2020年山东省潍坊市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)

2020年山东省潍坊市高考数学一模试卷（二）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={x|x>1}, B={x|2x>1},则（）
A. AnB={x|x>0}
B. AnB={x|x> 1}
C. AuB={x|x> 1}
D. AuB=R
2. 若复数z满足（1 + i） z=|3+4i|,则z的虚部为（）
A. 5
B. C
C. D
D. -5
3. 设% 3为两个不同平面，直线m? a,则“ a//g是" m//3'的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 已知双曲线C：---=1 （a>0, b>0）的一条渐近线方程为y=2x,则C的离心率
为（）
A. B. C. D.
5. 执行如图的程序框图，如果输出的y值为1,则输入的x的值为（）
A. 0
B. e
C. 0 或e
D. 0 或1
6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N （105,
，）（0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的二则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）□
A. 150
B. 200
C. 300
D. 400
7. 若函数f （x） =2sin （x+2 0 c cosx （0v 0V g）的图象过点（0, 2）,则（）
A.点（巾，0）是y=f （x）的一个对称中心
B.直线x=［是y=f （x）的一条对称轴
C.函数y=f （x）的最小正周期是2兀
D.函数y=f （x）的值域是［0, 2］
8. y=4cosx-e冈图象可能是（）
10 .已知不共线向量 J,京夹角为% 1门：=1，口1=2,「尸(1-。

⑷一川二丁(0&WD ,
1pd 在t=t 0处取最小值，当0V t 0《时，a 的取值范围为(
)
11 .如图所示，在著名的汉诺塔问题中， 有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不
相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有
n 个圆
盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则 如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小 的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动， 若将n 个
圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为
p (n),则p (4)=(
)
A. 33
B. 31
C. 17
D. 15
12 .定义：区间[a, b], (a, b], (a, b) , [a, b)的长度均为ba,若不等式工+白油
(mw 。

的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和 为1,则()
A.当 m>0 时，l = . '
B.当 m>0 时，l g
14 .在笠比数歹U ｛a n ｝中，a 1=1, a 5=8a 2, Si 为｛a n ｝的前 n 项和.右 S n =1023,贝U n=
A. f (sin > >f (sin £ C. f ( cos 夕 > f (cos §
B. f ( sin ' > f (cos 6 D. f ( cos q >f ( sin %
A. (0, 1)
B. C. D. (「城
C.当mv0时,
揭二 + 2in
l=一
JJl
D.当m< 0时，l =而
二、填空题(本大题共
4小题，共 20.0 分)
13.若x, y 满足约束条件
>-<oo
>-yAl >_
-y+xy it H
则z=x-2y 的最大值是
9.已知偶函数y=f (x),当xC (-1, 0)时，f (x) =2-x ,若a, 3为锐角三角形的两 个内角，则( )
15 .已知抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F,准线为1,过F 的直线与抛物线及其准线
1依次相交于 G 、M 、N 三点(其中 M 在G 、N 之间且G 在第一象PM),若|GF|=4, |MN|二2|MF|,则 p=.
16 .如图，矩形 ABCD 中，M 为BC 的中点，将 AABM 沿直线 AM
翻折成 那B i M,连结B i D, N 为B i D 的中点，则在翻折 过程中，下列说法中所有正确的序号是 . ①存在某个位置使得 CN 必B i ； ②翻折过程中，CN 的长是定值； ③若 AB=BM,贝U AMIB i D;
④若AB=BM=1,当三棱锥B i -AMD 的体积最大时，三棱锥 面积是4兀.
三、解答题(本大题共 7小题，共82.0分)
17 . 9BC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a, b, c,点D 为
AC 的中点，已知 2sin 2f -、RsinC=I, a=\4，b=4. (I)求角C 的大小和BD 的长；
(2)设ZACB 的角平分线交 BD 于E,求ACED 的面积.
18 .如图，三棱柱 ABC-A i B i C i 中，CA=CB, ZBAA i =45°,平 面 AA i C i C,
平面 AA i B i B. (I)求证：AAilBC ；
(2)若BB i =jAB=2,直线BC 与平面ABB i A i 所成角为 45°, D 为CC i 的中点，求二面角 B i -A i D-C i 的余弦值.
如图，点T 为圆O ： x 2+y 2=i 上一动点，过点T 分别作 轴，
y 轴的垂线，垂足分别为 A, B,连接BA 延长至点 (I)求曲线C 的方程；
(2)若点A, B 分别位于x 轴与y 轴的正半轴上，直线 AB 与曲线C 相交于M, N 两点，|AB|二i,试问在曲线
上是否存在点Q,使得四边形OMQN 为平行四边形，若存在，求出直线 l 方程；若
使得点P 的轨迹记为曲线 C.
D1日
I9. B i -AMD 的外接球的表
不存在，说明理由.
某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该
水果每株的产量y （单位：kg ）和与它“相近”的株数 x 具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直 线距离不超过lm ）,并分别记录了相近株数为 0, 1,
2, 3, 4时每株产量的相关数据如下： （mCN*）,计划收获后能全部售出，价格为 10元/kg,
如果收入（收入=产量x 价
格）不低于25000元，则m 的最大值是多少？
（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种 了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为 1m,已 知该梯形地块周边无其他树木影响， 若从所种的该水果中随机选取一株， 试根据（1）
中的回归方程预测它的产量的分布列与数学期望.
附：回归方程产=口+5x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
工：=
4”「工》①- I- ==~^
^7~= = =y -bx
21 .已知函数 f (x) =xlnx- ax-x (aeR).
(1)求函数f (x)的极值； (2)设函数
g (x) =e mx +x 2-mx (x>0,
mCR),若存在
x 1 次2,使 f
(x 1)=f (x 2),
证明：g (x ［？x2)< g (e 2a).
I x = COSU
22 .在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C ： \y=M- sina （"为参数），在以坐标原 点。

