第三章变量之间的关系教案北师大版数学七年级下册

第三单元《变量之间的关系》整体分析
一、教学内容
二、学科素养目标
1.能把握知识的本质，及其内容、形式的变化；
2.能从实际问题中抽象出数学模型或作归纳假设进行探索，能把具体现象上升为本质联系，从而解决问题；
3.会对数学内容进行扩展或对数学问题进行延伸，会对解决问题过程中的合理性、完整性、简捷性的评价和追求作有效的思考
4.明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能用自己的语言或转换方式正确表达知识内容；
5.在一定的变式情境中能区别知识的本质属性与非本质属性，会把简单变式转换为标准式，并解决有关的问题。

三、教学重难点
（1）通过收集现实生活中的相关信息，认识相关联的量，自变量与因变量（2）理解变量之间的关系的三种表达形式
本章难点
（1）通过收集现实生活中的相关信息，认识相关联的量，自变量与因变量（2）理解变量之间的关系的三种表达形式
所需总课时（共5个课时）
§1 用表格表示变量之间的关系 1课时
§2 用表达式表示变量之间的关系 1课时
§3 用图像表示变量之间的关系 2课时
§本章总结 1课时
教学目标：
知识目标：1.了解变量、自变量和因变量的意义，了解可以用列表格表示两个变量之间的关系。

2.能分清是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。

3.对表格所表达的两个变量关系的理解。

能力目标：经历观察、操作、推理、交流等过程，推理能力和有条理地表达的能力。

情感目标：在活动中培养学生乐于探究、合作的习惯，体验探索成功、感受创新的乐趣，从而培养学习数学的主动性；进一步体会“数学就在我们身
边”，增强学生用数学解决实际问题的意识。

学科素养：培养学生直观想象、数学建模的核心素养。

教 材 分 析 及 教 学 过 程
第一环节： 进入变化的世界
活动内容: 以地壳随时间推移而运动为例，让学生关注到我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中常见的发生变化的事物。

如:随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了，时间和水温的变化；…… 第二环节： 通过数据感受变化
活动内容:
1.儿童从出生到10岁的体重变化。

婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体
重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍。

（1）上述的哪些量在发生变化？
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：
（3）根据表中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随着年龄的增长而变化的。

2.利用实验器材——小车、木板、秒表、调节高度的装置，让学生参与到“小车下滑的时
年龄
刚出生
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
体重/千克
教学理念 补充资料
教学反思
间”的实验中,并一起完成表格。

利用同一块木板，测量小车从不同的高度下滑的时间，然后将得到的数据填入下表：
注：1.支撑物的高度需根据具体试验情况调整，保持等差（d ）增加即可。

2.参考木板与小车间的摩擦程度和木板的长度
确定试验中支撑物的起止高度。

根据上表回答下列问题：
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？
（2）如果用h 表示支撑物高度，t 表示小车下滑时间，随着h 逐渐变大，t 的变化趋势是什么？
（3）h 每增加10厘米，t 的变化情况相同吗？ （4）估计当h=110厘米时，t 的值是多少。

你是怎样估计的？
（5）随着支撑物高度h 的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
注：第（1）、（3）、（4）中的数据需根据具体试验中数据进行调整。

中举到的容易操作的试验内容，课后分组完成。

第三环节： 概念介绍
活动内容:
在“小车下滑的时间”中，支撑物的高度h 和小车下滑的时间t 都在变化，它们都是变量(variable)。

其中小车下滑的时间t 随支撑物的高度h 的变化而变化。

支撑物
支撑物高度/厘米 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑时间/秒
的高度h是自变量(independent variale)，小车下滑的时间t是因变量(dependent variale)。

在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板的长度）一直没有变化。

像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量（constant）。

在“儿童从出生到10岁的体重变化”中，儿童的体重随年龄的变化而变化。

年龄是自变量，体重是因变量。

借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

在表格里，通常把自变量放在上（或左）面，把因变量放在下（或右）面。

第三环节归纳小结
师生互相交流总结本节所学的知识,如何从表格中获取信息；如何用表格表示变量之间的关系；如何对变化趋势进行预测。

第四环节知识精讲
注意：（1）“互为”这个词语，与“互为相反数”、“互为倒数”等词语中的含义有联系，均表示成对出现；例如∠1和∠2互余，即∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。

（2）互为余角以及互为补角的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系。

第五环节布置作业
习题3.1：问题解决4、5
第六环节板书设计
2.1 用表格表示的变量间关系
在“小车下滑的时间”中，支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量。

s
第七环节教学反思
教学目标：
1.1、知识目标：(1)能根据具体情景，用关系式表示变量间的关系，根据关系
式解决相关问题;(2)并会根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系;(3)通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，提高分析问题和解决问题的力。

