高三数学不等式选讲试题

高三数学不等式选讲试题
1.不等式的解集是
【答案】
【解析】原不等式可化为，解得.
考点:绝对值不等式解法
2.不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式
，
故选Ｃ．
【考点】绝对值不等式．
3.若不等式|x-a|-|x|<2－a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是。

【答案】
【解析】,所以原式恒成立，即,
即,解得
【考点】不等式恒成立问题
4.若函数的最小值3，则实数的值为（）
A．5或8B．或5C．或D．或
【答案】D
【解析】由题意，①当时，即，，则当时，
，解得或（舍）；②当时，即，
，则当时，，解得
（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以
或，故选D.
【考点】1.绝对值函数的最值；2.分类讨论思想应用.
5.已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有.
若对所有，，则k的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨令，则
法一：
，
即得，
另一方面，当时，，符合题意，
当时，，
故
法二：当时，，
当时，
，
故
【考点】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.
6.若关于的不等式的解集为，则________.
【答案】
【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根, 即,故填.
【考点】绝对值不等式绝对值方程
7.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，
此时a+b+c= .
【答案】
【解析】由柯西不等式得，所以，
当且仅当且，即，
所以的最大值是，此时.
【考点】柯西不等式.
8.已知函数
（1）当a=1时，解不等式
（2）若存在成立，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）当时，原不等式等价于，可采用零点分段法解不等式，即分成,,三种情况去绝对值，分别解不等式，最后求并集；属于基础题型；
（2）,分和两种情况去绝对值，得到分段函数，得到函数的最小值为,若存在成立,只需的最小值小于6，得到的取值范围，此问属于比较简单的恒成立问题.
（1）当时，不等式可化为，
当时，不等式即
当时，不等式即所以，
当时，不等式即，
综上所述不等式的解集为 5分
（2）令
所以函数最小值为，
根据题意可得，即，所以的取值范围为. 10分
【考点】1.解不等式；2.恒成立问题.
9.设不等式的解集为M，.
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.
【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化
为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.
（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分
所以． 6分
（2）由（1）得，．
因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分
所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分
【考点】绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.
10.已知函数.
（1）解不等式：；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.
（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.
（1）原不等式等价于：
当时，，即.
当时，，即
当时，，即.
综上所述，原不等式的解集为. 4分
（2）当时，
=
所以 7分
【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.
11.设，且满足：，，求证：.
【答案】详见解析
【解析】根据题中所给条件：，，结合柯西不等式可得出：
，由此可推出：，即可得出三者的关系：，问题即可求解．
，
，，又，
，. 10分
【考点】不等式的证明
12.设函数,其中。

（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求a的值。

【答案】（1）或（2）
【解析】（1）当时，可化为。

由此可得或。

故不等式的解集为或。

（2）由得
此不等式化为不等式组或
即或
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得= ，故
13.已知函数f(x)=|2x－1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=－2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>－1,且当x∈[－,)时, f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【答案】(1){x|0<x<2}
(2)(－1,]
【解析】(1)当a=－2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|+|2x－2|－x－3<0.
设函数y=|2x－1|+|2x－2|－x－3,则
y=,其图象如图所示.
从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
(2)当x∈[－,)时, f(x)=1+a.
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a－2对x∈[－,)都成立.
故－≥a－2,即a≤.
从而a的取值范围是(－1,]
14.已知关于x的不等式（其中）．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数的取值范围
【答案】（1）{x|−4≤x≤}；（2）．
【解析】本题主要考查对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法等基
础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将a=4代入，
得到，然后用零点分段法解绝对值不等式，分情况讨论，解不等式组；第二问，将不等
式有解转化为，用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，结合图形，求出函数的最小值，代入到所转化的表达式中，利用对数函数的单调性解对数不等式．
（1）当a=4时，不等式即|2x+1| |x 1|≤2，当x＜−时，不等式为x 2≤2，解得−4≤x＜−；当
−≤x≤1时，不等式为3x≤2，解得−≤x≤；当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．
综上，不等式的解集为{x|−4≤x≤} 5分
（2）设f（x）="|2x+1|" |x 1|=
故f（x）的最小值为−，所以，当f（x）≤log
a有解，则有，解得a≥，
2
即a的取值范围是。