为极
点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中， 直线l 的极坐标方程为
cos
（J + ： J =-2 .
20. x 0
1
2
3
4 y 1
5 12 11 9
8
（1）求出该种水果每株的产量 y 关于它“相近”株数 x 的回归方程;
（2）有一种植户准备种植该种水果 500株且每株与它“相近”的株数都为 m
（1）求曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程；
（2）求曲线C与直线1交点的极坐标（p >,0 0W *2兀）
23 .已知函数f (x) =|x-1卜2|x+1|的最大值为2
(1)求实数t的值；
(2)若g (x) =f (x) +2|x+1|,设m>0, n>0,且满足2_ + ：=t,求证：g (m+2) wi
+g (2n) >2.
----- 答案与解析-----
1 .答案：B
解析：解：B={x|x>0}, A={x|x>1}； . AnB={x|x>1} , AUB={x|x>0}. 故选：B.
可解出集合B,然后进行交集、并集的运算即可.
考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算.
2 .答案：C
解析：解：由（1 + i ） z=|3+4i|哂+ 4° 二 5 ,
z 的虚部为-；.
故选：C.
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.
3 .答案：A 解析：解：根据题意，由于“，3表示两个不同的平面，l 为“内的一条直线，由于
“ a 吟, 则根据面面平行的性质定理可知， 则必然“中任何一条直线平行于另一个平面， 条件
可 以推出结论，反之不成立， • " ”作是"1 的充分不必要条件.
故选：A.
利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 主要是考查了空间中面面平行的性质定理的运用，属于基础题.
4 .答案：C 解析：解：..双曲线的渐近线方程为 y=4，一条渐近线的方程为 y=2x, .7=2,设
b=t, a=2t
.・离心率 e=^=y. 故选：C.
先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得 a 和b 的关系，进
而求得a 和c 的关系，则离心率可得.
本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的 a, b 和c
基本关系.
5 .答案：C
解析：解：程序对应的函数为 y=：?："工 ；*；；, 若xvo,由y=1得e x =l ,得x=0,满足条件.
若 x>0,由 y=2-lnx=1,得 lnx=1 ,即 x=e,满足条件. 综上x=0或e, 故选：C.
根据程序框图，转化为条件函数进行计算即可.
本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键.
6 .答案：C 解析：解：.P (XW90 =P (X>120 =0.2, . P (90 交W 120 =1-0.4=0.6 , . P (90 交w 105
得z=
1 +1-(1 + n (i-a
='p (90 玄w 120 =0.3,
.•此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000 )0.3=300.
故选：C.
由已知求出P (XW9Q =P (X>120 =0.2,进一步求出P (90<X<105 =P (90<X<120
=0.3,则答案可求.
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
7 .答案：D
解：由函数 f (x) =2sin (x+2 0) ?cosx (0v k .)的图象过点(0, 2),
解析:
JJ 1|
可得2sin2 0 = 2 即sin2 0 =1 .-2 0 = , .-.9=,
故 f (x) =2sin (x+2 0) ? cosx=2cos2x=cos2x+1,
当x=：时，f (x) =1,故A、B都不正确；
f (x)的最小正周期为」=兀，故C不正确；
显然，f (x) =cosx+1 €[0, 2],故 D 正确，
故选：D.
根据函数f (x)的图象过点(0, 2),求出0,可得f (x) =cos2x+1,再利用余弦函数的图象和性质，得出结论.
本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题.
8 .答案：D 解析：解：显然y=4cosx-e凶是偶函数，图象关于y轴对称，
当x>0 时，y' =-4sinx-ex=-(4sinx+e x),
显然当xC (0,兀时，y' v 0,
当xC ( g +°°)时，ex>e%>e3>4,而4sinx>4,
:y' =- (4sinx+ex) < 0,
7 =- (4sinx+e x) < 0在(0, +°°)上恒成立，
. y=4cosx-e|x|在(0, +°°)上单调递减.
故选：D.
判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在( 0, +00)上的单调性即可得出结论.
般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题.
解析：解：根据题意，当xe (-1, 0)时，f (x) =2-x =小x ,则f (x)在(-1, 0)上 为减函数，
又由f (x)为偶函数，则f (x)在(0, 1)上为增函数，
若% 3为锐角三角形的两个内角，则 “ +快90°,则90-3,则有sin a sin (90°-3) =cos § 则有 f ( sin @ > f (cos 3 , 故选：B.
根据题意，由函数的解析式可得
f (x)在(0, 1)上为减函数，结合函数的奇偶性可得
f (x)在(0, 1)上为增函数，又由 a, 3为锐角三角形的两个内角分析可得 sin Asin (90。

