六年级奥数.-数论.质数、合数、约数、倍数.学生版

一、 质数与合数
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数)。

一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。

要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。

质数有无限多个。

最小的质数是2。

合数有无限多个。

最小的合数是4。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个;
除了2其余的质数都是奇数；
除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点。

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9。

这也是很多题解题思路,需要大家注意。

二、 判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q （均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数,用这些质数去除p ,如没有能够除尽的那么p 就为质数.
例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。

常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．
三、 约数、公约数与最大公约数概念
(1）约数：在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数;
（2）公约数：如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；
(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数;
知识框架
质数合数、约数倍数
(4)0被排除在约数与倍数之外
1. 求最大公约数的方法
● 分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；
● 短除法:先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：21812
39632
，所以(12,18)236=⨯=；
● 辗转相除法:每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用
辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;
再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；
这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的
最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；
315285130÷=;28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．
2. 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数;
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．
3. 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a
即为所求． 4. 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数
四、 倍数的概念与最小公倍数
1. 倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数
1) 公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍
数
2) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数.
2. 求最小公倍数的方法
分解质因数的方法；
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=;
短除法求最小公倍数；
例如：2181239632 ，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；
[,](,)
a b a b a b ⨯=． 3. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
4. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a
即为所求．例如:35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
5. 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的；
(2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
五、 最大公约数与最小公倍数的常用性质
1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =,那么a b 、互质,所以A 、B 的最小公倍
数为mab ,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积;
②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数．
2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积.
即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯，此性质比较简单,学生比较容易掌握.
3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a )奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数
b )偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=
注:性质3不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小
关系,即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大"。

六、 求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数（次数）加1后
所得的乘积。

如：1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有（3+1）×（2+1） ×（1+1）
=4×3×2=24个.（包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建
立在开篇讲过的数字“唯一分解定理"形式基础之上,结合乘法原理推导出来的，不是很复杂,
建议给学生推导并要求其掌握。

难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察
的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原
数“还原构造"出来,或者是“构造出可能的最值"。

2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这
个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的
和。

如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为
2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生
找规律性的记忆即可.
（1）特殊质数2、5，质数的个位数特征
（2)要注意观察约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
（3)整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为
...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”
【例 1】 在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（ ）.
(A ） 0 （B ) 1 （C ） 2 (D ） 3
例题精讲
重难点
【巩固】大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3。

1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现:由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数,那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数?
【例 2】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中a b
,而且ab和ba都是质数(a和b是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？
【巩固】自然数N是一个两位数,它是一个质数,而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？
【例 3】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3,5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数．满足条件的两位数为
【巩固】三位数A满足：它的所有质因数之和是26。

这样的三位数A有个。

【例 4】 用数字卡片1,1，2,2，3，3,4，4，5，5，6,7,9，9（不允许把6倒过来当作9,也不许把9倒过来
当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．
【巩固】
如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少?
【例 5】 a b c 、、都是质数,如果()()342a b b c +⨯+=，那么b = 。

【巩固】
a ,
b ，
c 都是质数，并且33a b +=，44b c +=， 66c
d +=，那么cd = ____ .
【例 6】 将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少?
【巩固】将50分拆成10个质数的和,要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？【例 7】有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。

【巩固】万尼亚想了一个三位质数,各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？
【例 8】用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数（1不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数"是什么?
【巩固】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质,那么A最小是几？
A=（）+( ）=( )+（）=（）+（）=( ）+（）
【例 9】一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是________。

【巩固】一个两位数有6个约数,且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几?
【例 10】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D,并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？
【巩固】若a ，b ，c是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为，最小公倍数的最小值为，最小公倍数的最大值
为．
【例 11】在1到100中,恰好有6个约数的数有多少个？
【巩固】恰有8个约数的两位数有________个．
【例 12】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒;如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？
【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）
【例 13】一次考试,参加的学生中有1
7
得优,
1
3
得良，
1
2
得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50
人，那么得差的学生有多少人？
【巩固】一次考试，参加的学生中有1
7
得优，
1
4
得良，
1
3
得中,其余的得差，已知参加考试的学生不满100
人，那么得差的学生有多少人？
【例 14】两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问a＋b有多少种可能的数值?
【巩固】已知a，b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。

求b与c 的最小公倍数。

【例 15】如图，在长500米、宽300米的长方形广场的外围，每隔2.5米摆放一盆花,现要改为每隔2米摆放一盆花,并且广场的4个顶点处的花盆不动，则需增加___盆花；在重新摆放花盆时,共有___盆花不用挪动。

【巩固】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子,结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。

那么这些小朋友最多有多少人？
课堂检测
【随练1】炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理:对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如,3
k 时，3，5,7是间隔为2的3个质数;5，11，17是间隔为6的3个质数：而, ，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．
【随练2】用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是。

【随练3】用0，1,2,…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来．
【随练4】 三个两两不同的正整数,和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为 ．
【随练5】 甲、乙两人同时从A 点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米,乙每分钟走50
米,两人至少经过多长时间才能在A 点相遇？
【作业1】 图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中;乙顺次计算相
邻二质数之积填在下行方格中．
质数列乙填“积数”甲填“和数”97
8913117532351561285........................
.........
问:甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么？
【作业2】 从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数
字之间切开，按顺时针方向读这些八位数,其中可以读到的最大的数是多少?
家庭作业
【作业3】已知三个合数A，B，C两两互质,且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为
【作业4】用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次,那么这些合数之和的最小值是________．
【作业5】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数?把它们写出来.
【作业6】将37拆成若干个不同的质数之和,有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
【作业7】少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃"。

每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃"；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃"。

这
样下来，一共做了100个“猪娃娃”，由此可知手工组共有个小朋友.
【作业8】3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方
向跑步。

开始时，3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长1
5
千米，中圈跑道长
1
4
千米,外圈跑道长
3
8
千米。

甲每小时跑
1
3
2
千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米。

问他们同时出发,几小时后,3
人第一次同时回到出发点?
【作业9】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？
【作业10】如图，A、B、C是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当B转4圈时，C 恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？
C
B
A。