郸城一高2014届清北自招物理专题训练(9)万有引力

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郸城一高2014届清北自招物理专题训练（9）
万有引力 天体 角动量
责任教师：李金阳（时间80分钟，分数100分）
一．选择题（每题4分，共40分）
1．已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。

不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出：（ ） A 、地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9：8
B 、地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9：4
C 、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8：9
D 、靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81：4
2.一颗地球通讯卫星（同步卫星）的质量为m ，定点高度为h ；地球的半径为R ，地表的重力加速度为g ，自传角速度为ω，则通讯卫星所受到的地球的万有引力为：( )
A ．0F = B. 22
()
mR g
F R h =+
C. F =
D.以上结果都不正确
3.有一个质量很大体积很小的星球，一个物体离这个星球的距离为r ，与静止出发自由落向此星球，则物体落到这个星球上经历的时间为：（ ）
A.T =
B.T =
C. T π=
D. T =
4．人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T 1和T 2，
设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g 1、g 2，则（ ）
A.4/3
1122g T g T ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B.4/3
1221g T g T ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
C.2
1122g T g T ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D.2
1221g T g T ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
5、我国发射的北斗系列卫星的轨道位于赤道上方，轨道半径为r ，
绕行方向与地球自转方向相反。

设地球自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g 。

设某一时刻，卫星通过赤道上某建筑物的上方，则当它再一次通过该建筑物上方时，所经历的时间为( )
A
B
．0
1
2)πω C
D
．02)πω 6.2007年11月9日下午17点29分开始，嫦娥一号卫星迎来了一项全新的挑战——那就是“日凌”现象。

“日凌”是指太阳、探测卫星和地面站的数据接收天线恰巧在一条直线上，太阳产生的强大的电磁波将干扰地面站的天线接收卫星信号，从而造成通讯中断。

假设嫦娥一号卫星受到的电磁辐射强度（单位时间内垂直通过单位面积的电磁辐射能量）为某一临界值W 0。

若太阳的平均电磁辐射功率为P ，则可以估算出太阳到月球的距离为（ ）
A
7．某同学能查阅到的物理数据有：地球质量M 、地球半径R 、月球半径r 、月球质量m 、地球表面重力加速度g 、月球表面重力加速度g ’、月球绕地球转动的线速度v 、周期T 以及光速c 。

该同学又知道，1969年人类首次用激光器向月球表面发射激光光束，并经过时间t 后接收到了经月球表面反射回来的激光光束。

该同学要计算地球表面与月球表面之间的距离s ，则下列方法中正确的是（
）
A 按光的传播规律s ＝ct /2
B 按圆周运动线速度、周期关系v ＝2π（s ＋R ＋r ）
T 计算
C 按重力作为圆周运动的向心力mg ＝m v 2
s ＋R ＋r 计算
D 按重力作为圆周运动的向心力及线速度、周期关系 mg ’＝m 4π2
T
2 （s ＋R ＋r ）计算
8.为了训练宇航员适应失重,需要创造失重环境.在地球表面附近,可以利用飞行器来创造短时间的完全失重环境,在俄罗斯宇航中心一种飞机可以创造出长达数分钟的完全失重环境,这类飞机通常通过在空中做某种飞行动作来创造完全失重环境,飞机速率达到V 1时开始进入完全失重的实验状态,为安全考虑,要求速率达到V 2(V 2>V 1)时退出实验.则为了使失重训练的有效时间最长, 飞机在空中的飞行动作应是: （ ）
A.在水平面内做变速圆周运动, 速率由V 1增加到V 2时退出实验状态
B.在竖直面内沿圆弧俯冲, 速率由V 1增加到V 2时退出实验状态
C.以V 1的初速度做竖直上抛运动,当它竖直下落速率增加到V 2时退出实验状态
D.以V 1的初速度沿某一方向做斜抛或平抛运动,当速率达到V 2时退出实验状态
9..2013年12月6日4时18分,“嫦娥三号”卫星开始了探月之旅.通过适时的变轨,使“嫦娥三号”先后经历16h 轨道、24h 轨道和48h 轨道，于12月7日将“嫦娥三号”加速至10。

58km/s 后进入地月转移轨道，12月8日在“嫦
娥三号”奔向月球的过程中，对卫星飞行航向实施了一次必要的修正，12
月10日，对“嫦娥三号”卫星第一次实施成功的减速，使它成为真正的绕月卫星。

之后又经过适时的减速，经过3.5h 轨道过渡到周期约2h 的椭圆轨道上，最后寻
机实施软着陆。

“嫦娥三号”奔向月球整个过程的轨道变化情况是示意图如图所示，对于“嫦娥三号”
卫星的运动过程，下列说法中正确
的是：（ ） A ．“嫦娥三号”卫星每次运动到饶地轨道近地点和绕月轨道近月点时都需要加速 B ．“嫦娥三号”卫星在绕地运行的轨道上进行最后一次加速后进入地月转移轨道，并在地月转移轨道途中对卫星飞行航向实施了必要的修正 C ．“嫦娥三号”卫星在绕地轨道远地点时一定进行过变轨 D ．“嫦娥三号”卫星在月球附近至少需要经历三次减速，才能使嫦娥三号”卫星实施软着陆。