-3) =cos 3,结合函数的单调性分析可得答案. 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用， 涉及三角函数的诱导公式的运用，
属于基
础题.
10 .答案：C
解析：解：由题意有：不共线向量 e 1夹角为电|；/=1，1浦/=2,
由门/=(1-t )OA , O(?=t dB (°qwi)， 得: .=0Q =t =l OB~(1-t )CM ，
[ T ]
I "t I
I T
所以 I PQ |2= (t U- (1-t)，储)2= (5+4cos » t 2-2 (1+2cos © t+1 , 由二次函数图象的性质有：当 t=t 0=聋片时，卜Q |取最小值，
即 0<5 + 4cfl^<55 解得-'< cos k0, 又9€[0,兀] 即族(A 与)， 故选：C.
由平面向量的线性运算得： 得：尸◎二颂1"=卜日-(1-0 口内，由向量模的运算得：%|2=(配 (1-t)2= (5+4cos 9 t 2-2 (1+2cos t+1 ,
由二次函数图象的性质可得：当 t=t 0
#a 酢时,卜Q |取最小值，再求向量夹角的取值范
围即可.
本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围，属中档题.
11 .答案：D
解析：解：设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为 p (n),则
把起始柱上的(除最底下的)圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为
p
本题考查了函数图象的判断, 9.答案：B
(n-1),
则有P (n) =2P (n-1) +1,
则有P (n) +1=2[P (n-1) +1],又P (1) =1,
即回是以P (1) +1=2为首项，2为公比的等比数列，
由等比数列通项公式可得：P (n) +1=2n,所以P (n) =2n-1,
即P (4) =24-1=15, 故选：D.
由简单的合情推理得：W 是以P (1) +1=2为首项，2为公比的等比数列，由等比数
列通项公式可得：P (n) +1=2n,所以P (n) =2n-1,得解.
本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题.
12 .答案：B 解析：【分析】当m>0 时，月+^L>? "一£十弋"：加令f (x) =mx2-(3+3m) x+2m+4=0 的两根为X1, X2,且X1V X2,根据韦达定理以及 f ( 1) , f (2)的符号，判断X1 , X2与1 和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得.
本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题.
【解答】解：当…时，..哥亭0?鼻短产” 令 f (X) =mX2- (3+3m) X+2m+4=0 的两根为X1, X2,且XKX2,
X1+X2=
f (1) =m-3-3m+2m+4=1 >0, f (2) =4m-6-6m+2m+4=-2 v 0, - 1 <X1< 2< X2,
所以不等式的解集为(1, X1]U (2, X2],
. l=X1-1+x2-2=X1+x2-3=3+ ：-3=” ,
故选：B.
13 .答案：3 解析：【分析】
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x-2y中，z的几何意义，通过直线平移
即可得到z的最大值.
【解答】
解：(1)作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x-2y,得y=%一［
平移直线y=1x-1,当直线y/x-g经过点A (3, 0)
时，直线的截距最小，此时z最大，
此时z的最大值为z=3-2 X0=3.
故答案为：3.
第11页，共16
14 .答案：10 解析：【分析】
本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列前 n 项和的形式，属于
基础题.
根据题意，由等比数列的通项公式， 分析可得q 4=8>q,解可得q 的值，结合等比数列的 前n 项和公式可得 &=1==2n -1=1023,解可得n 的值，即可得答案.
2 — 1
解：根据题意，等比数列 {a n }中，a 1=1, a 5=8a 2, 则有q 4=8xq,解可得q=2, 若 S n =1023,则有;；=2n -1=1023, 解可得：n=1。

