直线与圆锥曲线的位置关系的研究——《动直线过定点问题》教学设计

直线与圆锥曲线的位置关系的研究——
《动直线过定点问题》教学设计教学内容分析
本节课是《直线与圆锥曲线的位置关系的研究》下的一节专题课-----《动直线过定点问题》.动直线中的定点问题，是高考重点考查的内容之一，综合性较强.动直线过定点问题与运动变化密切相关，这类问题充分考查学生的方程思想、函数思想、转化与化归思想等数学思想的熟练运用能力，有利于促进学生逻辑推理、数学运算、直观抽象等核心素养的提升.其难点在于解题思路的获取，以及解题方法的选择、数学工具的运用等.
根据以上分析，本节课的教学重点确定为:动直线过定点问题解题策略的总结.
学生学情分析
本节课的授课对象为高二学生，学生已经初步掌握了运用“坐标法”，“设而不求”等基本方法来研究直线与圆锥曲线位置关系，并具有一定的自主探究与合作学习的能力. 但对过定点这类问题在解题之前不知道定点是什么，并且缺乏解决这类问题的明确“主线”，因而对于学生来说有一定的难度.
根据以上分析，本节课的教学难点确定为:获取定点的方法
教学目标设置
1. 通过学生合作探究例题过程中，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法在处理动直线过定点问题中的应用，并掌握动直线过定点的分析方法和解题策略；
2. 通过GeoGebra数学软件的动画演示，帮助学生自我建构圆锥曲线的知识
体系，并让学生感受数学中的“动态美”，培养学生直观抽象等数学核心素养.
3. 通过开放设问，引导学生将题目条件的引申得到了圆锥曲线的优美性质，并培养学生创造性思维和发散性思维能力，体会类比等数学思想的应用；
教学策略分析
根据学生已有的学习基础和认知结构，本节课采用启发探究的教学方式，采
用问题串引导学生的探究活动，以此提高学生的学习效率与学习能力.
1. 为了充分调动学生学习的积极性，在上课一开始通过动图展示引入本节
课的主要研究对象——动直线过定点问题，同时，为后续内容设下伏笔，做到前
后呼应；
2. 在解题方法探究过程中，教师问题链的设置，引导学生合作探究、小组
交流，提高学生直观抽象、逻辑思维等能力；
3. 在类比推广，建构知识中，请学生大胆猜想，锻炼学生发现问题的能力，培养学生的创新意识.
教学过程设计
1.
创设情境引入新课
【预设】PPT展示两个动图
【师生活动】
师：前面我们学习了直线与圆锥曲线的位置关系，其中有一类定值定点问题.定值定点问题其实体现解析几何中运动变化的规律性和不变性.下面我们一起欣
赏两幅动图，并分析其中的规律性和不变性.
学生1：保持不变的情况下，动直线恒过定点 .
学生2：保持不变的情况下，动直线也恒过一定点.
师：这两幅图的共同特点是动直线恒过定点，这就是我们这节课要研究的问题.
【设计意图】两幅动图的直观展示，引导学生发现动直线恒过定点这一特征，不仅激发学生学习的兴趣，让学生感受数学的“动态美”，培养学生直观抽象的
核心素养，而且引出本节课的主要研究对象，同时为本节课的后续练习埋下铺垫，做到前后呼应。

1.
探究问题形成方法
环节一：师生探究形成方法一
【预设】PPT展示例题
例1(选修2-1P81第3题改编）：过抛物线的顶
点做两条互相垂直的弦，与抛物线交于两点，求
证：直线恒过定点.
【师生活动】学生自主探究，并回答；老师启发式引导
学生3：证明：（1）当m不存在时，不满足题意；
（2）当m存在时，设直线：
设
联立得，
，所以直线恒过定点 .
学生4：证明：
（1）当直线的斜率存在，设直线：设
联立得：
，，所以直线恒过定点 .
1.
当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，且
由点在抛物线上得：，即直线，也过点 .
恒过定点
综上可知：直线直线
师：我们总结一下这两种方法是如何证明动直线过定点的.动直线的的直线形式是如何设的？
学生5：或
师：得到什么结论，判断出直线过定点的？
学生6：的关系或的值.
【板书设计】
动直线过定点问题
方法：
动直线的直线形式方法
环节二：分组讨论形成方法二
【师生活动】
学生7：证明：设直线，
联立得点，同理得
师：如何判断动直线过定点？
学生分组探究，分组展示方法
方法1：整理得：
方法2：由对称性知，直线恒过定点在轴上，令得方法3：先取 ,得直线；再取，得直线
这两条直线交点为，下面证明直线过点
方案A：代入验证；
方案B：证明三点共线.
方法4：将整理成以为主变元的等式：
转化为对于任意非零常数，等式恒成立，进而转化为所有系数为零得到定点.
【板书设计】
动直线过定点问题
方法：
直线形式方法
1．
2．
两点式
【设计意图】提高学生解题能力的一个重要抓手就是培养学生对方法的概括
能力，从而达到“做一题，会一类，甚至通一片”的目的，而概括能力的提高，
一个重要的方面就是学生要对解决问题的方法有一个建构的过程，他们通过探索、反思、修改、完善甚至经历曲折和反复。

