2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(9)

2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________
评卷人得分
一、选择题(共12题，每题5分，共60分)
1．已知集合M={x|x>1},N={x|x2+6>5x},则M∩N=
A.(3,+∞)
B.(1,2)∪(3,+∞)
C.(2,3)
D.(1,2)
2．设i为虚数单位,则复数z=的虚部为
A.-2
B.-i
C.i
D.-1
3．已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2|b|=2.在△ABC中,若=a-b,=a,则A的大小为A.120° B.30° C.150° D.60°
4．若变量x,y满足条件则(x-2)2+y2的最小值为
A. B. C. D.5
5．“a=2”是“函数f(x)=x2+2ax-2在区间(-∞,-2]上单调递减”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6．定义在R上的奇函数f(x)连续且可导,若f(x)-f'(x)<x-1恒成立(其中f'(x)为f(x)的导函数),则
A.f'(0)<1
B.f(-1)+f'(-1)<0
C.f(1)<f(0)<f(-1)
D.f(-1)<f(0)<f(1)
7．正三棱柱的正视图的面积是8(如图所示)，则侧视图的面积为
A. B. C. D.
8．执行如图所示的程序框图,已知输出的s∈[0,4],若输入的t∈[m,n],则实数n-m的最大值为
A.1
B.2
C.3
D.4
9．设等差数列{a n}的前n项和为S n,且2a7-a11=4,则S5=
A.15
B.20
C.25
D.30
10．已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),若对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)+lo x)=3,
则方程f(x)=2-x3的解的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
11．将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,若,则实数的最小值为
A. B. C. D.
12．m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列判断正确的是
A.若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥β
B.若m∥α,n⊂α,则m∥n
C.若m,n,l两两相交,且交于同一点,则m,n,l共面
D.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题(共4题，每题5分，共20分)
13．已知m=(cos x,1),n=(sin x,0),函数f(x)=m2-m·n,则f(x)取得最小值时x的取值构成的集合为.
14．已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)∥(m-n),则λ=.
15．已知数列{x n}各项均为正整数,且满足x n+1=n∈N*.若x3+x4=3,则x1所有可能取值的集合为.
16．设a∈R,直线ax-y+2=0和圆(θ为参数)相切,则a的值为.
评卷人得分
三、解答题(共7题，共70分)
17．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,向量m=(1,-1),n=(cos B cos C,sin
B sin C-),且m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)当sin B+cos(C-)取得最大值时,求角B的大小和△ABC的面积.
18．如图,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2AC=2,∠BAC=90°,∠BAA1=120°.
(1)证明:AB⊥平面AB1C;
(2)求四棱锥B1-AA1C1C的体积.
19．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15~65岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65]
支持“延迟退休”
15 5 15 28 17
的人数
(1)由以上统计数据填写2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.
45岁以
下45岁及45岁
以上
合计
支持
不支持
合计
(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.
(i)抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁及45岁以上的概率;
(ii)记抽到45岁及45岁以上的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
参考数据:
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k02.706 3.841 6.635 10.828
K2=.
20．已知椭圆Ω的离心率为,一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合.
(1)求椭圆Ω的方程;
(2)若在椭圆+=1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的椭圆的切线方程是+=1.
①过直线l:x=4上的点M引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A,B,求证直线AB恒过定点C;
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
21．已知函数f(x)=x(ln x-ax-1),a∈R.
(1)设函数g(x)=f'(x)(f'(x)为f(x)的导函数),求g(x)的零点个数;
(2)若f(x)的最大值是0,求实数a的值.
请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R).以O为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.
23．设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M.
(1)求M;
(2)当x∈M时,证明:x[f(x)]2-x2f(x)≤0.
参考答案
1.B
【解析】解法一x2+6>5x即x2-5x+6>0,即(x-2)(x-3)>0,解得x<2或x>3,所以
N=(-∞,2)∪(3,+∞).故M∩N=(1,2)∪(3,+∞),故选B.
解法二当x=5时,52+6>5×5成立,所以5∈M∩N,排除C,D两项;当x=时,()2+6>5×成立,所以∈M∩N,排除A.故选B.
