2021中考数学 专题训练：圆的有关性质(含答案)

2021中考数学 专题训练：圆的有关性质
一、选择题
1. 如图，线段AB 经过☉O 的圆心，AC ，BD 分别与☉O 相切于点C ，D.若AC=BD=4，∠A=45°，则圆弧CD 的长度为 ( )
A .π
B .2π
C .2π
D .4π
2. 如图，在⊙O 中，若
C 是AB ︵
的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数是( )
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为
5的圆内有一点P (0，－3)，
那么经过点P 的所有弦中，最短的弦的长为( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
4. 如图，AB 是⊙O
的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上．若∠AED ＝20°，则∠BCD
的度数为( )
A ．100°
B ．110°
C ．115°
D ．120°
5. 如图，AB 是⊙O
的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的
长是( )
A.7 B ．27 C ．6 D ．8
6. 在⊙O 中，M
为AB ︵
的中点，则下列结论正确的是( )
A ．A
B ＞2AM B ．AB ＝2AM
C ．AB ＜2AM
D ．AB 与2AM 的大小关系不能确定
7. 如图，将半径为
6的⊙O 沿AB 折叠，AB ︵
与垂直于AB 的半径OC 交于点D ，
且CD ＝2OD ，则折痕AB 的长为( )
A ．4 2
B ．8 2
C ．6
D ．6 3
8. 如图，在⊙O
内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则
BC 的长为( )
A ．19
B ．16
C ．18
D ．20
9. 如图，等边三角形
ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，
AC 相切，则⊙O 的半径为( )
A．2 3 B．3 C．4 D．4－ 3
10. (2019•仙桃)如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；
③；④．其中正确结论的个数有
A．4个B．3个
C．2个D．1个
二、填空题
11. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了cm.
12. 如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B 两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．
13. 如图，在△
ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，
与AC 交于点E ，连接OD ，BE ，它们交于点M ，且MD ＝2，则BE 的长为________.
14. 如图，AB ，CD
是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O 的
直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．
15. 在
Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半
径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．
三、解答题
16.
如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝C D ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F. (1)求证：DF ⊥AC ；
(2)若⊙O 的半径为5，∠CDF ＝30°，求BD ︵
的长．(结果保留π)
17.
如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵
上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；
(2)当点P 移动到劣弧CB ︵
的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．
18. 已知平面直角坐标系中两定点
A (－1, 0)、
B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a
≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；
（3）若m ＞，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
2021中考数学 专题训练：圆的有关性质-答案
一、选择题
1. 【答案】B [解析]连接CO ，DO ，因为AC ，BD 分别与☉O 相切于C ，D ，
所以∠ACO=∠BDO=90°，所以∠AOC=∠A=45°，所以CO=AC=4， 因为AC=BD ，CO=DO ，所以OD=BD ，所以∠DOB=∠B=45°，
所以∠DOC=180°-∠DOB -∠AOC=180°-45°-45°=90°，==2π，故选B .
2. 【答案】A
[解析] ∵∠A ＝50°，OA ＝OB ，
∴∠B ＝∠A ＝50°，
∴∠AOB ＝180°－50°－50°＝80°. ∵C 是AB ︵
的中点， ∴∠BOC ＝1
2∠AOB ＝40°. 故选A.
3. 【答案】C
[解析] 过点P 作弦AB ⊥OP ，连接OB ，如图．
则PB ＝AP ，∴AB ＝2BP ＝2
OB2－OP2.
再过点P 任作一条弦MN ，过点O 作OG ⊥MN 于点G ，连接ON . 则MN ＝2GN ＝2
ON2－OG2.
∵OP ＞OG ，OB ＝ON ，∴MN ＞AB ， ∴AB 是⊙O 中的过点P 最短的弦．
在Rt △OPB 中，PO ＝3，OB ＝5，由勾股定理，得PB ＝4，则AB ＝2PB ＝8.
4. 【答案】B
[解析] 连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠AED ＝
20°，∴∠ACD ＝20°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝110°.故选B.
5. 【答案】B
[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2
＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.
6. 【答案】C
[解析] 如图，∵M 为AB ︵
的中点，∴AM ＝BM.
∵AM ＋BM ＞AB ， ∴AB ＜2AM.故选C.
7. 【答案】B
[解析] 如图，延长CO 交AB 于点E ，连接OB .∵CE ⊥AB ，∴AB
＝2BE .∵OC ＝6，CD ＝2OD ，∴CD ＝4，OD ＝2，OB ＝6.由折叠的性质可得DE ＝12×(6×2－4)＝4，
∴OE ＝DE －OD ＝4－2＝2.在Rt △OEB 中，BE ＝OB2－OE2＝62－22＝4 2，
∴AB ＝8 2.故选B.
8. 【答案】D
[解析] 如图，延长AO 交BC 于点D ，过点O 作OE ⊥BC 于点E.
∵∠A ＝∠B ＝60°，∴△DAB 是等边三角形，∴AD ＝DB ＝AB ＝12，∠ADB ＝∠A ＝60°，
∴OD ＝AD －OA ＝12－8＝4.在Rt △ODE 中，∵∠DOE ＝90°－∠ADB ＝30°，∴DE ＝1
2OD ＝2，∴BE ＝DB －DE ＝12－2＝10.由垂径定理，知BC ＝2BE ＝20.
9. 【答案】A
[解析] 如图，设⊙O 与AC 的切点为E ，
连接AO ，OE.
∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°. ∵⊙O分别与边AB，AC相切，
∴∠OEC＝90°，∠BAO＝∠CAO＝1
2∠BAC＝30°，
∴∠AOC＝90°，∴OC＝1
2AC＝4.
在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，∠C＝60°，
∴∠COE＝30°，∴CE＝1
2OC＝2，∴OE＝2 3，
∴⊙O的半径为2 3.
10. 【答案】A
【解析】如图，连接．
∵为的直径，为的切线，∴，
∵，∴，．
又∵，∴，∴．
在和中，，∴，∴