2、能力目标：通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，提高分析问题和解决问题的力。

3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。

教材分析及教学过程
第一环节：情景导入
游戏：数青蛙
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；……
思考：1.青蛙的眼睛数和只数有关系吗？能用数学式表达吗？
2.青蛙的腿数和只数有关系吗？能用数学式表达吗？
第二环节：探究：用关系式表示变量间的关系
思考：确定一个三角形面积的量有哪些？
例：如上图，三角形ABC底边BC上的高是6厘米.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？
（2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为。

（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从厘米2变化到厘米2。

归纳总结：
y=3x表示了三角形面积和三角形底边长之间
的关系，它是变量y随x变化的关系式。

注意：关系式是我们表示变量之间关系的另一
种方法，利用关系式，如y=3x，
我们可以根据任何一个自变量值求出相
应的因变量的值。

教学理念补充资料教学反思
思考：你还记得圆锥的体积公式是什么吗？其中的
字母表示什么？
第三环节：活学活用
做一做：如图，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥底面半径为 r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r的关系式
为。

（3）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由 cm3变化到 cm3 .
例1：一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)
的数据如下表：写出用t表示s的关系式：。

议一议：
你知道什么是“低碳生活”吗？
“低碳生活”是指人们生活中
尽量减少所耗能量，从而降低
碳、特别是二氧化碳的排放量
的一种方式。

（1）家居用电的二氧化碳排放
量可以用关系式表示为_____________，其中的字母分别表示_________。

（2）在上述关系式中，耗电量每增加1 KW·h，二氧化碳排放量增加___________。

当耗电量从1 KW·h增加到 100KW·h时，二氧化碳排放量从_________增加到 _________。

（2）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
第四环节：当堂练习
1.变量x与y之间的关系式是y=x2－3，当自变量x=2 时，因变量y的值是( )
2.一块长为5米，宽为2米的长方形木板，现要在长边上截取一边长为x米的一小长方形(如图)，则剩
余木板的面积y(平方米)与x(米)之间
的关系式为( )
A.y=2x
B.y=10－2x
C.y=5x
D.y=10－5x
简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为。

在关系式S=40t中,当t=1.5时,S= 。

第五环节：课堂小结：
通过本节课的学习，你收获了什么?
求变量之间关系式的“三途径”
，归纳总结两个变量的关系式.
写出两个变量之间的关系式，比如各类几何图形的周长、面积、体积公式等.
3.结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如销量×(售价－进价)=利润等.
第六环节板书设计
求变量之间关系式的“三途径”
，归纳总结两个变量的关系式.
写出两个变量之间的关系式，比如各类几何图形的周长、面积、体积公式等.
3.结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如销量×(售价－进价)=利润等.
第七环节教学反思
教学目标：
1.能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解;
2.能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示;
3.进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的
精神。

重点：找问题中的自变量和因变量。

教材分析及教学过程
一、复习导入
1、列表法:
下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量(单位:件)随之发生变化: 降价(元) 5 10 15 20 25 30 30 日销量(件) 718 787 845 895 937 973 1000
在这个表中反映了,,,,个变量之间的关系，,,,,是自变量，,,,,是因变量。

2、关系式法:
某出租车每小时耗油5千克，若,小时耗油？千克，则自变量是,,,,，因变量是,,,,，？与t的关系式是,,,,,,,,。

阅读课本内容，认真思考，并与同伴进行交流。

3、图像法:
如图，是某地某年月平均气温随时间变化的图像(请回答下列问题:
(1)这一年中，月平均气温最高
的是,,,,月，温度大约是,,,
,?;
(2)月平均最高气温与最低气温
大约相差,,,,?;
1
(3)上述变化中，自变量是,,,,，因变量是,,,,。

五、探究案
每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会看这个表吗? 速度/，千米/时，
汽车在行驶的过程
中，速度往往是变化90
的，下面的图象表示一
60 辆汽车的速度随时间变
化而变化的情况。

30
(1)汽车从出发***********时间/分到最后停止共经过了多
少时间,它的最高时速是是多少,
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶,时速分别是多少,
(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况, .
第四环节：课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.图象是我们表示变量之间关系的第三种方法，它的特点是非常直观.
2.在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.
第五环节：布置作业
课本习题3.3
第七环节板书设计
1.图象是我们表示变量之间关系的第三种方法，它的特点是非常直观.
2.在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.
第八环节教学反思
教学目标：
1、能从图象分析变量之间的关系，加深对图象表示的理解;
2、能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示;
3、进一步体会数学与现实生活的密切联系，并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神。

重点：找问题中的自变量和因变量。

教材分析及教学过程
第一环节：课前准备
复习回顾
1、列表法:
下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量(单位:件)随之发生变化: 降价(元) 5 10 15 20 25 30 30 日销量(件) 718 787 845 895 937 973 1000
在这个表中反映了,,,,个变量之间的关系，,,,,是自变量，,,,,是因变量。

