人教版九年级数学上第24章24.1圆的基本性质教案

圆基本性质
1、圆的定义
(1)圆的定义
点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．
(2)弦与直径
①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．
②直径：经过圆心弦，称为直径．（注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．）
(3)弧、优弧、劣弧、半圆
①弧：圆上任意两点问的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．
②半圆．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．
2、圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．
3、垂径定理及推理
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．
4、圆心角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5、圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．
注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．
(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．
(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．
(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．
6、圆周角
(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．
(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
二、重难点知识归纳
重点：垂径定理、三组量之间的关系、圆周角定理．
难点：以上定理的综合应用．
三、典例剖析
例1、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB=2DE，∠E=18°．求∠AOC的度数．
例2、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD．
例3、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC距离为6cm，圆的半径为10cm．求腰AB的长．
例4、要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h=8mm(如图)，求此小孔的直径d．
例5、已知，如图，AD=BC．求证：AB=CD．
例6、已知：如图，A点是半圆上一个三等份点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值是多少？
例7、如图，半圆O的直径是AB，CF⊥AB，弦AC的垂直平分线交CF于点D，连结AD并延长AD交半圆O于点E，相等吗？请证明你的结论．
例8、如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：．
例9、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连结DE．求证：DE=AB．
课堂练习与作业：圆：
1、已知，⊙O的半径为3cm，P是⊙O内一点，OP=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是______cm，最大距离是_________cm．
2、如图，已知OA、OB是圆的两条半径，∠OAB=45°，OA=8cm，则AB=__________．
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=__________．
4、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，分别以A、B为圆心，AC、BC为半径画弧，交斜边于E、F，则EF的长是__________．
图2图3图
4图6
5、平面直角坐标系中有一个点M（2，3），⊙M的半径为r，若⊙M上的点不全在第一象限内，则r的取值范围是（）
A．r=2 B．r=3 C．r≥2 D．r≥3
6、如图，点C在以AB为直径的半圆上，O是圆心，连接OC，则△ABC是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．不能确定
7、如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式正确的是（）
A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b ＞c＞a
8、如图，BD、CE分别是△ABC的两条高，试说明点E、B、C、D四点在同一个圆上，并画出这个圆．
9、如图所示，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3千米内的水域为危险区域．有一渔船误入与A距离2千米的B处．为了尽快驶离危险区域，该船应怎样航行？并说明理由．
垂径定理：
1、如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是__________．
2、如图，水平铺设的圆柱形排水管的截面半径是0.5m，其中水面宽为AB=0.6m，则水的最大深度为_____m．
3、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=__________．
4、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O 的半径是（）
5、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
图1图2图3图
4图6
5、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
6、如图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．平分 D．随点C的移动而移
动
7、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．
8、离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米．问这条公路在免疫区内有多少千米？
9、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求
⊙O的半径及O到CD的距离．
10、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
弧、弦、圆心角：
1、如果⊙O的半径为R，则⊙O中60°的圆心角所对的弦长为_______，90°的圆心角所对的弦长为_____．
2、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦DE∥AB，则AC与AE的大小关系是__________．
3、如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE．则
的大小关系是________．
4、如图，在半径为2cm的⊙O内有长为的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）A．60°B．90° C．120° D．150°
图2图3图4图5
5、如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是（）
A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确
6、AD是⊙O的直径，弦AB、AC交于A点，且AD平分∠BOC，则下列结论不一定成立的是（）
A．AB=AC B． C．AD⊥BC D．AB=BC
9、如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙O于D、E，求证：BD=DE=EC．
10、已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦且∠DPB=∠EPB，求证：（1）CD=EF；（2）．
圆周角：
1、如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．
2、如图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．
3、如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．
4、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．
5、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则
BC=__________．
6、如图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）
A．∠ABD=∠ACD B． C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC
图1图2图3图4图5
图6图7
7、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）
A．80°B．50° C．40°D．20°
8、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．
9、如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CN为⊙O的直径，CM⊥AB，交⊙O于M，点F 为的中点．
求证：（1）；（2）CF平分∠NCM．
10、如图（1），已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．
（1）求证：△DOE是等边三角形；
（2）如图（2），若∠A=60°，AB≠AC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．。