东北三省四市教研联合体2024届高考模拟(一)数学试卷

2024年东北三省四市教研联合体高考模拟（一）
数学试卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。

非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}
3
B x x x ==，则A B = （
）
A ．{}1-
B ．{}
1,1-C ．{}
0,1D ．{}
1,0,1-2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A ．()10,0e = ，()21,2e =-
B ．()11,2e =- ，()25,7e =
C ．()13,5e = ，()
26,10e = D ．()12,3e =- ，213,24e ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
3．已知复数12,z z 满足123z z ==，122z z +=，则12z z -=（）
A ．3
B ．
C ．
D ．4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg ～的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg /mL ．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：lg30.48,lg70.85≈≈）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知函数())
23log f x x =-，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则3b a
ab
+的最小值为（）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．24
6．为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班
男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为22
12s s 、，该班成绩的方差
为2
s ，则下列结论中一定正确的是（
）
A ．22
212
2
s s s +=
B ．22
212
2
s s s +≥
C ．22
212
7512
s s s +=
D ．22
2
12
7512
s s s +≥
7．甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（）A ．,,a b c
B ．,,c a b
C ．,,c b a
D ．,,b c a
8．在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（
）
A ．函数()e x
y f x =⋅的最大值为1
B ．函数()e x
y f x =⋅的最小值为1
C ．函数()e
x
f x y =
的最大值为1
D ．函数()e x
f x y =
的最小值为1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫
=+>><<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则（）
A ．()01
f =
B ．()f x 在区间4π11π,36⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减C ．()f x 在区间π5π,36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值域为⎡-⎣D ．()f x 在区间π,2π2⎛⎫
⎪⎝⎭
有3个极值点10．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，
781
01
a a -<-．则下列结论正确的是（）
A ．01q <<
B ．791a a <
C ．n T 的最大值为7
T D ．n S 的最大值为7
S 11．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为
2π
3，面积为3π的扇形，则下列论断正确的是（）
A
．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
3
B ．圆锥内部有一个圆柱，并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内，当圆柱的体积最大时，圆柱的高为
23
C
．圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
3
D ．圆锥内部有一个正方体1111ABCD A B C D -，并使底面ABCD 落在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，正方体的表面上与点A
距离为
9
的点的集合形成一条曲线，则这条曲线长度为π9
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．
12．在()25y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭的展开式中33
x y 的系数为______．13．直线l 与抛物线2
4x y =交于,A B 两点，若6AB =，则AB 中点M 到x 轴距离的最小值是______．
14．有序实数组()()
*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N 称为n 维向量，12n x x x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅
，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a
的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =．
（1）求角A 的大小；
（2）若BC =ABC △的面积．16．（15分）已知函数()e ,e
x
x x f x a a =
-∈R ．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（3）若对任意x ∈R ，有()1
e x
f x -≤恒成立，求a 的取值范围．
17．（15分）
在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线()2
2
2
:30C x y a
a -=>的左右焦点，
过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点．当l 与x 轴垂直时，1ABF △面积为12．（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）当l 与x 轴不垂直时，作线段AB 的中垂线，交x 轴于点D ．试判断2DF AB
是否为定值．若是，请求
出该定值；若不是，请说明理由．18．（17分）
正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为，111
2
A B AB =
，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112
AP AB AD AA λλλ=-+⋅+
，其中()0,1λ∈．
（1）求证1D P AC ⊥；
（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为
37，当2
3
λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角
的正弦值．19．（17分）
入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况．日期t
12345678910销售量y （千张）
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
经计算可得：10
11 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，10
21
385i i t ==∑．（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为
25，选择B 套餐的概率为3
5
，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()
*n P n ∈N ．①求n P 的最值；
②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n >N 时，n a a ε-<，
（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()
1
1
2
22
1
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
x x
nx b
x ====---⋅==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-．。