苏科版七年级数学下9.5多项式的因式分解 公式法因式分解训练(有答案)

苏科版七年级数学下9.5多项式的因式分解 公式法因式分解训练(有答案)
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七下9.5公式法因式分解训练
一、选择题
1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A. (3−x)(3+x)=9−x 2
B. (y +1)(y −3)=(3−y)(y +1)
C. 4yz −2y 2z +z =2y(2z −zy)+z
D. −8x 2+8x −2=−2(2x −1)2
2. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x 2-1
B. x 2+2x -1
C. x 2+x +1
D. 4x 2+4x +1
3. 当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差(2n +1)2−(2n −1)2能被( )整除．
A. 6
B. 8
C. 12．
D. 15
4. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的有( )
①x 2+2x +1；②4a 2−4a −1；③m 2+m +14；④4m 2+2mn +n 2；⑤1+16y 2． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 分解因式x 4−1的结果为( )
A. (x 2−1)(x 2+1)
B. (x +1)2(x −1)2
C. (x −1)(x +1)(x 2+1)
D. (x −1)(x +1)3
6. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，
如a +b +c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a −b)2；②ab +bc +ca ；③a 2b +b 2c +c 2a.其中是完全对称式的是( )
A. ①②③
B. ①③
C. ②③
D. ①②
7. 如果代数式x 2+kx +49能分解成(x −7)2形式，那么k 的值为( )
A. 7
B. −14
C. ±7
D. ±14
8. 已知a =2002x +2003，b =2002x +2004，c =2002x +2005，则多项式a 2+
b 2+
c 2−ab −bc −ca 的值为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题 9. 若x −1是x 2−5x +c 的一个因式，则c = ______ ．
10. 若已知x +y =5，x 2−y 2=5，则x −y = ______ ．
11. 分解因式：a 3−2a 2+a =______．
12.如果a2+ma+1
4=(a−1
2
)2，那么m=______ ．
13.若a+b=4，a−b=1，则(a+1)2−(b−1)2的值为______．
14.如图，根据这个拼图写出一个有关因式分解的等式________．
三、计算题
15.因式分解：(1)(x2−x)2−(x−1)2
(2)−27a4+18a3−3a2
(3)2a(x2+1)2−8ax2
(4)25(a+b)2−9(a−b)2
四、解答题
16.已知x2+y2−4x+6y+13=0，求x2−6xy+9y2的值．
17.下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程．
解：设x2−4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2−4x+4)2(第四步)
请问：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______
A.提取公因式法
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______.(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−2x)(x2−2x+2)+1进行因式分解
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18. 观察下列各式．
①4×1×2+1=(1+2)2；②4×2×3+1=(2+3)2；③4×3×4+1=(3+
4)2…
(1)根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？
(2)试猜想第n 个等式，并通过计算验证它是否成立．
(3)利用前面的规律，将4(12x 2+x)(12x 2+x +1)+1因式分解．
19. (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x 2+4x +4=________，16x 2+24x +9=________，9x 2−12x +4=________；
(2)观察以下三个多项式的系数，有42=4×1×4，242=4×16×9，(−12)2=4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax 2+bx +c(a >0)是完全平方式，则实数系数a ，b ，c 一定存在某种关系．
①请你用数学式子表示a ，b ，c 之间的关系；
②解决问题：若多项式x 2−2(m −3)x +(10−6m)是一个完全平方式，求m 的值．
20. 仔细阅读下面例题，解答问题
例题：已知二次三项式x 2−4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式以及m 的值．
解：设另一个因式为x +n ，得x 2−4x +m =(x +3)(x +n)．
则x 2−4x +m =x 2+(n +3)x +3n ，
所以{n +3=−43n =m
解得n =−7，m =−21． 所以另一个因式为x −7，m 的值为−21．
问题：
(1)若二次三项式x 2−5x +6可分解为(x −2)(x +a)，则a =________；
(2)若二次三项式2x 2+bx −5可分解为(2x −1)(x +5)，则b =________；
(3)仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x 2+3x −k 有一个因式是2x −5，求另一个因式以及k 的值．
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答案和解析
1.D
解：A.(3−x)(3+x)=9−x 2，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B .(y +1)(y −3)≠(3−y)(y +1)，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C .4yz −2y 2z +z =2y(2z −zy)+z ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D .−8x 2+8x −2=−2(2x −1)2，正确．