在教学过程中，不仅给学生提供方法的
交流，展示的平台，还引导学生对不同解法的提炼能力，提高学生在问题识别、方法提炼、思维萃取等方面的能力,从而培养学生的数学抽象素养.
1.
类比推广建构新知
环节一：类比推广大胆猜想
【预设】动脑想一想：改变上面例题中的某些条件，
猜想一个与直线过定点有关的数学问题.
【预设答案】
直线是否恒过定点？
猜想1：将抛物线改为
，
直线是否恒过定点？
猜想2：将点改为抛物线上任意给定的点
，
猜想3：将抛物线改为椭圆
点O改为椭圆的左顶点，直线是否
，
恒过定点？
猜想4：将垂直改为，直线是否恒过定点？
猜想5：将垂直改为，直线是否恒过定点？
【设计意图】《普通高中新课程标准（2017版2020修订版）》指出：“逻辑推理是指从一些事物和命题出发，依据规则推导其他命题的素养，主要包括两类：一类从特殊到一般推理，主要有归纳与类比；一类是一般到特殊推理，推理形式为演绎”.这个开放题的设问，引导学生应用数学思想发现问题，激发学生的学习兴趣，培养学生逻辑推理的数学核心素养.
环节二：直观验证建构新知
【预设】GeoGebra数学软件分别演示猜想3，猜想4，猜想5的结果
【预设答案】
1.
猜想3的动画截图
1.
猜想4的动画截图
1.
猜想5的动画截图
【设计意图】《普通高
中新课程标准（2017版2020
修订版）》一书中明确提出，
高中数学教学要注重信息技术与数学课程的深度融合，提高数学的实效性. 利用信息技术展示学生猜想的结果，不仅将一些抽象的数学内容通过直观演示变得直观可视，同时让学生感受数学的“动态美”，激发学生探究的热情，提升学生的直观抽象素养.
1.
灵活应用巩固方法
【预设】例2：已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别是，求证：
直线恒过定点.
【师生活动】学生自主探究，并回答；教师启发式引导
学生8：证明：（1）当m不存在时，直线不存在，不满足题意；
（2）当m存在时，设直线，
联立得：
，即
同理得，
由对称性知直线恒过定点在轴上，令，得
所以直线恒过定点
师：例1：，例2：
观察与，以及与非常相似，为什么？
学生9：过点弦中点的轨迹是，
点均在轨迹上，并且点为轨迹的
顶点，点运动过程中，，即转化为例1.
【设计意图】通过有针对性的练习训练，使学生掌握基本方法，训练基本技能；同时本题的第二种解法巧妙得与例1联系在一起，使深刻体会到知识间相互联系与转化；在学生动脑思考中领略数学思想方法，发展数学能力，培养学生数学逻辑推理核心素养.
1.
课堂小结加深理解
【预设】说一说：从知识、方法和思想等方面说一下本节课的收获
【预设答案】本节的思维导图
【师生活动】学生口答
【设计意图】引导学生按照自己的理解画本节的思维导图，将本节的内容和方法系统化，完善学生的知识网络,培养学生数学逻辑推理的核心素养.
1.
深化练习分层作业
书面作业：课本P81页第3题；2020山东新高考卷21
探索性作业：上网搜索----张忠旺《圆锥曲线对定点张直角弦的包络问题研究》
【设计意图】巩固所学的知识和方法，同时因材施教，引导学有余力的同学拓展自己的知识面，这样让不同层次的学生均有收获，增加学生的数学素养.
第9页。