2019-2020年高中数学 空间向量与立体几何 板块四 用空间向量计算距离与角度完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学空间向量与立体几何板块四用空间向量计算距
离与角度完整讲义（学生版）
【例1】在正方体中，，求与所成角的余弦值．
【例2】直三棱柱中，．求证：．
C1
B1
A1
C
B
A
【例3】如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，．求面与面所成的二面角的正切值．
D C
B
A
S
【例4】已知，，，求方向向量为直线与平面所成角的余弦值．
【例5】已知平行六面体中，，，，
，，求的长
典例分析
D'C'
B'
A'
D C
B
A
【例6】如图直角梯形中，，，，平面，，以、、分别为轴、轴、轴建立直角坐标系．
⑴求与的夹角的大小（用反三角函数表示）；
⑵设，满足平面，求
①的坐标；
②与平面的夹角（用反三角函数表示）；
③到平面的距离．
B A
O
S
【例7】如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，，是的中点．
⑴求异面直线与所成的角的余弦值；
⑵求点到平面的距离；
⑶若点是棱上一点，且，求的值．
P
G
F E
D C
B
A
【例8】已知分别是正方体的棱和的中点，求
⑴与所成角的大小；
⑵与平面所成角的大小；
⑶二面角的大小．
【例9】 长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，求⑴长方体的高；⑵二面角的大小．
【例10】 如图：在空间四边形中，、、两两垂直，且，是的中点，异面直线和所成的角为，求
⑴的长度；⑵二面角的余弦值．
E
D
C B
A
【例11】 如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点，平面
⑴证明：．
⑵设二面角为，求与平面所成角的大小．
E
D
C 1
B 1A 1
C B A
【例12】 如图，在直三棱柱中，，，求二面角的大小．
C 1
B 1
A 1C B
A
【例13】 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面
上的射影是的垂心．
⑴求与平面所成角的余弦值；
⑵求点到平面的距离．
1A
【例14】 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，．点在侧棱上，． ⑴证明：是侧棱的中点；
⑵求二面角的大小．
M
S
D
C
B A
【例15】 如图所示：边长为的正方形和高为的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．
⑴求和面所成的角的余弦；
⑵线段上是否存在点使过、、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由．
P
F E
D C
B A
【例16】 如图，在空间四边形中，8645OA AB AC BC ====，，，，
，，求与的夹角的余弦值．
C
B
A
O
【例17】 如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于、的一点，，已知，，，，
求：⑴异面直线与的距离；
⑵二面角的平面角的正切值．
A B
C
A 1
B 1
C 1E
【例18】 如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，取如图所示的空间直角坐标系，
⑴写出、、、的坐标；
⑵求证：，且；
⑶求异面直线与所成角的余弦值．
G F
E C D
B A D 1
C 1
B 1A 1
【例19】 如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，
⑴求证：，且；
⑵求异面直线与所成角的余弦值．
⑶写出平面的一个法向量．
G F
E C D
B A D 1
C 1
B 1A 1
【例20】 如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，侧棱长为．
⑴与能否垂直？请证明你的判断；
⑵当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围．
D 1
C 1B 1A 1
D C
B A
【例21】 如图：已知四棱锥的底面是平行四边形，，垂足在边上是等腰直角三角形，，四面体
的体积为．
E
D
C B A
P
⑴求面与底面所成的锐二面角的余弦值；
⑵求点到面的距离；
⑶若点在直线上，且，求的值．
【例22】 如图所示：边长为的正方形和高为的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．
⑴求和面所成的角的余弦；
⑵线段上是否存在点使过、、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由．
P F E
D C
B A。