．
又∵点在上，∴是的切线，故①正确，
∵，∴，
∵，∴垂直平分，即，故②正确；
∵为的直径，为的切线，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，故③正确；
∵，，∴，
∴，∵，
∴，故④正确，故选A．
二、填空题
11. 【答案】10或70[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.
由垂径定理得:BC=AB=30 cm.
在Rt△OBC中，OC==40(cm).
当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，
圆心到水面距离==30(cm)，
水面上升的高度为:40-30=10(cm).
当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.
故答案为10或70.
12. 【答案】5[解析] ∵OE过圆心且与PA垂直，
∴PE＝EA.
同理PF＝FB，∴EF是△PAB的中位线，
∴EF＝1
2AB＝5.
13. 【答案】8[解析] 连接AD，如图所示．
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
又∵OA＝OB，∴OD∥AC，
∴OD⊥BE，∴BM＝EM，
∴CE＝2MD＝4，
∴AE＝AC－CE＝6，
∴BE＝AB2－AE2＝102－62＝8.
14. 【答案】7 2[解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为P A＋PC 的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，
∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝1
2AB＝4，CF＝
1
2CD＝3，
∴OE＝OB2－BE2＝52－42＝3，OF＝OC2－CF2＝52－32＝4，
∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 2，则P A＋PC的最小值为7 2.
15. 【答案】3或73[解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.
∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，
∴BC2＋PB2＝PC2，
∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.
∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.
又∵PB＝AC＝4，
∴四边形ACBP为平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，
∴PA＝BC＝3.
在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，
∴P′A＝82＋32＝73.
综上所述，PA的长为3或73.
三、解答题
16. 【答案】
(1)证明：如解图，连接OD，(1分)
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
解图∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，(2分)
∵BD＝CD，OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，(3分)
∴OD∥AC，
∴∠CFD＝∠ODF＝90°，
∴DF⊥AC.(4分)
(2)解：∵∠CDF＝30°，
由(1)得∠ODF＝90°，
∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°，∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，(7分)
∴∠BOD＝60°，
∴lBD ︵＝nπR 180＝60π×5180＝53π.(8分)
17. 【答案】
(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，
∴AC ＝OA ＝OC ，
∴△ACO 为等边三角形，
∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，
∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，
又∵DC 与⊙O 相切于点C ，
∴OC ⊥DC ，
∴∠DCO ＝90°，
∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；
解图
(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，
∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，
∴∠COB ＝120°，
当点P 移动到CB ︵
的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，
∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，
∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，
∴四边形OBPC 为菱形；
(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，
∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，
在Rt △ABC 与Rt △CP A 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL)．
18. 【答案】
（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A (－1, 0)、B (4, 0)两点， 所以y ＝a (x ＋1)(x －4)＝ax 2－3ax －4a ．
所以－4a ＝－2，b ＝－3a ．所以
，．
所以。

顶点为．
（2）如图1，设抛物线与y轴的交点为D．
图1
由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，可知．
所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO＝∠DBO．
由于∠DBO与∠BDO互余，所以∠ADO与∠BDO也互余．
于是可得∠ADB＝90°．因此以AB为直径的圆经过点D．
当点P在x轴下方圆的内部时，∠APB为钝角，此时－1＜m＜0，或3＜m＜4．（3）若m＞，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因
此点P的坐标为(3,－2)．
如图2，由于点A、B、P、C是确定的，BB′、P′C′、PC平行且相等，所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．
如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。

如图4，线段AB′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．如图2，点P(3,－2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，如图3，点B(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点．所以点B′′的坐标为．
如图4，由，得．解得．
由于，所以抛物线向左平移了个单位．
图2 图3 图4
第（2）题不可回避要证明∠ADB＝90°，也可以根据勾股定理的逆定理证明．由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，得AB2＝25，AD2＝5，BD2＝20．
所以AB2＝AD2＋BD2．所以∠ADB＝90°．
第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信．
求点B′的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便．
求点C′的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程．。