10分
【考点】对数式的运算、绝对值不等式的解法、函数最值、对数不等式的解法．
15.不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]
C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]
【答案】C
【解析】不等式x2﹣4x+a＜0可化为：
x2﹣4x＜﹣a，
设y=x2﹣4x，y=﹣a，分别画出这两个函数的图象，如图，
由图可知，不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，
则有：﹣a＞﹣3．
故a＜3．
故选C．
16.函数，若不等式的解集为，则实数的值为 .【答案】3
【解析】将代入得且，解之得.再将代入得其解集为，故.
【考点】不等式选讲.
17.已知，，，．求证．
【答案】详见解析
【解析】利用分析法或作差法证明不等式. 即
，而显然成立，
【证明】因为，，所以，所以要证，
即证．
即证， 5分
即证，
而显然成立，
故． 10分
【考点】不等式相关知识
18.如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于cm2的内接矩形玻璃（阴
影部分），则其边长（单位：cm）的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设矩形的另一边长为，由图，三角形相似可知，，解得，则矩形
面积，解得，故选D.
【考点】1.一元二次不等式的求解.
19.若不等式的解集为，则的取值范围为________;
【答案】
【解析】令，则；若不等式的解集为，
则的取值范围为.
【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题.
20.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是()
A．-2<α-β<0B．-2<α-β<-1
C．-1<α-β<0D．-1<α-β<1
【答案】A
【解析】选A.因为-1<β<1,所以-1<-β<1,又-1<α<1,所以-2<α-β<2,而α<β,所以α-β<0,所以-2<α-
β<0.
21.若b<0<a,d<c<0,则下列不等式中必成立的是()
A．ac>bd B．>
C．a+c>b+d D．a-c>b-d
【答案】C
【解析】选C.因为b<0<a,d<c<0,所以ac<0,bd>0,则ac>bd恒不成立,故A不满足要求;
同理<0,>0,则>恒不成立,故B不满足要求;
由不等式的同向可加性可得a+c>b+d一定成立,故C满足要求;
a-c>b-d不一定成立,故D不满足要求.
22.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围是.
【答案】(27,56)
【解析】【解题指南】解答本题不能直接用x的范围去减y的范围,需先求出-y的范围,严格利用
不等式的基本性质去求得范围.
因为28<y<33,所以-33<-y<-28.
又因为60<x<84,所以27<x-y<56.
23.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(填上正确的序号).
①<;②a2>b2;③>;④a|c|>b|c|.
【答案】③
【解析】①,当a是正数,b是负数时,不等式<不成立,②当a=-1,b=-2时,a>b成立,a2>b2不成立;当a=1,b=-2时,a>b成立,a2>b2也不成立,当a,b是负数时,不等式a2>b2不成立.
③在a>b两边同时除以c2+1,不等号的方向不变,故③正确,④当c=0时,不等式a|c|>b|c|不成立.综上可知③正确.
24.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么2x+4y的最小值为()
A．2B．4C．16D．不存在
【答案】B
【解析】选B.过A,B两点的直线方程为y=-(x-3),所以x=3-2y,所以2x+4y=+4y≥4,当且仅当
=4y时,等号成立.
25.“a=1”是“对任意正数x,2x+≥1”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】选A.当a=1时,2x+=2x+≥2(当且仅当x=时取等号),所以a=1⇒2x+≥1(x>0),反过来,对任意正数x,如当a=2时,2x+≥1恒成立,所以2x+≥1a=1.
26.已知f(x)=3x+1,若当|x-1|<b时,有|f(x)-4|<a,a,b∈(0,+∞),则a,b满足的关系为.
【答案】a-3b≥0
【解析】因为|f(x)-4|=|3x-3|=3|x-1|<a,
所以|x-1|<,又当|x-1|<b时,有|f(x)-4|<a,
即|x-1|<b⇒|x-1|<,所以b≤.
27.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是.
【答案】(-∞,-3]∪[3,+∞)
【解析】因为f (x)=|x+1|+|x-2|=
所以f(x)≥3,
要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,
故|a|≥3,即a≤-3或a≥3.
28.已知|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4},求a－b的值．
【答案】2
【解析】由|x－a|<b，得a－b<x<a＋b.又|x－a|<b(a、b∈R)的解集为{x|2<x<4}，所以a－b＝2.
29.设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A， A.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
【答案】（1）a＝1.（2）3
【解析】(1)因为∈A，且A，所以<a，且≥a，
解得<a≤.因为a∈N*，所以a＝1.
(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取等号，所以f(x)的最小值为3.
30.已知a2+2b2+3c2=6,若存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,求实数x的取值范围.【答案】-7<x<5
【解析】由柯西不等式得
(a+2b+3c)2≤(a2+2b2+3c2)(1+2+3),