； 故答案为：10.
15 .答案：2 解析：解：如图，过 M 作MH!l=H,
由 |MN|=2|MF|,得 |MN|=2|MH|, • MN 所在直线斜率为平,
MN 所在直线方程为y=.、耳（x-二），
（y =同刍
联立! r =
，得 12x 2-20px+3P 2=0.
3
斛得：）
则 |GF|=） + ；=务 即 p=2. 故答案为：2.
由已知|MN|二2|MF|可得MN 所在直线当斜率，写出 立，求得G 的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题.
16 .答案：②④
解析：解：对于①：如图1,取AD 中点E,连接EC 交MD 与F,则NE/AB I , NF/MB 1, 如果CN±AB I ,可得到EN1NF,又EN1CN,且三线NE, NF , NC 共面共点，不可能， 故①错.
对于②：如图1,可得由ZNEC=ZMAB I （定值），NE = AB I （定值），AM=EC （定值），
MN 所在直线方程，与抛物线方程联
P.
由余弦定理可得NC2=NE2+EC2-2NE?EC?cos/NEC,所以NC是定值，故②正确.
对于③：如图2,取AM中点O,连接B i O, DO,易得AM" ODB i,即可得OD !AM , 从而AD=MD,显然不成立，可得③不正确.
对于④：当平面B i AM 1平面AMD时，三棱锥B i-AMD的体积最大，易得AD中点H就
是三棱锥B i-AMD的外接球的球心，球半径为1,表面积是4工故④正确.
故答案为：②④.
对于①，取AD中点E,连接EC交MD与F,可得到EN1NF,又ENXCN,且三线NE, NF, NC共面共点，不可能，
对于②，可得由ZNEC=ZMAB i （定值），NE^AB i （定值），AM = EC （定值），由余
弦定理可得NC是定值.
对于③，取AM中点O,连接B i O, DO,易得AM刀ODB i,即可得ODUM,从而
AD = MD,显然不成立.
对于④：当平面B i AM 1平面AMD时，三棱锥B i-AMD的体积最大，可得球半径为i, 表面积是4 7t..
本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理
论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题
17 .答案：解：（i）..由题意可得：呵sinC+i-2sin«U=0,
.\3sinC+cos （A+B） =0, 又A+B=TI-C,
. %3sinC—cosC=0,可得tanC='；,
•・CC （0,兀）,
. C=Hi,
••在ABCD中，由余弦定理可得：BD2=3+4-2姬,
解得：BD=i;
（2）由（i）可知BD2+BC2=4=CD2,
・•.Z DBC=6，
.S4BC =〔BD?BC=；,
・.CE是/BCD的角平分线，
• .zBCE= ZDCE,
在ACEB 和ACED 中，S A BCE=；/?C•匚f • HikHCE ,
S A CED=J C/.J'CH ' S\nz.DGE,
U（ E BC
可得：后丁田，
. c -
.SZBCE= S SA CED ,
.，-c . c c J , C、c O
.代入S?BCE+S A CED-S ZB CD-评，（i+二）S ACED一二,
第ii页，共i6页
第i13页，共i6页
解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用， 余弦定理，三角形的面积公式在解三
角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中 档
题.
(1)由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tanC=?，结合范围CC (0,力，
可求C 的值，由余弦定理可得 BD 的值；
(2)由(1)可知BD 2+BC 2=4=CD 2,可求/DBC ，可得S ZDBC =；,利用三角形的面积 公式，可求 S/XBCEM TS/XCED ,代入 S Z \BCE +S ACED =S ABCD =\< ,即可
18.答案：证明：(1)过点C 作CO^AAi,垂足为O, ,・平面
AA 1C 1CFP 面 AA 1B 1B, . CO"面 AA 1B 1B,故 CO±OB, 又.CA=CB, CO=CO, ZCOA=ZCOB=90° , . RtAAOgRtABOC,故 OA=OB, ••AAB=45°, .AA11OB, . AA 1 jCO,「AA 1，平面 BOC , . AA11BC. 解：(2) BB 1=/2AB=2,直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为 45。