2.D
解：4x 2+4x +1=(2x +1)2，故D 符合题意；
3.B
解：(2n +1)2−(2n −1)2=(2n +1+2n −1)(2n +1−2n +1)=8n ，
由n 为正整数，得到(2n +1)2−(2n −1)2能被8整除，
4.A
解：①x 2+2x +1=(x +1)2，能；
②4a 2−4a −1，不能；
③m 2+m +14=(m +12)2，能； ④4m 2+2mn +n 2，不能；
⑤1+16y 2，不能，
则能用完全平方公式分解因式的有2个，
5.C
解：x 4−1=(x 2−1)(x 2+1)=(x +1)(x −1)(x 2+1)．
6.D
解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式， 则：①(a −b)2=(b −a)2；是完全对对称式．故此选项正确．
②将代数式ab +bc +ca 中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab +bc +ca 是完全对称式，
ab +bc +ca 中ab 对调后ba +ac +cb ，bc 对调后ac +cb +ba ，ac 对调后cb +ba +ac ，
都与原式一样，故此选项正确；
③a2b+b2c+c2a若只ab对调后b2a+a2c+c2b与原式不同，只在特殊情况下(ab相同时)才会与原式的值一样
∴将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2.故a2b+b2c+c2a不是完全对称式．故此选项错误，所以①②是③不是
7.B
解：∵x2+kx+49=(x−7)2，
∴k=−14，
8.D
解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，
∴a−b=−1，b−c=−1，a−c=−2，
∴a2+b2+c2−ab−bc−ca=1
(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca)，
2
[(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(a2−2ac+c2)]，
=1
2
[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2]，
=1
2
×(1+1+4)，
=1
2
=3．
9.4
解：根据题意，设另一因式为x+a，则
(x−1)(x+a)=x2+(a−1)x−a=x2−5x+c，
∴a−1=−5，c=−a，
解得a=−4，c=4．
10.1
解：∵x+y=5，x2−y2=5，
∴(x+y)(x−y)=5，
∴x−y=1．
11.a(a−1)2
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解：a 3−2a 2+a
=a(a 2−2a +1)
=a(a −1)2．
12.−1
解：∵a 2+ma +14=(a −12)2=a 2−a +14，
∴m =−1．
13.12
解：∵a +b =4，a −b =1，
∴(a +1)2−(b −1)2
=(a +1+b −1)(a +1−b +1)
=(a +b)(a −b +2)
=4×(1+2)
=12．
14.2a 2+3ab +b 2=(2a +b )(a +b )
解：长方形面积，(2a +b )(a +b )
拼图面积，2a 2+3ab +b 2，
∴2a 2+3ab +b 2=(2a +b )(a +b )．
15.解：(1)原式=(x 2−x −x +1)(x 2−x +x −1)
=(x 2−2x +1)(x 2−1)
=(x −1)2(x +1)(x −1)
=(x −1)3(x +1)；
(2)原式=−3a 2(9a 2−6a +1)
=−3a 2(3a −1)2；
(3)原式=2a[(x 2+1)2−4x 2]
=2a(x 2−2x +1)(x 2+2x +1)
=2a(x −1)2(x +1)2；
(4)原式=[5(a +b )+3(a −b )][5(a +b )−3(a −b )]
=(8a +2b)(2a +8b)
= 4(4a +b)(a +4b)．
16.解：∵x 2+y 2−4x +6y +13=(x −2)2+(y +3)2=0，
∴x −2=0，y +3=0，即x =2，y =−3，
则原式=(x−3y)2=112=121．
17.解：(1)C；
(2)不彻底；(x−2)4；
(3)原式=(x2−2x)2+2(x2−2x)+1
=(x2−2x+1)2=(x−1)4．
解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，选择C，
(2)该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为(x−2)4；
故答案为不彻底；(x−2)4；
18.解：(1)根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1=(2016+2017)2= 40332；
(2)猜想第n个等式为4n(n+1)+1=(2n+1)2，理由如下：
∵左边=4n(n+1)+1=4n2+4n+1，右边=(2n+1)2=4n2+4n+1，
∴左边=右边，
∴4n(n+1)+1=(2n+1)2；
(3)利用前面的规律，可知4(1
2x2+x)(1
2
x2+x+1)+1=(1
2
x2+x+1
2
x2+x+1)2=
(x2+2x+1)2=(x+1)4．
19.解(1)(x+2)2，(4x+3)2，(3x−2)2；
(2)①b2=4ac；
②∵多项式x2−2(m−3)x+(10−6m)是一个完全平方式，
∴[−2(m−3)]2=4×1×(10−6m)，
m2−6m+9=10−6m
m2=1
m=±1．
(1)x2+4x+4=(x+2)2，16x2+24x+9=(4x+3)2，9x2−12x+4=(3x−2)2，故答案为：(x+2)2，(4x+3)2，(3x−2)2；
20.解：(1)−3；
(2)9；
(3)设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x−k=(2x−5)(x+n)=2x2+(2n−5)x−5n，
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则2n−5=3，k=5n，
解得：n=4，k=20，
故另一个因式为(x+4)，k的值为20．
解：(1)∵(x−2)(x+a)=x2+(a−2)x−2a=x2−5x+6，
∴a−2=−5，解得：a=−3，
故答案为−3．
(2)∵(2x−1)(x+5)=2x2+9x−5=2x2+bx−5，
∴b=9，
故答案为9．
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