当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
故a+2b+3c的最大值为6,
故|x+1|<6,
解得-7<x<5.
31.已知a,b,c,d均为正实数,且a+b+c+d=1,求证:+++≥.
【答案】见解析
【解析】证明：因为[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·(+++)≥(·+
·+·+·)2=(a+b+c+d)2=1,
当且仅当===即a=b=c=d=时取等号.
又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)
=4+(a+b+c+d)=5,
所以5(+++)≥1.
所以+++≥.
32.设n∈N*,求证:++…+<.
【答案】见解析
【解析】证明：由=<=(-)可知<(1-),<(-),
…,<(-),
从而得++…+<(1-)<.
33.已知f(x)=,n∈N*,试比较f()与的大小,并且说明理由.
【答案】见解析
【解析】f()==
=1-,
而=1-,
∴f()与的大小等价于2n与n2的大小.
当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;
当n=3时,23<32;当n=4时,24=42;
当n=5时,25>52.猜想当n≥5时,2n>n2.
以下用数学归纳法证明:
①当n=5时,由上可知不等式成立;
②假设n=k(k≥5,k∈N*)时,
不等式成立,即2k>k2,
则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2k2,
又∵2k2-(k+1)2=(k-1)2-2>0(∵k≥5),即2k+1>(k+1)2, ∴n=k+1时,不等式成立.
综合①②对n≥5,n∈N*不等式2n>n2成立.
∴当n=1或n≥5时,f()>;
当n=3时,f()<;
当n=2或4时,f()=.
34.已知a
1=1,a
2
=4,a
n+2
=4a
n+1
+a
n
,b
n
=,n∈N
+
.
(1)求b
1,b
2
,b
3
的值.
(2)设c
n =b
n
b
n+1
,S
n
为数列{c
n
}的前n项和,求证: S
n
≥17n.
(3)求证:|b
2n -b
n
|<·.
【答案】(1) (2) (3)见解析
【解析】(1)因为a
1=1,a
2
=4,a
3
=4a
2
+a
1
=17,a
4
=72,所以b
1
=4,b
2
=,b
3
=.
(2)由a
n+2=4a
n+1
+a
n
得=4+, 即b
n+1
=4+.
所以当n≥2时,b
n >4,于是c
1
=b
1
b
2
=17,c
n
=b
n
b
n+1
=4b
n
+1>17(n≥2),
所以S
n =c
1
+c
2
+…+c
n
≥17n.
(3)当n=1时,结论|b
2-b
1
|=<成立.
当n≥2时,有|b
n+1-b
n
|=|4+-4-|=
||≤|b
n -b
n-1
|≤|b
n-1
-b
n-2
|≤…
≤|b
2-b
1
|=.
所以|b
2n -b
n
|≤|b
n+1
-b
n
|+|b
n+2
-b
n+1
|+…+|b
2n
-b
2n-1
|≤×[()n-1+()n+…+()2n-2]
=·<·(n≥2).
因此|b
2n -b
n
|<·(n∈N
+
).
35.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1
【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.
36.已知命题“∃x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】依题意知，对任意x∈R，都有|x－a|＋|x＋1|＞2；由于|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|
＝|a＋1|，
因此有|a＋1|＞2，a＋1＜－2或a＋1＞2，即a＜－3或a＞1.
所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
37.若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________．
【答案】[－3,5]
【解析】∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，
∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，
只需|m－1|≤4，即－3≤m≤5.
38.已知对于任意非零实数m，不等式|2m－1|＋|1－m|≥|m|(|x－1|－|2x＋3|)恒成立，则实数x的
取值范围为____________．
【答案】(－∞，－3]∪[－1，＋∞)．
【解析】由题意只要求|x－1|－|2x＋3|≤恒成立时实数x的取值范围．
∵≥＝1.
∴只需|x－1|－|2x＋3|≤1.
①当x≤－时，原式等价于1－x＋2x＋3≤1，
即x≤－3，∴x≤－3.
②当－＜x＜1时，原式等价于1－x－2x－3≤1，
即x≥－1，∴－1≤x＜1.
③当x≥1时，原式等价于x－1－2x－3≤1，
即x≥－5，∴x≥1.
综上x的取值范围为(－∞，－3]∪[－1，＋∞)．
39.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为
________．
【答案】2
【解析】由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋
bn)(bm＋an)≥＝mn(a＋b)2＝2.
40.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是
的子集，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【解析】，设A为关于的不等式
的解集，当A为时，则即；当即时，
，则即，所以；当即时，，则即，所以；综上可知.
【考点】新定义、含参数不等式的解法.
41. A．（不等式选讲）已知函数．若关于x的不等式的解集是
，则的取值范围是
B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线与直线
相切，则实数的值为_______
【答案】A：；B：或
【解析】根据题意，由于，则可知的解集为R，则说明了
对一切实数都成立，则可知。