10：地球绕太阳做椭圆运动，已知轨道半长轴为a ，半短轴为b ，焦距为c ，太阳的质量为M ，地球的质量为m .地球在椭圆轨道各顶点处的速度大小及各顶点处的曲率半径正确的是，( ) A. v 1
B. v 2
C. ρ2=3b a
D. ρ3=2
a b
二．填空（4x4=16分）
11. 飞船沿半径为R 的圆周绕地球运转，周期为T ，如图所示.如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A 处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B 点相切.已知地球半径为r ，则飞船由A 点运动到B 点所需的时间t=______.
12、有一个行星的一昼夜时间为T 。

在该行星上用弹簧称测一个物体的重力，发现在行星赤道上的示数比在两极小10%。

求行星的平均密度是 ？
圆为2h 轨 进入月球轨进入奔月
地月转移轨
2
图3 13.质量为m 的薄圆筒，置于水平地面上，如图3所示，开始时，圆环只有平动速度v 0在地面上滑动，由于摩擦经过一段时间以后，圆环在地面上变为与地面相对静止的无滑滚动。

求圆环在这段运动过程中由于摩擦产生的热量Q= 。

14.质量为m 的行星在质量为M 的恒星引力作用下，沿半径为r 的圆周轨道运行。

要使该行星运行的轨道半径增大1%，外界要做多少功 ？（行星在引力场中的势能为E P = -GMm/r ，其中G 为引力常数）
三，计算题：（8+8+14+14=44分）
15：试证明：一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零。

16、质量为m 的人造地球卫星，在圆轨道上运行，运行中受到大小恒为f 的微弱阻力作用，以r 表示卫星轨道的平均半径，M 表示地球质量，求卫星在旋转一周过程中：求 （1）轨道半径的改变量∆r ； （2）卫星动能的改变量∆E k 。

17.如图9所示，宇宙飞船在绕一天体作半径为R 0的匀速圆周运动。

当飞船运行到P 点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的α倍。

因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。

飞船喷气质量可以不计。

（1）试求飞船新轨道的近火星点A 离火星中心的距离R A 和远火星点B 离火星中心的距离R B ；
（2）设飞船原来的运动速度为v 0 ,试计算新轨道的运行周期T 。

18、当质量为m 的质点距离—个质量为M 、半径为R 的质量均匀分布的致密天体中心的距离为r (r ≥R ) 时，其引力势能为P /E GMm r =-，其中11226.6710N m kg G =⨯⋅⋅－－为万有引力常量．设致密天体是中子星，其半径10km R =，质量 1.5M M =⊙（301 2.010kg M ⨯⊙＝，为太阳的质量)． 1．1Kg 的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少?
2．在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为m ，则反应中的质量亏损为0.0072 m ，问1kg 的原料通过核聚变提供的能量与第1问中所释放的引力势能之比是多少?
3．天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图预17-7所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉冲星的电磁辐射。

试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限．
图9
3
图9
郸城一高2014届清北自招物理专题训练（9）参考答案
一．选择题（每题4分，共40分）
1. C
2. BC
3. D
4. B 提示用32r k T = 2GM
g r
=求。

5. C
6. D
7. AB
8. C
9. BC 10. D 10.解析：由题意可得，地球经过3，4
两点的速率相等，设地球经过1、2、3点的速率分别为v 1，v 2，v 3.根据开普勒定律和机械能守恒定律，可得
12(a+c)v 1=12(a-c)v 2=12av 3b
a 2112mV Mm G a c -+=2212mV Mm G a c --=2312mV Mm G a
- 由以上两式可解得 v 1
v 2
，v 3
设1，2，3各点的曲率半径分别为ρ1，ρ2，ρ3，则由曲线运动知识可知
()
2
Mm
G
a c +=m
2
11
V ρ，()
2
Mm
G
a c -=m 2
22V ρ， 2Mm G a ·b
a =m 233V ρ
由以上三式解得ρ1=ρ2=2
b a ，ρ3=2
a
b
二．填空（4x4=16分）
11. 解析:3
2
22R r T
t R +⎛⎫= ⎪
⎝⎭
(提示:运用开普勒第一定律) 12. 2
30GT π
ρ= 解析：设物体质量为m 、行行表面附近的重力加速度为
g 、平均密度为ρ。