2、关系式法:
某出租车每小时耗油5千克，若,小时耗油？千克，则自变量是,,,,，因变量是,,,,，？与t的关系式是,,,,,,,,。

第二环节：情境引入
阅读课本内容，认真思考，并与同伴进行交流
第三环节：合作学习
3、图像法:
如图，是某地某年月平均气温随时间变化的图像(请回答下列问题:
(1)这一年中，月平均气温最高
的是,,,,月，温度大约是,,,
,?;
(2)月平均最高气温与最低气温
大约相差,,,,?;
1
(3)上述变化中，自变量是,,,,，因变量是,,,,。

五、探究案
每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当时的速度,你会
看这个表吗? 速度/，千米/时，
汽车在行驶的过程
中，速度往往是变化90
的，下面的图象表示一
60 辆汽车的速度随时间变
化而变化的情况。

30
(1)汽车从出发***********时间/分到最后停止共
经过了多
少时间,它的最高时速是是多少,
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶,时速分别是多少,
(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况,
第四环节归纳小结，布置作业
1.图象是我们表示变量之间关系的第三种方法，它的特点
是非常直观.
2.在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.
第五环节板书设计
1.图象特点是非常直观.
2.在用图象表示变量之间的关系时，
水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，
用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.
第六环节课后反思
第一环节：知识梳理
1、举例说明常量、变量；
2、举例说明自变量和因变量；
3、表示变量之间关系的方法有哪些，各有什么特点。

第二环节：新课讲授
第二环节：典型例题
例1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：
体的质量/千克012345长度/cm121314
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变
量？
(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质
量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？
(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，
弹簧的长度是多少？
说明：用表格来表示变量之间关系，其优点是：对于表中的自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到（如本题0千克与12cm 这组对应值），其不足之处是：表格只能列出部分自变量与因变量对应的值（如本例10千克与17cm这组对应值，表格中没有反映出来），难以反映变量之间变化的全貌。

例2．如图：将边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。

(1)这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？
(2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是xcm，围成的无盖长方体的体积是ycm3,则y与x之间的关系式是__________________；
(3)若小正方形的边长是5cm，那么长方体的体积是多少cm3？当体积是多少cm3
(4)根据以上关系式填下表：
(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？
x/cm123456789
y/cm3
(6)请你估计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？
说明：用关系式表示变量之间关系，其优点是：比较准确，有了关系式，可以由自变量的一个值，求出相应的因变量的值，反过来知道因变量的一个值，也可以求出相应的自变量的值。

（如本题5cm与500 cm3这组对应值），其不足之处是：关系式反应的两个变量之间的关系比较抽象，只有借助列出部分自变量与因变量对应值表才能看出变化的特点。

例3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，下图反应了他们两人离开学校的路程与时间的关系。

根据图形尝试解决你们提出的
问题。

（1）小红与小兰谁先出发？谁先达到？ （2）描述小兰离学校的路程与时间的变化关系。

（3）小兰前20分钟的速度和最后10分钟的速度是多少？怎样从图像上直观地反映速度的大小？
（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？
说明：用图象表示变量之间关系，其优点是：能形象直观反映事物变化的全过程、变化趋势和某些性质，其不足之处是：表示出来的图象是近似的、局部的，观察由图象确定的因变量的值，往往不够准确。

例4．一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t 小时，行驶的路程为s 千米.
（1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？ (2)你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？具体做一做。

（3）该汽车行驶小时的路程是多少千米？
（4）一段公路全长350千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？ 说明：用关系式、表格、图象三种不同的方法表示一个问题中的两个变量之间的关系，进一步体会三种表示方法的优点和不足；体会三种不同方法互相取长补短来共同研究，这也是今后我们学习函数的重要的方法第三环节：自主反馈
1. 2012年6月份某一天沈阳的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：
(1)这天的最高气温约是 ℃；
(2)这天一共有 个小时的气温在24℃以上；
3 1 2
4
5 0 1
2
3
4
5
6
t/分
s/
实线小兰 虚线小红
温度
2
2222时
0 3 6 9 12 15 18 21 24
(3)这天在 范围内温度在上升； 这天在 范围内温度在下降；
(4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约多少度。

2.果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：
时间t/秒
高度 h/米
5×0.25
5×
5×
5×
5×
×
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？
(3)请你列出果子落下的高度h （米）与时间t （秒）之间的关系式。

3．某种油箱容量为60升的汽车，加满汽油后，汽车行驶时油箱的油量Q （升）随汽车行驶时间t （时）变化的关系式如下：Q ＝60－6t (1)请完成下表 汽车行驶时间t/小时 0 1
油箱的油量Q/升
60
(2)汽车行驶5小时后，油箱中油量是 升
(3)若汽车行驶过程中，油箱的油量为12升，则汽车行驶了 小时 (4)贮满60升汽油的汽车，最多行驶 小时
(5)下面哪个图像能够反映变量Q 与t 的关系的是（ ）
第四环节 归纳小结，布置作业
动内容：畅谈这节课的收获和体会
Q
t
（A ）
Q
t
（B ） Q
t
（C ）。