而对于曲线与
直线相切，则利用直线与圆的位置关系可知，圆心为（1，0），半径为1，直线3x+4y+a=0，则利用圆心到直线的距离等于圆的半径1可知参数a的值为2或-8.
【考点】参数方程与不等式的运用
点评：解决的关键是对于参数方程与极坐标方程的互化，以及绝对值不等式的求解的运用。

属于基础题。

42.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
设函数
（I）画出函数的图象；
（II）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】（I）
（II）。

【解析】（I）函数可化为
……………………
其图象如下：
………………
（II）关于的不等式有解等价于…………
由（I）可知，（也可由得
）……………
于是，
解得……………
【考点】含绝对值函数的求解方法；分段函数。

点评：解决含绝对值的式子的有关问题，我们经常采用的方法是：分段讨论，去掉绝对值符号。

43. (1)(不等式选讲选做题)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集为R，则实数m的取值范围是________．
(2)(坐标系与参数方程选做题)已知抛物线C
1的参数方程为(t为参数)，圆C
2
的极坐标方程为ρ＝
r(r>0)，若斜率为1的直线经过抛物线C
1的焦点，且与圆C
2
相切，则r＝________.
【答案】①；②
【解析】（1）、因为，所以要是不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解为R，需使，解得：。

（2）抛物线参数化为直角坐标方程：；圆极坐标方程化为直角坐标方程：；直线方程为：，直线L与圆相切，则
44.（Ⅰ）设为正数，且，求证：；（Ⅱ）设为正数，，求证：
【答案】（Ⅰ）为正数，且，由柯西不等式有：
，
当且仅当，即时等号成立，
．……………6分
（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明：
①当时，左边=右边；当时，左边=右边；
当时，左边右边，
所以当时，不等式成立；
②假设当时不等式成立，即，则当时，
是正数，，
，，
所以当时不等式也成立，
综合①②得当为正数，时，成立．……………12分证法二：用构造法证明：
设，则：，
是正数，
，又，，，
即当为正数，时，成立．
【解析】略
45.选修4-5:不等式选讲
设.
(I)求不等式的解集S:
(II)若关于x不等式有解，求参数t的取值范围.
【答案】
如图，函数y＝f(x)的图象与直线y＝7相交于横坐标为x
1＝－4，x
2
＝10的两点，
由此得S＝[－4，10]．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)的最小值为－3，
则不等式f(x)＋|2t－3|≤0有解必须且只需－3＋|2t－3|≤0，解得0≤t≤3，
所以t的取值范围是[0，3]．
【解析】略
46.设函数
（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；
（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p 的最小值.
（3）证明不等式：
【答案】（1）依题意得
，而函数的定义域为
∴在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数
即实数m的取值范围为………………………………4分
（2）
则
显然，函数在上为减函数，在上为增函数
则函数的最小值为
所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0 …………8分
（3）由（2）可知：在上恒成立
所以，当且仅当x=0时等号成立
令，则代入上面不等式得：
即，即
所以，，，，…，
将以上n个等式相加即可得到：
【解析】略
47.．选修4—5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．
【答案】因为正数a，b，c满足a+b+c=1，
所以，，…………5分
即，
当且仅当，即时，原式取最小值1．………10分
【解析】略
48.．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
(1)（选修4—2 矩阵与变换）（本小题满分7分）
已知矩阵，向量．
(Ⅰ) 求矩阵的特征值、和特征向量、；
（Ⅱ）求的值．
(2)（选修4—4 参数方程与极坐标）（本小题满分7分）
在极坐标系中,过曲线外的一点(其中为锐角)作平行于的直线与曲线分别交于．
(Ⅰ) 写出曲线和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为轴的正半轴建系)；
（Ⅱ）若成等比数列,求的值．
(3)（选修4—5 不等式证明选讲）（本小题满分7分）
已知正实数、、满足条件，
(Ⅰ) 求证：；
（Ⅱ）若，求的最大值．
【答案】⑴矩阵与变换
解：(Ⅰ)矩阵的特征多项式为，
令，得,
当时，得,当时，得. ………………………3分
（Ⅱ）由得，得.
∴
.………………………7分
⑵参数方程与极坐标
解：(Ⅰ) ………………………3分
（Ⅱ）直线的参数方程为(为参数),代入得到
,则有
因为,所以
解得………………………7分
⑶不等式证明选讲
解：(Ⅰ)由柯西不等式得
代入已知 a+b+c=3
当且仅当 a=b=c=1，取等号。