【备注】无
2.D
【解析】本题主要考查复数的运算与概念.
∵z==2-i,∴z的虚部为-1,故选D.
【备注】无
3.C
【解析】由题意知,|a|=2,|b|=1,所以||2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=4-2×2×1×
cos 60°+1=3,||2=|-|2=|b-2a|2=|b|2-4a·b+4|a|2=13,所以cos A=
==-.又0°<A<180°,所以A=150°.
【备注】无
4.D
【解析】如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).
设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为可行域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,
由图像可知,C,D两点间的距离最小,此时z最小,
由可得即C(0,1).
所以z min=(0-2)2+12=4+1=5.
【备注】无
5.A
【解析】充分性:当a=2时, f(x)=x2+4x-2=(x+2)2-6,易知函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减.
必要性:若f(x)=x2+2ax-2=(x+a)2-a2-2在区间(-∞,-2]上单调递减,则需-a≥-2,即a≤2,故“a=2”是“函数f(x)=x2+2ax-2在区间(-∞,-2]上单调递减”的充分不必要条件.
【备注】无
6.D
【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.构造函数g(x)=,则g'(x)=,当x∈(0,1]时,g'(x)=≥0,∴g(x)在(0,1]上单调递
增,∴g(1)=>g(0)=0,∴f(1)>0,f(-1)=-f(1)<0,∴f(-1)<f(0)<f(1),故D正确,C错误.在f(x)-f'(x)<x-1中,令x=0,得f(0)-f'(0)<-1,结合f(0)=0,可知f'(0)>1,故A错误.在
f(x)-f'(x)<x-1中,令x=1,得f(1)-f'(1)<0,∴-f(-1)-f'(-1)<0,∴f(-1)+f'(-1)>0,故B 错误,选D.
【备注】可导奇函数的导函数是偶函数,但导函数为偶函数的原函数不一定是奇函数.
7.B
【解析】本题考查空间几何体的结构特征与三视图.等边三角形的边长与底边的高之比为；由题意得，所以.选B.
【备注】无
8.D
【解析】本题考查程序框图、分段函数及一次函数与二次函数的图象等知识,考查数形结合思想.
由程序框图得s=,作出s的图象如图所示.若输入的t∈[m,n],输出的s∈[0,4],则由图象得n-m的最大值为4,故选D.
【备注】无
9.B
【解析】通解设等差数列{a n}的公差为d,则由已知可得2(a1+6d)-(a1+10d)=a1+2d=4,所以S5=5a1+d=5(a1+2d)=5×4=20.故选B.
优解由等差数列的性质可知2a7-a11=a3=4,所以S5==5a3=20.故选B.
【备注】无
10.B
【解析】根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)+x)=3,即f(f(x)-log2x)=3,又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,则f(x)-log2x为定值.设t=f(x)-log2x,则
f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,即log2t+t=3,解得t=2,则f(x)=log2x+2.在同一直角坐标系内分
别作出函数y=log2x+2与函数y=2-x3的图像,
如图,由图像可得方程f(x)=2-x3的解的个数是1.
【备注】无
11.B
【解析】无
【备注】无
12.D
【解析】对于选项A,若成立还需要添加条件n⊂α,故A不正确;对于选项B,由m∥α,n⊂α,还可能得到m,n是异面直线,故B不正确;对于选项C,可举反例,如三棱锥同一顶点出发的三条棱,故C不正确;对于选项D,∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β,故D正确. 【备注】无
13.{x|x=kπ+,k∈Z}
【解析】依题意知,f(x)=m2-m·n=cos2x+1-sin x cos x=-sin 2x+1=cos 2x-sin
2x+=cos(2x+)+,当2x+=2kπ+π,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z时,f(x)取得最小值,所以f(x)取得最小值时x的取值构成的集合为{x|x=kπ+,k∈Z }.
【备注】无
14.0
【解析】因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0.
【备注】无
15.{1,2,3,4,8}
【解析】由题意得x3=1,x4=2或x3=2,x4=1.当x3=1时,x2=2,从而x1=1或4;当x3=2时,x2=1
或4,因此当x2=1时,x1=2,当x2=4时,x1=8或3.综上,x1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}. 【备注】无
16.