, D 为CC 1的中点, 以O 为坐标原点，OA, OB, OC 所在直线分别为x, v, z 轴，建立空间直角坐标系，
•.CO”面 AA 1B 1B, ••.CBO 是直线 BC 与平面 AA 1B 1B 所成角，・•.CBO=45°,
. AB=*2, AO = BO=CO=1 ,
.A (1, 0, 0) , B (0, 1, 0) , C (0, 0, 1) , A1 (-1, 0, 0) , B1 (-2, 1, 0), D (-1, 0, 1),
"。

=(0, 0, 1),卜山二(1, -1, 1), 设平面 A 1B 1D 的法向量，尸(x, y, z),
* = z = 0
n AD
=x-y + z = 0 n P L D
•.OBFF 面 AA 1C 1C, .•平面 AA 1C 1C 的法向量 g = (0, 1, 0), 设二面角B 1-A 1D-C 1的平面角为 0, 则 cos 0
••二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值为右.
解析：(1)过点 C 作 CO±AA1，则 CO,平面 AA 1B 〔B,CO 段B,推导出 Rt ZxAOC^RtABOC, 从而 AA11OB,再由AA11CO,得AA11：平面BOC,由此能证明 AA11BC. (2)以O 为坐标原点，OA, OB, OC 所在直线分别为x, v, z 轴，建立空间直角坐标
.,S ACED = =J (2<3)=却字3.
，取 x=1 ,得=(1 , 1,
解得S ACED 的值.
系，利用向量法能求出二面角B i-A i D-C i的余弦值.
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.
19 .答案：解：(1)设T (xo, y。

