2020版高考理数：专题(8)立体几何ppt课件四
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 核心方法 重点突破 方法1 证明线面垂直
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
如图，四边形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD， E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD.
【证明】(反证法)假设BE⊥平面SCD.
∵CD
SCD，∴BE⊥CD.
∵AB∥CD，∴AB⊥BE.
专题八 立体几何
1 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 2 考点二 空间点、三 直线、平面平行的判定及其性质 4 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
5 考点五 空间向量与立体几何
考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力
考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
必备知识 全面把握
1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l
与平面α互相垂直，记作l⊥α.如图，其中，直线l叫做平面α的 垂线，平面α叫做直线l的垂面，唯一的公共点P叫做垂足．
(1)定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的， 但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． (3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但当已知直线与平面垂直时， 可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直的结论，给判定两条直线垂直带 来方便．如：若a⊥α，b α，则a⊥b，简述为“线面垂直，则线线垂 直”．这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 7．平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言：
(1)该定理简述为“线面垂直，则面面垂直”． (2)判定平面与平面垂直的方法：①利用定义判断(证明)，即证明二面角的 平面角是直角；②利用平面与平面垂直的判定定理． (3)两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且 也是找出与一个平面垂直的平面的依据．
[课标全国Ⅰ2018·18]如图，四边形ABCD为正方形，E，F 分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P 的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
8．平面与平面垂直的性质定理
(1)性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言：
(2)线线、线面、面面三种垂直关 系之间的转化
(3)平行、垂直的转化
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 9．平面与平面垂直的其他性质和结论
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 4．直线与平面垂直的其他性质和结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (2)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也和 另一个平面垂直． (3)如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行 线垂直．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 6．平面与平面垂直的定义及表示
(1)定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平 面互相垂直 (2)画法及表示 在画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画 成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直，如图，平面α与平面β垂直， 记作α⊥β.
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言： (2)重要结论 如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也垂 直于这个平面．
(1)该定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”． (2)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂 直即可，不需要找到所有直线，而且这两条相交直线和已知直线是否有公共点也 是无关紧要的．在应用该定理判定一条直线和一个平面垂直时，一定要注意的是 这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面
中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 . 求证：A1C⊥平面BB1D1D.
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 方法2 证明面面垂直
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
又∵AB⊥BC，BE
SCB，BC
SCB，
BE∩BC＝B，∴AB⊥平面SCB.
又∵SB
SCB，∴AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾，
∴BE不可能垂直于平面SCD.
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
[江苏南通中学2018冲刺练习]如图，在三棱锥P－ABC中， AC⊥BC，O为AC的中点，PO⊥底面ABC，M为AB的中点． (1)求证：AC⊥平面POM； (2)设E是棱PA上的一点，若PB∥平面EOM，求 的值．
[山东济南2018教学质量检测]如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，△ABD为等边三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°. (1)证明：平面PBC⊥平面PAB； (2)若PA＝AB＝4，求四棱锥P－ ABCD的表面积．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 考法例析 成就能力
考法 直线、平面垂直的判定与性质
5．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理 文字语言：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在 这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 图形语言：如图．
(2)三垂线定理的逆定理 文字语言：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那 么它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 图形语言：如图．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 3．直线与平面垂直的性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言：如图． 符号语言：
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了一个证明两直线平行 的方法，即只需证明两条直线均与同一个平面垂直即可，简述为“线 面垂直，则线线平行”． (2)利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即让这些直线都 垂直于同一个平面．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
(2)重要结论 ①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)直线与平面垂直的画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．若 平面水平放置，则将直线画成与平行四边形的水平边垂直(如图(1))；若平面竖直 放置，则将直线画成与平行四边形的竖直边垂直(如图(2))．
考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 核心方法 重点突破 方法1 证明线面垂直
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
如图，四边形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD， E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD.
【证明】(反证法)假设BE⊥平面SCD.
∵CD
SCD，∴BE⊥CD.
∵AB∥CD，∴AB⊥BE.
专题八 立体几何
1 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 2 考点二 空间点、三 直线、平面平行的判定及其性质 4 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
5 考点五 空间向量与立体几何
考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力
考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
必备知识 全面把握
1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l
与平面α互相垂直，记作l⊥α.如图，其中，直线l叫做平面α的 垂线，平面α叫做直线l的垂面，唯一的公共点P叫做垂足．
(1)定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的， 但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． (3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但当已知直线与平面垂直时， 可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直的结论，给判定两条直线垂直带 来方便．如：若a⊥α，b α，则a⊥b，简述为“线面垂直，则线线垂 直”．这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 7．平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言：
(1)该定理简述为“线面垂直，则面面垂直”． (2)判定平面与平面垂直的方法：①利用定义判断(证明)，即证明二面角的 平面角是直角；②利用平面与平面垂直的判定定理． (3)两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且 也是找出与一个平面垂直的平面的依据．
[课标全国Ⅰ2018·18]如图，四边形ABCD为正方形，E，F 分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P 的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
8．平面与平面垂直的性质定理
(1)性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言：
(2)线线、线面、面面三种垂直关 系之间的转化
(3)平行、垂直的转化
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 9．平面与平面垂直的其他性质和结论
7
考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 4．直线与平面垂直的其他性质和结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (2)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也和 另一个平面垂直． (3)如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行 线垂直．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 6．平面与平面垂直的定义及表示
(1)定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平 面互相垂直 (2)画法及表示 在画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画 成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直，如图，平面α与平面β垂直， 记作α⊥β.
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言： (2)重要结论 如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也垂 直于这个平面．
(1)该定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”． (2)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂 直即可，不需要找到所有直线，而且这两条相交直线和已知直线是否有公共点也 是无关紧要的．在应用该定理判定一条直线和一个平面垂直时，一定要注意的是 这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面
中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 . 求证：A1C⊥平面BB1D1D.
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 方法2 证明面面垂直
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
又∵AB⊥BC，BE
SCB，BC
SCB，
BE∩BC＝B，∴AB⊥平面SCB.
又∵SB
SCB，∴AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾，
∴BE不可能垂直于平面SCD.
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
[江苏南通中学2018冲刺练习]如图，在三棱锥P－ABC中， AC⊥BC，O为AC的中点，PO⊥底面ABC，M为AB的中点． (1)求证：AC⊥平面POM； (2)设E是棱PA上的一点，若PB∥平面EOM，求 的值．
[山东济南2018教学质量检测]如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，△ABD为等边三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°. (1)证明：平面PBC⊥平面PAB； (2)若PA＝AB＝4，求四棱锥P－ ABCD的表面积．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 考法例析 成就能力
考法 直线、平面垂直的判定与性质
5．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理 文字语言：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在 这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 图形语言：如图．
(2)三垂线定理的逆定理 文字语言：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那 么它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 图形语言：如图．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 3．直线与平面垂直的性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言：如图． 符号语言：
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了一个证明两直线平行 的方法，即只需证明两条直线均与同一个平面垂直即可，简述为“线 面垂直，则线线平行”． (2)利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即让这些直线都 垂直于同一个平面．
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考点四 直线、平面垂直的判定及其性质
(2)重要结论 ①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)直线与平面垂直的画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．若 平面水平放置，则将直线画成与平行四边形的水平边垂直(如图(1))；若平面竖直 放置，则将直线画成与平行四边形的竖直边垂直(如图(2))．