2021年北京市高考数学试卷(含答案)

2021年北京市高考数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B ＝（）
A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}
D．{x|0＜x＜1}
2．（4分）在复平面内，复数z满足（1﹣i）•z＝2，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．1﹣i D．1+i
3．（4分）设函数f（x）的定义域为[0，1]，则“函数f（x）在[0，1]上单调递增”是“函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）
A．B．4C．3+D．2
5．（4分）双曲线C：﹣＝1过点（，），离心率为2，则
双曲线的解析式为（）
A．﹣y2＝1B．x2﹣＝1
C．﹣＝1D．﹣＝1
6．（4分）已知{a n}和{b n}是两个等差数列，且（1≤k≤5）是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为（）
A．64B．100C．128D．132
7．（4分）已知函数f（x）＝cosx﹣cos2x，试判断该函数的奇偶性及最大值（）
A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为
8．（4分）对24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：
0～1010～2525～5050～
100
小雨中雨大雨暴雨
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级（）
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨9．（4分）已知圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，若当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为（）
A．±2B．±C．±D．±3 10．（4分）数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+a3+…+a n ＝100，则n的最大值为（）
A．9B．10C．11D．12
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）（x3﹣）4的展开式中常数项是．
12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是；作MN⊥x轴于N，则S△FMN ＝．
13．（5分）已知＝（2，1），＝（2，﹣1），＝（0，1），则（+）•＝；•＝．
14．（5分）若P（cosθ，sinθ）与Q（cos（θ+），sin（θ+））关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值．15．（5分）已知f（x）＝|lgx|﹣kx﹣2，给出下列四个结论：
（1）若k＝0，则f（x）有两个零点；
（2）∃k＜0，使得f（x）有一个零点；
（3）∃k＜0，使得f（x）有三个零点；
（4）∃k＞0，使得f（x）有三个零点．
以上正确结论的序号是．
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝．
（1）求B的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①c＝b；②周长为4+2；③面积为S△ABC＝．
17．（13分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．
（1）求证：点F为B1C1中点；
（2）若点M为棱A1B1上一点，且二面角M﹣CF﹣E的余弦值为，求．
18．（14分）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为
，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E（X）；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E（Y），试比较E（X）和E（Y）的大小．（直接写出结果）
19．（15分）已知函数f（x）＝．
（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值．
20．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P（0，﹣3）的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB、AC交y＝﹣3于点M、N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
21．（15分）定义R p数列{a n}：对p∈R，满足：
①a1+p≥0，a2+p＝0；②∀n∈N*，a4n﹣1＜a4n；③∀m，n∈N*，
a m+n∈{a m+a n+p，a m+a n+p+1}．
（1）对前4项2，﹣2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；
（2）若{a n}是R0数列，求a5的值；