)，P (x, y),
由 A (xo, 0) , B (0, y。

)
由题意二=5，即A为PB的中点/I r
「x=2x。

，y=-y。

，
Fin।
即刈=并，y o=-y,
•.x o2+y o2=1
故点P的轨迹C的方程为亍+y2=i ,
(2)由题意知l的斜率存在且不为零，
设直线l的方程为y=kx+t,
•.|AB|=1,
•・・(=)2+t2=1 ,
y —kx-^t
联立
：+ /=「消y 可得(4k2+1) x2+8ktx+4 (t2-1) =0,
设M (xi, yi) , N (x2, y2), .... . j
.xi+x2=-i+和, xix2=；FT7,
. y i + y2=k (x i+x2)+2t=p r Y
,・四边形OMQN为平行四边形，故Q (% ।),
整理可得4t2=4k2+i ,②，
将①代入②可得4k4+k2+i=0,该方程无解, 故这样的直线不存在.
解析：(i)设T (x°, y°) , P (x, y),通过1fM：p,即A为PB的中点，转化求解,
点P的轨迹C的方程.
(2)设直线l的方程为y=kx+t,先根据|AB|二i,可得?+t2=i,①，再根据韦达定理，点
在椭圆上可得4t2=4k2+i,②，将①代入②可得4k4+k2+i=0,该方程无解，问题得以解决
本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题.
CC 生＞…, I 口一/n A15+12flL + 9+ H
20 .答案：解：(i)由题息可得，==一=一=2, y- -------------------------- =-------- =ii ,
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£：=l®r ）'=（-2）2+（-1）2+02+12+22=10,
(2)设每株的产量为 ykg,根据题意可得10X500y>25000, . y> 5, 令J ；，常可得,x q 2即m 最大值是5, (3)由回归方程可得，当 x=1时，y=：：, 当x=2时, 当 x=4
时，y= f , • P (产丸)=诟,
P (y=11)=言
P 即y 的分布列为
P
12.7 11
9.3
7.6
y
i| 可
5 1H
7
5
前
E （y ）
5 J 27 lR =4lT ,
127
1
5
^3
7 3S
五乂通+11 X 回+而乂西+后又
解析：本题主要考查了线性回归方程的求解及随机变量期望及分布列的求解， 属于中档
题.
工一曲「X 兄Fj-此-I- -1-1
(1)利用公式b= '
，口 =v ，j ［分别求出回归系数 b, a 即可；
(2)设每株的产量为ykg,根据题意可得10X500y>25000)<求y 的范围，进而可求满足 条件的x 及每一个值所对应的概率，可求分布列及期望 ^ 21 .答案：解：(1) f (x)的定义域是(0, +8), f' (x) =lnx-a,令 f' (x) =0,解得：x=e a ,
E ；.i&r ）（y-y ）=-2 如（-1）
X1+0>0+1X （-2） +2X （-3） =-17,
即产量的期望 U7
・尸,力£=11-2王一升与，
y=11,当 x=3 时,
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故f (x)在(0, e a )递减，在(e a , +8)递增， 故 f (x)极小值=f (ea) =-ea, 故f (x)的极小值是-e a,无极大值；
(2) g' (m) =me m x +2x-m=m (e mx -1) +2x,
当 m>0 时，由于 x>0,故 e mx >1, e mx -i >0,即 g' ( x) > 0,
当 m<0 时，由于 x>0,故 e mx v1,
e mx -l <0,即 g ， (x) >0,
当 m=0 时，g' (x) =2x>0,
综上，g' (x) >0,故 g (x)在(0, +8)递增， 故只需证明x i ?x 2<e 2a, 即证 lnx i +inx 2< 2a,
由 g (x i) =g (x 2), 可知 x i lnx i -ax i -x i =x 2lnx 2-ax 2-x 2,
xi>x2, t=「>i,即证1讨?7口<-2,根据函数的单调性证明即可.
，史 <-2,
不妨设x i>x2, t= > i ,
I,
即证Int?告v-2,
1nt
即证 1nt+2rn >0,
设 h (t) =1nt+2；［(t>i), h (t) =
>0,
' '蟆士+ i) '
故h (t)在(i, +8)递增， 故 h (t) > h (i) =0, 即 1nt+2j ：>0, 故结论成立.
解析：(i)求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可; (2)求出a,问题转化为证明
1nx
i +1nx 2<2 ( ---i),即 1n ? <-2,不妨设
即证 v-2,
⑴1,
故 a=-一
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题.
22.答案：解：（1）已知曲线C：D 黑二（“为参数），
转换为直角坐标方程为：x2+ （y-1）2 = 1,
直线l的极坐标方程为，在p cos + =-2.
转换为直角坐标方程为：x-y+2=0 .
（2）由（1）得：,
（X = -1 （X = 0
解得：或= 2
转换为极坐标为（JZ 个）（2,；）.
, * 4 2
解析：（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果. （2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出结果.
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.
—x--3, X 皂1
一女一1,
Jt + 3, x < -1
. f (x) max=f (-1) =2,即t=2 ,
证明：(2) g (x) =|x-1|,由J+!=2,
知g (m+2) +g (2n) =|m+1|+|2n-1| 河+1+2n-1|=|m+2n|=|： (m+2n) ? ('+=) ■FFI «i I. I-，山I
|=肃+■+2| 平+2|=2，
当且仅当衿,即m2=4n2时取等号
. g (m+2) +g (2n) >2
解析：（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的性质, 即可求出t的值，
（2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出g （m+2） +g （2n） >2
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质, 一道常规题. 次方程
23.答案：解: (1)由f (x) =|x-1|-2|x+1|=
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