因为在赤道比在两极的示数少10℅，即物体做圆周运动所需的向心力为n 0.1F mg =。

根据牛顿第二定律和万有引力定律，有
220.1()mg m r T π= 2
240.1
r g T π= 3
2244
33r M
g G G G r r r πρπρ===所以，行星的平均密度为2
30GT π
ρ=
13. 解：主要应用角动量守恒
2
02v
mRv mRv mR mRv R
=+= 所以0
2
v v =
22222
0011()24
v Q m v v R mv R ⎡⎤=
--=⎢⎥⎣⎦ 14.解：万有引力提供向心力22
GMm v m r r = 得到2122GMm
mv r
= 22P K GMm GMm GMm
E E E r r r
=+=-+=-
()2()2GMm GMm
W r r r
=-
--+∆
2
2()2200GMm r GMm GMm
r r r r r r
⎡⎤∆=
≈∆=⎢⎥+∆⎣⎦ 或
202GMm
r
三．计算题（8+8+14+14=44分）
15.解析：如图1，设想在一均匀球壳内的任一点A 处置一质量为m 的质点，在球面上取任一极小的面元△s 1，以r 1表示△s 1与A 点的距离，且设此均匀球面每单位面积的质量为σ，则面元△s 1的质量△m 1=σ△S 1，它对A 处质点的吸引力为 △F 1=
121Gm m r ∆=1
2
1
G m S r σ∆…① 又设想将△S 1边界上各点与A 点的连线延长分别与△S 1对面的球壳相交而围
成面元△S 2，设A 与△S 2的距离为r 2，由于△S 1和△S 2都很小，可以把它们看成是一个平面图形，显然可以想像到它们是相似图形，因而其面积与边长的平方成比例，而其边长又与该处到A 点的距离成比例，故有
2
11222
=S r S r ∆∆ ……② 则面元△S 2对A 处质点的吸引力为 △F 2=
222Gm m r ∆=2
2
2
G m S r σ∆。

……③ 由①②③式可得△ F 2=△F 1。

注意到△S 2与△S 1对A 处质点的吸引力方向相反，即△F 2与△F 1的方向相反，则其合力为零。

显然，整个球面可以分成无数对像△S 1和△S 2这样的小面元，而每对小面元对A 处质点的吸引力的合力都是零，则整个球壳对A 处质点的吸引力也是零，即一均匀球壳对其内任一点处质点的吸引力都是零。

16.解析：因卫星沿圆形轨道运动，则：2
2Mm v G m r r
=
则：2122k GMm
E mv r =
=
则卫星的机械能为 22GMm GMm GMm
E r r r
=-=-
（1） 卫星旋转一周轨道半径该变量为r ∆，则对应机械能的改变量为
11
()2()22GMm GMm GMm E r r r r r r
∆=-
+=--∆+∆
211()r r
r r r r r r r
∆∆-=≈+∆+∆ 2
2GMm
E r r
∆=
∆ 根据功能原理：W E =∆即：2
22GMm
f r r
π-=∆，34r f r GMm π∆=- 负号表示轨道半径的减小。

（2） 卫星动能的该变量为：
2
3
211()2()2224()22K GMm GMm GMm GMm
E r r r r r r r r
GMm r f
rf r GMm
ππ∆=-=-≈∆+∆+∆=
⨯-=
17解：由P 到A 再到B 角动量守恒，机械能守恒
00m m m A A B B v R v R v R ==
即：00A A B B v R v R v R ==
00222
2201m 1m 1m m()-m -m -222A B A B
M M M v v G v G v G
R R R α+== 又有：2
200
m v Mm G R R =
联立以上各式解得01A R R α=
+ 01B R
R α
=- 有开普勒周期定律得 3
320
220()A B R R R T T += 00
2R T v π= 解得：32
02
021()1R T v πα=-
4
18、参考解答
1. 根据能量守恒定律，质量为m 的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能1E ∆应等于对应始末位置的引力势能的改变，
故有10GMm E GM R m m R
⎛⎫-- ⎪∆⎝⎭== （1） 代入有关数据得 1611
2.010J kg E m
∆≈⨯⋅－ （2）
2. 在氢核聚变反应中，每千克质量的核反应原料提供的能量为
22
0.0072E c m
∆= （3）
所求能量比为
21/1
/31
E m E m ∆≈∆ （4）
3．根据题意，可知接收到的两个脉冲之间的时间间隔即为中子星的自转周期，中子星做高速自转时，位于赤道处质量为M ∆的中子星质元所需的向心力不能超过对应的万有引力，否则将会因不能保持匀速圆周运动而使中子星破裂，因此有 2GM m
m R R
ω∆∆≤ （5） 式中 2π
ωτ
=
（6）
ω为中子星的自转角速度，τ为中子星的自转周期．由（5）、（6）式
得到
2τ≥ （7）
代入数据得 44.4
10s τ≥⨯－ （8） 故时间间隔的下限为44.410s ⨯－。