式： 本节课主要引导学生观察分析等差、等比数列的联系，通过类比等差数 列的一些研究结果，猜想、探求等比数列的结论和规律，并给出解释和证明。 因此，本节课的教学方式采用“类比——发现——自悟”的研究性学习课堂
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教学模式。 （四）教学手段： 多媒体辅助教学
教学目标
（一）知识与技能： 1. 进一步掌握和理解等差、等比数列的概念、通项公式、等差中项、等 比中项的概念，并能运用公式解决数列中相关的问题； 2. 提高观察、概括、猜想、运算和论证能力，能通过类比的方法解决有 关数列的一些问题； （二）过程与方法： 1. 经历类比等差数列研究等比数列的过程，感受类比思想； 2. 在解决问题的过程中，进一步体会倒序相加（乘） 、叠加（乘） 、叠乘 等方法的应用； （三）情感态度价值观： 1. 在类比探究的过程中体验探索的乐趣，培养学生学习数学的兴趣； 2. 培养学生自主探索、独立思考、用于质疑的习惯，同时学着与他人合 作、交流、分享； 3. 培养学生大胆猜想的创新意识， 同时培养孜孜于严格证明的科学精x) f (1 x)
1 2x 2 2 , x 2 22
发现 f ( x) f (1 x) 正好是一个定值，∴ 2S
2 12 ，∴ S 3 2. 2
【设计目的】此题选择学生以前的作业题目，类比课本中推导等差数列前 n 项和公式的倒序相加法，需要理解倒序相加法的实质。通过弱化或强化条件 与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题。这样，通过 从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本 拓新之用，从而有效于发展学生创新的思维。