江苏省泰州市姜堰区2016届高三下学期期初考试数学试题(含附加题)

姜堰区2015-2016学年第二学期期初联考
高三数学
(考试时间：120分钟 总分：160分)
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答
题线上．）
1．设U=R,A={x|x<1} 则C U A= . 2．计算i+i 3= （i 为虚数单位）．
3．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁 的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工 中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人。

4．如图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.
5．若以连续掷两次骰子得到的点数m,n 分别作为点P 的横、纵坐标，则 点P 在直线x+y=4上的概率为 ．
6．函数f(x)=2sinx+3cosx 的极大值为 .
7．抛物线y 2=4x 上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点F 的距离相等，则该定点F 的坐标为 ．
8．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，满足2n=
，则数列{a n }的公差d= ．
9．函数 f(x)=e x 可以表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数h(x) 之和，则g(x) 。

10.圆C 过点A(2,0),B(4,0)，直线l 过原点O ，与圆C 交于P ，Q 两点，则OP ·OQ= 。

11．已知非零向量a b c 、
、满足x 2a +x b +c =0,x ∈R ．记△=b 2-4a c c ，下列说法正确的是 .（只填序号）
①若△=0，则x 有唯一解； ②若△>0，则x 有两解； ③若△<0，则x 无解。

12．定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+4)= f(x)，且在[0,2] 上f(x)= (1),(01
,sin ,(12x x x x x π-≤≤⎧⎨<≤⎩
则2941
(
)()
46
f f +=_______. 13．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，
设a ij (i,j ∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左 往右数第j 个数，如a 42=8,若a ij =2015，则i+j=
14．在平行四边形ABCD 中，∠BAD=60°，AB=1，P 为平行四边形内
一点，且 ，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈ ，则λ的最大值为___________．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分 14 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD 底面
ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点F. （Ⅰ）求证：PA ∥平面EBD （Ⅱ）求证：PB 平面EFD 16．（本题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=btanA ，且B 为钝角．
(Ⅰ)证明：B-A=
2
π； (Ⅱ)求sinA+sinC 的取值范围． 17．（本题满分14分）已知数列{a n }为等差数列，首项a 1=5,公差d= -1，数列{b n }为等 比数列，b 2=1，公比为q （q>0），c n =a n b n ，S n 为{c n }的前n 项和，记S n =c 1+c 2+..+c n . （Ⅰ）求b 1+b 2+b 3的最小值； （Ⅱ）求S 10；
（Ⅲ）求出使S n 取得最大的n 的值。

18．（本题满分16分）已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全
部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(Ⅰ)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；
(Ⅱ)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
19．（本题满分 16 分）在平面直角坐标系 xoy 中，离心率为
1
2
的椭圆C ：
(a>b>0)的左顶点为A ，且A 到右准线的距离为6，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点。

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)如图，当P 、O 、Q 共线时，直线PA,QA 分别与y 轴交于M,N 两点，求证：
AM AN ⋅
为定值；
（Ⅲ）设直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，当k 1·k 2= -1时，证明直线PQ 经过定点R 。

20．（本题满分16分）已知函数f(x)=lnx ，
（Ⅰ）若方程f(x+a)=x 有且只有一个实数解，求a 的值； （Ⅱ）若函数g(x)=f(x) +
12x 2 – mx ( m ≥5
2
)的极值点 x 1,x 2(x 1<x 2)恰好是函数 h(x)=f(x)-cx 2-bx 的零点，求的y=( x 1 - x 2)h ’(12
2
x x +)最小值。

