4圆锥曲线的弦长面积问题-中等难度-讲义
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线的弦长
面积问题
知识讲解
一、弦长问题
设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦长AB 为：()22
2
121212
1141x AB k x x k x x x x k a
∆=+-=++-=+
()12121222
2
11
1
1141y AB y y y y y y k k k
a
∆=+-=++-=+或
二、面积问题
1.三角形面积问题
直线AB 方程：y kx m =+ 002
1kx y m
d PH k
-+==
+
002
2
11122
a
1x ABP
kx y m
S AB d k k
∆∆-+=⋅=+⋅
+
2.焦点三角形的面积
直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为
11212121
2y ABF c S F F y y c y y a
∆∆=
⋅-=-=
H O
y
x
P
B
A
3.平行四边形的面积
直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+
d CH ==
12AB x =-=
ABCD
S
AB d =⋅==
三、范围问题
方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 ：222(,)a b ab a b R +≥∈
变式：2
,);(
)(,)2
a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：
1）222
64
64t S t t t
=
=++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）22
422
2121212
333196123696
k AB t k k k
=+=+≤+++⨯+++
当且仅当22
1
9k k =
时，等号成立
3
）222
002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+ 当且仅当22
00
22
00
259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4
）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5
）
222
1121k m m S -++==≤=
当且仅当221212k m +=时等号成立.
经典例题
一．选择题（共9小题）
1．（2018•德阳模拟）设点P为椭圆C：x2
49
+
y2
24
=1上一点，F1、F2分别是椭圆C
的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）
A．24B．12C．8D．6
【解答】解：∵点P为椭圆C：x 2
49+
y2
24
=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，
|PF1|+|PF2|=2a=14
∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，
∴△PF1F2是直角三角形，S△PF
1F2=
1
2
×PF1⋅PF2=24，
∵△PF1F2的重心为点G．∴S△PF
1F2=3S△GF
1F2
，
∴△GPF1的面积为8，故选：C．
2．（2018•邵阳三模）已知椭圆C：x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2√13
13
，
且两焦点与短轴端点构成的三角形的面积为6，则椭圆C的标准方程是（）
A ．x 216+y 29=1
B ．
x 216+y 2
13=1
C ．x 213+y 29
=1
D ．x 213+y 24
=1
【解答】解：设椭圆半焦距为c ，则{
c a
=
2√13
1312×2c ×b =6a 2−b 2=c 2，
解得a=√13，b=3，c=2．
故椭圆方程为：x 213+y 2
9
=1．
故选：C ．
3．（2018•齐齐哈尔三模）已知双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F ，抛物线y 2=12
x 与双曲线交于A ，B 两点，则△FAB 的面积为（ ） A ．2
B ．1+√2
C ．2+√2
D ．2+√3
【解答】解：双曲线
x 22
−y 2=1的左焦点为F （﹣√3，0），
由{x 2
2−y
2=1y 2=12x
可得：A （2，1），B （2，﹣1），
则△FAB 的面积为：1
2
×(2+√3)×2=2+√3．
故选：D ．
4．（2018•珠海二模）已知F 是双曲线C ：x 2a 2﹣y 2
b
2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，P
是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M ，若点P ，M ，F 三点共线，且△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．√3
B ．√5
C ．√6
D ．√7
【解答】解：如图以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线y=b
a
x 交于点