（3）若S n是数列{a n}的前n项和，是否存在p∈R，使得存在R p 数列{a n}，对任意n∈N*，满足S n≥S10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．参考答案：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|﹣1＜x≤2}．
故选：B．
点拨：本题考查并集及其运算，是基础题．
2．参考答案：因为（1﹣i）•z＝2，
所以．
故选：D．
点拨：本题考查了复数的除法运算，解题的关键是掌握复数除法的运算法则，属于基础题．
3．参考答案：若函数f（x）在[0，1]上单调递增，
则函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），
若f（x）＝（x﹣）2，则函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），但函数f（x）在[0，1]上不单调，
故选：A．
点拨：本题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题．
4．参考答案：由三视图还原原几何体如图，
PA⊥底面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝1，
则△PBC是边长为的等边三角形，
则该四面体的表面积为S＝．故选：A．
点拨：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
5．参考答案：因为双曲线﹣＝1过点（，），
则有①，
又离心率为2，
则②，
由①②可得，a2＝1，b2＝3，
所以双曲线的标准方程为．
故选：B．
点拨：本题考查了双曲线的标准方程的求解，解题的关键是求出基本量a，b的值，考查了运算能力，属于基础题．
6．参考答案：{a n}和{b n}是两个等差数列，且（1≤k≤5）是常
值，由于a1＝288，a5＝96，
故，
由于
所以b3＝128．
故选：C．
点拨：本题考查的知识要点：数列的等差中项的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．参考答案：因为f（x）＝cosx﹣cos2x＝cosx﹣（2cos2x﹣1）＝﹣2cos2x+cosx+1，
因为f（﹣x）＝﹣2cos2（﹣x）+cos（﹣x）+1＝﹣2cos2x+cosx+1＝f（x），
故函数f（x）为偶函数，
令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，
故f（t）＝﹣2t2+t+1是开口向下的二次函数，
所以当t＝时，f（t）取得最大值f（）＝﹣2×（）2++1＝，
故函数的最大值为．
综上所述，函数f（x）是偶函数，有最大值．
故选：D．
点拨：本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
8．参考答案：圆锥的体积为，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为mm，
将r＝50，h＝150代入公式可得V＝125000π（mm3），
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为V＝Sh，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以（mm2），
则平地上积水的厚度h＝（mm），
因为10＜12.5＜25，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选：B．
点拨：本题考查了空间几何体在实际生活中的应用，解题的关键是掌握锥体和柱体体积公式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
9．参考答案：圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，
直线被圆C所截的弦长的最小值为2，设弦长为a，
则圆心C到直线l的距离d＝，
当弦长取得最小值2时，则d有最大值，
又，因为k2≥0，则，
故d的最大值为，解得m＝．
故选：C．
点拨：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了直线被圆所截得的弦长问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
10．参考答案：∵数列{a n}是递增的整数数列，
∴n要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为1，
∵a1＝3，
∴a n＝n+2，
则＝，
当n＝10时，a10＝12，S10＝75，
∵100﹣S10＝25＞a10＝12，即n可继续增大，n＝10非最大值，
当n＝12时，a12＝14，S12＝102，
∵100﹣S12＝100﹣102＜0，不满足题意，
即n＝11为最大值．
故选：C．
点拨：本题考查了数列的知识，具有一定的探索性，需要找到研究的临界问题，属于中档题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．参考答案：设展开式的通项为T r+1，则T r+1＝•（x3）4﹣r•＝（﹣1）r••x12﹣4r•
令12﹣4r＝0得r＝3．
∴开式中常数项为：（﹣1）3•＝﹣4．
故答案为：﹣4．
点拨：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．
12．参考答案：抛物线C：y2＝4x，
则焦点F（1，0），准线方程l为x＝﹣1，
过点M作ME⊥l，垂足为E，设M（x0，y0），
则MF＝ME＝6，
所以x0+1＝6，则x0＝5，
所以点M的横坐标为5；