数学试题(附加题)
(考试时间：30分钟 满分：40分) 21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分． A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）
21．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED. (1)证明：CD ∥AB;
(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．
B ．（本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵
．
（1）求A 的逆矩阵A -1；
（2）求矩阵A 的特征值1λ、2λ 和对应的一个特征向量12a a 、．
C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 在直角坐标系xoy 内，直线l 的参数方程（ t 为参数），以OX 为极轴建立极坐
标系，圆C 的极坐标方程为)4
π
ρθ=+
．
（１）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（２）确定直线l和圆C的位置关系．
D．（本小题满分10分，不等式选讲）
设x，y，z∈R+，求证：
222
222
x y z
x y z y z z x x y
++≥++ +++
［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.(本小题满分10分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，
PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点.
（Ⅰ）证明：PE AF；
（Ⅱ）若，求直线AP与平面PDE所成角的大小.
23.(本小题满分10分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且
|QF|=5
4
|PQ|.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l’与C相较于M，N两点，且 A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
2015~2016第二学期期初高三数学参考答案及评分标准
1．{}
|1x x ≥ 2．0 3．10 4．25 5．
112
6
7．（1,0） 8．8 9．
1()2
x x e e -- 10．8 11．③ 12．
516
13．110
14．1.【解析】试题分析：因为),(R AD AB AP ∈+=→
→
→
μλμλ，所以2
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=→→→AD AB AP μλ，即
→→→→⋅++=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛AD AB AD AB λμμλ22322
222
，又因为1AB =
，AD =，060BAD ∠=，所以 2
360cos 0=
=⋅→
→→→AD AB AD AB
，所以223
34λμ=+≥=，所以
2331()1444λ=
≤+=
，所以λ的最大值为1，当且仅当1
2
λ=
，μ=. 15. 解：连接BE ，BD ，AC ，设AC 交BD 于G ，
则G 为AC 的中点 在PAC ∆中，E 为PC 的中点，
则PA ∥EG ，⊂EG 面BED ，⊄PA 面BED (条件少写一个扣2分)
所以PA ∥平面EBD ..................................... 7分 （2） PD ⊥面ABCD ∴PD ⊥BC BC ⊥CD
D CD PD = （此条件不写扣2分） PD,CD ⊂面PCD ∴ BC ⊥面PCD ⊂D
E 面PCD
∴ BC ⊥DE
PD=CD ，E 为PC 中点， ∴DE ⊥PC
∴ DE ⊥面PBC ∴DE ⊥PB ，又因为PB ⊥EF
∴⊥PB 平面EFD ......................................1 4分
16．解析：（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a A
A b B
==，∴sin cos B A =， 即sin sin(
)2
B A π
=+，............... 4分
又B 为钝角，因此(,)22
A π
π
π+∈，(不写范围的扣1分) 故2
B A π
=
+，即2
B A π
-=
；............ 6分
（2）由（1）知，()C A B π=-+
(2)202
2
A A ππ
π-+=->，∴(0,)4
A π∈，................ 8分
于是sin sin sin sin(
2)2
A C A A π
+=+-
2219
sin cos 22sin sin 12(sin )48
A A A A A =+=-++=--+，............10分
∵04
A π
<<
，∴0s i n A <<
，2199
2(sin )488
A <--+≤，由此可知sin sin A C +
的取值范围是9
(]28
．............................14分
17．（1）123b b b ++1
1213,(0)q q q -=++≥+=>所有最小值为3。

.............4分 （2）由题意知：26,n n n a n b q -=-+=........................................6分
2(6)n n c n q -=-+，
128105432...(4)S q q q q -=+++++- 239105432...(4)qS q q q q =+++++- 128910(1)5(1...)4q S q q q q q -∴-=-+++++
当1q =时，105S =............................................8分
当1q ≠时，10(1)q S -91
9(1)
541q q q q
--=-+-
99
102
5(1)4(1)(1)(1)
q q S q q q q -=-+---...................................................10分 （3）令2(6)0n n c n q -=-+≥
解得：6n ≤，所以n 取5或6时，n S 最大。

(少写一个结果扣2分)........................ 14分
18．【解析】(1)当0<x≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2
＋384x －40；........ 2分 当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－
40000
x
－16x ＋7360............4分 所以，W ＝26384400404000016736040.x x x x x x ⎧<≤⎪
⎨>⎪⎩
－＋－，，－－＋，....................................6分
(2)①当0<x≤40，W ＝－6(x －32)2
＋6104，
所以W max ＝W(32)＝6104；.............10分 ②当x>40时，W ＝－
40000
x
－16x ＋7360， 由于
40000
x
1600， 当且仅当
40000
x
＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5760...........14分 综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6104..................16分
19(1) 22
:143
x y C += ............................4分 (2) 设00(,),P x y 则00(,)Q x y --，又(2,0)A -，所以直线AP 的方程为0
0(2)2
y y x x =
++，得002(0,)2
y M x +，所以0
02(2,)2y AM x =+ ，........................6分
同理可得000022(0,),(2,)22y y N AN x x --=-+-+ ，所以2
02
0444
y AM AN x =+- ，...........8分 又点P 在椭圆C 上，所有，故
2200143
x y +=，22004
4,3x y -=-
所以2
020444
y AM AN x =+- =1（定值）；..............................10分
（3）设11(,),P x y 22(,)Q x y ，将直线AP 的方程1(2)y k x =+与椭圆方程联立方程组得：2222111(34)1616120
k x k x k +++-=........................ 21121162,34k x k -∴-+=+ 211
1122
11
6812,,3434k k x y k k -==++......................
211
22
116812(,),3434k k P k k -∴++
121k k =- ，211
22116812(,),3434
k k Q k k --∴++......................12分
当2
1
1k =时，2121682
347
k k -=-
+点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为27x =-， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为2
7
-。