【解析】本题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系,考查的核心素养是数学运算. 由已知条件可得圆的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心为(2,1),半径为2,由直线和圆相切可得=2,解得a=.
【备注】【方法总结】直线与圆的位置关系问题通常可以借助数形结合思想,利用圆心到直线的距离与半径的关系进行求解.
17.(1)因为m⊥n,所以cos B cos C-sin B sin C+=0,即cos(B+C)=-,
因为A+B+C=π,所以cos(B+C)=-cos A,
所以cos A=,
又A为△ABC的内角,所以A=.
(2)因为A=,所以C=-B,
sin B+cos(C-)=sin B+cos(-B-)=sin B+cos(B-)=sin B+cos B=sin(B+). 因为B∈(0,),所以当sin B+cos(C-)取得最大值时, B=.
又=2,所以b=,
所以△ABC的面积为ab sin C=sin(+)=.
【解析】本题主要考查向量、三角形内角和定理、三角恒等变换、正弦定理、三角形的面积等.(1)根据向量垂直,利用两角和的三角函数公式和三角形内角和定理化简得cos A=,然后结合角A的取值范围求角A的大小;(2)根据角A的大小得到角B,C的关系,将sin
B+cos(C-)化简为关于角B的三角函数,通过角B的取值范围求出sin B+cos(C-)取得最
大值时角B的大小,再利用正弦定理求出b的值,即可利用三角形的面积公式求解三角形的面积.
【备注】解三角形与三角函数是高考的必考点,解决此类题目的关键是灵活运用正、余弦定理实现三角形边、角之间的相互转化,另外在解决三角函数问题时,要将函数化为一角一函数的形式.在解决解三角形问题时,要注意三角形内角的取值范围,不要出现增解.
18.(1)因为∠BAA1=120°,所以∠ABB1=60°.
在△ABB1中,AB=1,BB1=AA1=2,
由余弦定理得A=AB2+B-2AB·BB1·cos∠ABB1=3,所以B=AB2+A,所以AB1⊥A B.
又∠BAC=90°,所以AC⊥AB,
又AC∩AB1=A,所以AB⊥平面AB1C.
(2)依题意,四棱锥B1-AA1C1C的体积
V=-×1×1=.
【解析】本题以三棱柱为载体,主要考查空间线面位置关系以及几何体体积的计算,考查考生的空间想象能力、推理论证能力.(1)要证明线面垂直,可以利用线面垂直的判定定理证明;(2)求四棱锥B1-AA1C1C的体积可以由三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到.
【备注】寻找立体几何的解题思路要把握好以下几点:一是要有转化与化归的意识,即将线线、线面、面面之间的位置关系进行相互转化;二是要有平面化的思想,即将空间问题转化为平面问题;三是要有割补的意识,将原几何体进行分割或补形,得到新的规则几何体.
19.(1)
45岁以
下45岁及45
岁以上
合计
支持35 45 80
不支
持
15 5 20
合计50 50 100
因为K2==6.25>3.841,
所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.
(2)从不支持“延迟退休年龄政策”的人中抽取8人,则45岁以下的应抽6人,45岁及45岁以上的应抽2人.
(i)抽到1人是45岁以下的概率为,抽到1人是45岁以下且另一人是45岁及45岁以上的概率为.
故所求概率为.
(ii)X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=.
故随机变量X的分布列为
X0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×.
【解析】(1)根据频率分布直方图及表格易列出2×2列联表,求出K2的观测值判断即
可.(2)(i)利用条件概率计算公式求解即可;(ii)确定ξ的所有可能取值及所对应的概率,可得ξ的分布列与数学期望.
【备注】无
20.(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0).抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),故c=1,又,所以a=2,b=.
所以所求的椭圆Ω的方程为+=1.
(2)①设切点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上点M的坐标为(4,t),则切线方程分别为
+=1,+=1.又两切线均过点M,即x1+y1=1,x2+y2=1,即点A,B的坐标都适合方程
x+y=1,又两点确定唯一的一条直线,故直线AB的方程是x+y=1,显然对任意实数t,点(1,0)适合这个方程,故直线AB恒过定点C(1,0).