点M在抛物线上，故，
所以|y0|＝，即MN＝，
所以＝4．
故答案为：5；4．
点拨：本题考查了抛物线标准方程的应用，抛物线定义的应用以及几何性质的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
13．参考答案：∵＝（2，1），＝（2，﹣1），＝（0，1），∴（+）•＝（4，0）•（0，1）＝4×0+0×1＝0，
•＝2×2+1×（﹣1）＝3．
故答案为：0；3．
点拨：本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于基础题．
14．参考答案：因为P（cosθ，sinθ）与Q（cos（θ+），sin（θ+））关于y轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，
即sinθ＝sin（θ+）且cosθ＝﹣cos（θ+），
由诱导公式sinα＝sin（π﹣α），cosα＝﹣cos（π﹣α），
所以θ+＝π﹣θ，解得θ＝，
则符合题意的θ值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
点拨：本题考查了三角函数的化简，三角函数诱导公式的应用，点关于线的对称性问题，属于基础题．
15．参考答案：函数f（x）＝|lgx|﹣kx﹣2的零点的个数可转化为函数y＝|lgx|与直线y＝kx+2的交点的个数；
作函数y＝|lgx|与直线y＝kx+2的图象如右图，
若k＝0，则函数y＝|lgx|与直线y＝kx+2的图象在（0，1）与（1，+∞）上各有一个交点，如直线l1，则f（x）有两个零点，故（1）正确；
若k＜0，则当函数y＝|lgx|与直线y＝kx+2的图象相切时，f（x）有一个零点，如直线l2，故（2）正确；
当k＜0时，函数y＝|lgx|与直线y＝kx+2的图象至多有两个交点，故（3）不正确；
当k＞0且k足够小时，函数y＝|lgx|与直线y＝kx+2的图象在（0，1）与（1，+∞）上分别有1个、2个交点，如直线l3，故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）．
点拨：本题考查了命题真假性的判断，同时考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，考查了转化、数形结合等思想方法的应用，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．参考答案：（1）∵c＝2bcosB，
由正弦定理可得sinC＝2sinBcosB，即sinC＝sin2B，
∵C＝，
∴当C＝2B 时，B＝，即C+B＝π，不符合题意，舍去，
∴C+2B＝π，
∴2B＝，
即B＝．
（2）选①c＝b，
由正弦定理可得
，与已知条件c＝b矛盾，故△ABC不存在，
选②周长为4+2，
∵C＝，B＝，
∴，
由正弦定理可得，即，
∴，
∴a+b+c＝（2+）R＝4+2，
∴R＝2，即a＝2，b＝2，c＝2，
∴△ABC存在且唯一确定，
设BC的中点为D，
∴CD＝1，
在△ACD中，运用余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠C，即，AD＝，
∴BC边上的中线的长度．
选③面积为S△ABC＝，
∵，
∴a＝b，
∴，解得a＝，
余弦定理可得
AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD×＝，．
点拨：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
17．【解答】（1）证明：连结DE，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD∥C1D1，C1D1⊂平面A1B1C1D1，CD⊄平面A1B1C1D1，
则CD∥平面A1B1C1D1，因为平面A1B1C1D1∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF，则EF∥C1D1，
故A1B1∥EF∥C1D1，又因为A1D1∥B1C1，
所以四边形A1B1FE为平行四边形，四边形EFC1D1为平行四边形，所以A1E＝B1F，ED1＝FC1，
而点E为A1D1的中点，所以A1E＝ED1，
故B1F＝FC1，则点F为B1C1的中点；
（2）解：以点B1为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体边长为2，设点M（m，0，0），且m＜0，
则C（0，2，﹣2），E（﹣2，1，0），F（0，1，0），
故，设平面CMF的法向量为，
则，即，
所以，b＝2，故，
设平面CDEF的法向量为，
则，即，
所以x＝0，y＝2，故，
因为二面角M﹣CF﹣E的余弦值为，
则＝＝，
解得m＝±1，又m＜0，
所以m＝﹣1，
故＝．
点拨：本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的性质定理的应用，二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
18．参考答案：（1））①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
②由题意可得：X＝20，30．
P（X＝20）＝，P（X＝30）＝．
可得分布列：
X2030
P
E（X）＝20×+30×＝．
（2）由题意可得：Y＝25，30．
P（Y＝25）＝20×＝，P（Y＝30）＝．
可得分布列：
Y2530
P
E（Y）＝25×+30×＝＞＝．
E（X）＜E（Y）．