..........14分 当211k ≠时，11
22111222111221112123434768684(1)
3434
PQ
k k k k k k k k k k k --
++==----
++， 直线PQ 的方程为2
111222
111
12768()344(1)34k k k y x k k k --=-+-+， 令27x =-得：2
111222
111
768122()4(1)73434k k k y k k k -=--+-++=0 所以直线PQ 过定点R 2
(,0)7
-。

..................................16分 20（1）由题意知：函数()ln()y f x a x a =+=+与y x =相切，设切点00(,),P x y
1
,y x a
'=
+ ...................2分 01
1x a
∴
=+ 又有00ln()x x a =+
∴00,x =................4分
所以1a =...................6分
（2）21
'()x mx g x x
-+=
由题意知：2
10x mx -+=的两个根为1212,()x x x x <
1212,1x x m x x ∴+==................8分
又因为12,x x 是函数2()()h x f x cx bx =--的零点
2111ln 0x cx bx ∴--=，2222ln 0x cx bx --=
两式相减得：
12
1212
ln
()x x b c x x x x =-+-......................10分
1212()(
)2x x y x x h +'=-121212
2
()[()]x x c x x b x x =--+-+ 1
2121212
ln
2
()[]x x x x x x x x =--+-
1211222()ln x x x
x x x -=
-+
1
2112
2
2(1)ln 1x x x
x x x -=
-+，.....................12分
令
1
2
,(01)x t t x =<< 由1212,1x x m x x +== 得2
12,t m t
++=又52
m ≥，得1(0,]4t ∈，
设函数2(1)
()ln 1
t G t t t -=
-+
2
2
(1)'()0(1)t G t t t --=<+................................14分
所以()G x 在1(0,]4t ∈上单调递减，所有min 16
()()2ln 245
G x G ==-+。

............16分 21．A 【解析】
(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD.
因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA. 故∠ECD ＝∠EBA. 所以CD ∥AB.
(2)由(1)知，AE ＝BE.因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC. 连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE ＝∠GBE. 又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠FAB ＝∠GBA. 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆． 21．B 试题解析：（1）
2分
分 （2）矩阵A 的特征多项式为1
()1
f λλ-=
2
4
λ--256=-+λλ，
令()0f =λ，得122,3λλ==, 8分
当12=λ时，得121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ α,当23=λ时，得211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
α. 10分
21．C 解：（１）由⎩
⎨
⎧+=+=t y t x 4122，消去参数t ，得直线l 的普通方程为32-=x y ，
由
⎪
⎭⎫
⎝
⎛
+
=4sin 22πθρ，即()()θρθρρθθρcos sin 2cos sin 22+=⇒+=，
消去参数θ，得直角坐标方程为()()2112
2=-+-y x ．.............5分 （２）由（１）得圆心()1,1C ，半径2=r ，
∴ C 到l 的距离r d =<=+--=25521231222，
所以，直线l 与圆C 相交．....................... 10分
21D 略
22．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．
设2==AB AP ，a BE =
则），，（000A ，），，（），，，（），，，（110200020F P B ，），，（02a E
于是，)2,2,(-=a ，)1,1,0(=， 则0=⋅AF PE ，
所以AF PE ⊥．………………5分
（Ⅱ）若AB BE BC 322==，则)0,0,34(D ，),2,0,34(-=PD )2,2,32(-=PE ， 设平面PDE 的法向量为),,(z y x =， 由 ⎝
⎛=⋅=⋅00，得：⎩⎨⎧=-+=-022320234z y x z x ，令1=x ，则3,32==y z ， 于是)32,3,1(=，而)2,0,0(=
设AP 与平面PDE 所成角为θ，所以2
3||||sin ==AP n θ， 所以AP 与平面PDE 所成角θ为
60． ...............10分 23．试题解析：
（1）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p =\==+=+．由题设得85824p p p
+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；.......3分 （2）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=
124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m
=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m +-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m
+=-=-+．故MN 的
中点为(22342
2412223,,m E m MN y m m m +骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12
AE BE MN ==，从而22211,44
AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-= ．............................10分。