②将直线AB的方程x=-y+1代入椭圆方程得
3(-y+1)2+4y2-12=0,即(+4)y2-2ty-9=0,
所以y1+y2=,y1y2=.
不妨设y1>0,y2<0,
则|AC|=y1,同理,|BC|=-y2,
所以+(-)
=
=-
=-·
=·
=,
即|AC|+|BC|=|AC|·|BC|.
故存在实数λ=使得|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|.
【解析】(1)根据已知确定椭圆方程的系数,即可得出椭圆方程.(2)①设出切点坐标,根据给出的切线方程即可得到在点A,B处的两条切线方程,点M的坐标同时适合这两条切线方程,即可根据两点确定唯一的一条直线得到直线AB的方程,再根据点M在已知直线上,确定单参数直线系AB的方程,根据这个直线系方程与参数无关得到关于x,y的方程组,以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点;②求出定点后,变换|AC|+|BC|=λ|AC|·|BC|为
λ=+,问题即转化为+是否是常数的问题,再根据点A,B,C的坐标和两点间的距
离公式把这个式子转化为点的坐标之间的关系.
【备注】无
21.解:(1)由题意得g(x)=f'(x)=ln x-2ax,令g(x)=0,
得2a=,
设h(x)=,x>0,则h'(x)=,
当x>e时,h'(x)<0;当0<x<e时,h'(x)>0.
∴函数h(x)的单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞),
∴h(x)max=h(e)=.
作出函数h(x)的大致图象如图所示,
数形结合可知,当2a≤0或2a=,即a≤0或a=时,函数g(x)有1个零点;
当2a>,即a>时,函数g(x)没有零点;
当0<2a<,即0<a<时,函数g(x)有2个零点.
(2)由(1)可知f'(x)=x(h(x)-2a),
①当a≥时,f'(x)≤0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递减,无最大值;
②当a≤0时,存在唯一的x0∈(0,1],使得h(x0)=2a,
当x>x0时,f'(x)>0,当0<x<x0时,f'(x)<0,
∴f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,无最大值;
③当0<a<时,存在x1∈(1,e),x2∈(e,+∞),使得h(x1)=h(x2)=2a,
易得f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,
又当x∈(0,1)时,f(x)=x(ln x-ax-1)<0,
∴f(x)max=f(x2)=x2(ln x2-ax2-1)=x2(ln x2-·x2-1)=0,
解得x2=e2,
∴a=.
【解析】本题考查逻辑思维能力和运算求解能力.
【备注】无
22.(1)∵曲线C1的参数方程为,
∴其普通方程为x-y-a+1=0.
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0,∴ρ2cos2θ+4ρcos θ-ρ2=0,
∴x2+4x-x2-y2=0,即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.
(2)设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,由,
得2t2-2t+1-4a=0.
Δ=(2)2-4×2(1-4a)>0,即a>0,由根与系数的关系得.
根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|,|PB|=2|t2|,
又|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|,即t1=2t2或t1=-2t2.
∴当t1=2t2时,有,解得a=>0,符合题意.
当t1=-2t2时,有,解得a=>0,符合题意.
综上所述,实数a的值为或.
【解析】本题主要考查参数方程、极坐标方程以及直线与曲线的交点,通过参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化以及弦长计算,考查考生的运算求解能力和解决问题的能力.
【备注】【易错点拨】运用直线参数方程中的t的意义求弦长时,要注意区分其方程的形式是标准型还是一般型.
23.(1)由已知,得f(x)=.
当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,解得x≤0,此时x≤0;
当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,解得x≤,显然不成立.
故f(x)≤-1的解集为M={x|x≤0}.
(2)当x∈M时,f(x)=x-1,
于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-(x-)2+.
令g(x)=-(x-)2+ ,则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,
∴g(x)≤g(0)=0.
故x[f(x)]2-x2f(x)≤0.
【解析】本题主要考查不等式的求解与证明,以绝对值不等式为载体,考查考生的推理论证能力、运算求解能力
【备注】无。