点拨：本题考查了随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．参考答案：（1）f（x）＝的导数为f′（x）＝
＝，
可得y＝f（x）在（1，1）处的切线的斜率为﹣4，
则y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝﹣4（x﹣1），即为y＝﹣4x+5；
（2）f（x）＝的导数为f′（x）＝，
由题意可得f′（﹣1）＝0，即＝0，解得a＝4，
可得f（x）＝，
f′（x）＝，
当x＞4或x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣1＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）递减．
函数y＝f（x）的图象如右图，当x→﹣∞，y→0；x→+∞，y→0，则f（x）在x＝﹣1处取得极大值1，且为最大值1；在x＝4处取得极小值﹣，且为最小值﹣．
所以f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（4，+∞），减区间为（﹣1，4）；
f（x）的最大值为1，最小值为﹣．
点拨：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．参考答案：（1）因为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，﹣2），则b＝2，
又因为以四个顶点围成的四边形面积为4，
所以，解得a＝，
故椭圆E的标准方程为；
（2）由题意，设直线l的方程为y﹣（﹣3）＝k（x﹣0），即y＝kx﹣3，
当k＝0时，直线l与椭圆E没有交点，而直线l交椭圆E于不同的两点B，C，
所以k≠0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），
联立方程组，可得（4+5k2）x2﹣30kx+25＝0，
则△＝（﹣30k）2﹣4×25（4+5k2）＞0，解得|k|＞1，
所以，
则y1y2＝（kx1﹣3）（kx2﹣3）＝k2x1x2﹣3k（x1+x2）+9＝，y1+y2＝（kx1﹣3）+（kx2﹣3）＝k（x1+x2）﹣6＝，
直线AB的方程为y﹣（﹣2）＝，即，
直线AC的方程为y﹣（﹣2）＝，即，
因为直线AB交y＝﹣3于点M，
所以令y＝﹣3，则，
故，
同理可得，
注意到＞0，所以x1，x2同号，
因为y1+2＞0，y2+2＞0，所以x M，x N同号，
故|PM|+|PN|＝|x M|+|x N|＝|x M+x N|，
则|PM|+|PN|＝＝
＝
＝
＝
＝5|k|，
故|PM|+|PN|＝5|k|，
又|PM|+|PN|≤15，即5|k|≤15，即|k|≤3，又|k|＞1，
所以1＜|k|≤3，
故k的取值范围为[﹣3，﹣1）∪（1，3]．
点拨：本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．
21．参考答案：（1）由性质③，结合题意可得0＝a3∈{a1+a2+2，a1+a2+2+1}＝{2，3}，矛盾，
故前4项2，﹣2，0，1的数列，不可能是R2数列；
（2）性质①，a1≥0，a2＝0；
由性质③a m+2∈{a m，a m+1}，因此a3＝a1或a3＝a1+1，a4＝0或a4＝1，
若a4＝0，由性质②可得a3＜a4，即a1＜0或a1+1＜0，矛盾；
若a4＝1，a3＝a1+1，由a3＜a4，则a1+1＜1，矛盾，
因此只能是a4＝1，a3＝a1，
又因为a4＝a1+a3或a4＝a1+a3+1，所以a1＝或a1＝0．
若a1＝，则a2∈{a1+a1+0，a1+a1+0+1}＝{2a1，2a1+1}＝{1，2}，不满足a2＝0，舍去；
当a1＝0，则{a n}的前四项为0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明a4n+i＝n（i＝1，2，3），a4n+4＝n+1（n∈N），当n＝0时，经检验命题成立；
假设n≤k（k≥0）时命题成立．
当n＝k+1时，
＝a4k+5＝a j+（4k+5﹣j），
若i＝1，则a4
（k+1）+1
利用性质③：{a j+a4k+5﹣j|j∈N*，1≤j≤4k+4}＝{k，k+1}，此时可得a4k+5＝k+1，
否则a4k+5＝k，取k＝0可得a5＝0，而由性质②可得a5＝a1+a4∈{1，2}，与a5＝0矛盾．
同理可得，{a j+a4k+6﹣j|j∈N*，1≤j≤4k+5}＝{k，k+1}，此时可得a4k+6＝k+1，
{a j+a4k+8﹣j|j∈N*，2≤j≤4k+6}＝{k+1，k+2}，此时可得a4k+8＝k+2，{a j+a4k+7﹣j|j∈N*，1≤j≤4k+6}＝{k+1}，又因为a4k+7＜a4k+8，此时可得a4k+7＝k+1，
即当n＝k+1时，命题成立．
综上可得，a5＝a4×1+1＝1；
（3）令b n＝a n+p，由性质③可知，∀m，n∈N*，b m+n＝a m+n+p∈{a m+p+a n+p，a m+p+a n+p+1}＝{b m+b n，b m+b n+1}，
由于b1＝a1+p≥0，b2＝a2+p＝0，b4n﹣1＝a4n﹣1+p＜a4n+p＝b4n，
因此数列{b n}为R0数列，
由（2）可知，若∀n∈N*，a4n+i＝n﹣p（i＝1，2，3），a4n+1＝n+1﹣p；
S11﹣S10＝a11＝a4×2+3＝2﹣p≥0，
S9﹣S10＝﹣a10＝﹣a4×2+2＝﹣（2﹣p）≥0，
因此p＝2，此时a1，a2，•，a10≤0，a j≥0（j≥11），满足题意．
点拨：本题考查了有关数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．。