………………………3分
（Ⅱ）由得，若，则，，
所以，，当且仅当 a="b=" 1时，有最大值1。

………………………7分
【解析】略
49.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，且a+b+c=3，对任意的恒成立，求实数m的
取值范围。

【答案】
【解析】解：，且，
由柯西不等式可知，
对任意的恒成立，
，解得或
m的取值范围是。

50.（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）不等式的解集为，则实数a的取值范围是．
B．（坐标系与参数方程选做题）若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】略
51.选修4—5：不等式选讲
2：设函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为R，试求的取值范围。

【答案】略
【解析】略
52.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当k=0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式对一切实数x都成立，则，解得-3＜k＜0．综上，满足一元二次不等式对一切实数x都
成立的k的取值范围是（-3，0]．故选D．
【考点】一元二次不等式的解法．
53.（本题小满分12分）已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值．
（2）当且时，解关于的不等式．
【答案】（1），；（2）当时，解集为，当时，解集为．
【解析】（1）可得，，则由条件可知，从而可得；（2）
根据条件可知，不等式等价于，因此考虑通过分类讨论将绝
对值号去掉将不等式等价转化为解关于的一次不等式：即当时，不等式
或或，从而解得或
或，即，从而不等式的解集为当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为．
试题解析：（1）由得，∴，即；
（2）当时，，∴，
当时，不等式恒成立，即，
当时，不等式或或，
解得或或，即，
综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为．
【考点】1．绝对值不等式；2．分类讨论的数学思想．
54.若不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】[-3,5]
【解析】由于，则有，即
，解得，故实数m的取值范围是[-3,5]
【考点】本题考查绝对值不等式以及恒成立的问题
点评：解决本题的关键是把恒成立的问题，转化为求最值问题
55.（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2．
（Ⅰ）求整数的值;
（Ⅱ）已知，若，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）解绝对值不等式，利用不等式的解集进行求解；（2）利用重要不等式进行求其最值．
试题解析：由，得
不等式的整数解为2，
又不等式仅有一个整数解2，；
显然，
由柯西不等式，可得，
即，即，当且仅当时取等号，最大值为．
【考点】1．绝对值不等式；2．柯西不等式．
56.已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）当时，若函数既存在最小值，也存在最大值，求所有满足条件的实数的集合．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由得，
（Ⅱ）当时，
因为既存在最大值，也存在最小值，分析图象—折线的形态知，．
试题解析：（Ⅰ）,
由得，
所以所求不等式的解集为． 4分
（Ⅱ）当时，
因为既存在最大值，也存在最小值，
所以，所以
所以的取值集合为． 7分
【考点】1．不等式选讲;2．分段函数及其图象．
57.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式，其解集为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[0，4]，求m的值；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求的最小值．
试题解析：（Ⅰ）不等式可化为，
∴，即，
∵其解集为，∴，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（方法一：利用基本不等式）
∵，
∴，∴的最小值为.
（方法二：利用柯西不等式）
∵，
∴，∴的最小值为.
（方法三：消元法求二次函数的最值）
∵，∴，
∴，
∴的最小值为.
【考点】绝对值不等式
58.（选修4-5：不等式选讲）
设均为正数，．求证：．
【答案】详见解析
【解析】根据均值不等式，得，，，三式相加即得
试题解析：由为正数，根据平均值不等式，得，，．
将此三式相加，得，即．
由，则有．所以，．
【考点】均值不等式
59.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式的解集为．
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（Ⅱ）先将变形为，再利用柯西不等式可
得的最大值．
试题解析：（Ⅰ）由，得
则解得,
（Ⅱ）
当且仅当，即时等号成立，
故．
【考点】1、绝对值不等式；2、柯西不等式．
60.选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知x，y，z均为正数．求证：．
【答案】详见解析；
【解析】两两组合，利用均值不等式证明；
试题解析：因为x，y，z都是为正数，所以．
同理可得，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．
【考点】1.均值不等值；2.不等式的证明；。