【压轴卷】高考数学试题(带答案)

【压轴卷】高考数学试题(带答案)
一、选择题
1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1
6.12
y
1.5 4.04 7.5 12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =-
B ．1()2
x
y =
C ．2y log x =
D ．()
2
112
y x =
- 2．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y
x C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
3．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α
β= ，则M l ∈；
④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝
AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )
A ．60︒
B ．30
C ．45︒
D ．15︒
5．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x +
C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f
ξξ∈1[,]i i x x +）
D ．以上答案均正确
6．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若m α，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n α，则m n ⊥；
③若,m n 是异面直线，m α⊂，m β，n β⊂，n α，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②④
7．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2
π
)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
A ．2，－
3π
B ．2，－6
π C ．4，－6
π
D ．4，
3
π 9．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为（）
A ．3-
B ．
32
C ．
12
D ．12
-
10．函数y ()y ()f x f x ==，
的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）
A ．()()()()02332f f f f ''<<<-
B ．()()()()03322f f f f ''<<-<
C ．()()()()03232f f f f ''<<<-
D ．()()()()03223f f f f ''<-<<
12．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A 513x << B 135x < C ．25x <<
D 55x <<
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则32z x y =-的最小值是__________．
14．若函数3
211()
23
2f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．
16．若,满足约束条件则的最大值 ．
17．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三
棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．
18．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 19．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则b
a
的取值范围是__________． 20．设函数2
1()ln 2
f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.
三、解答题
21．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛
物线2
2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1
2
. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6
AP 的方程. 22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214
y x =25
.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若
1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.
23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，
DC ，SC 的中点.求证：
（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .
24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3
BAD π∠=，PAD ∆是等边
三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.
（1）求证：AD PB ⊥； （2）若E 在线段BC 上，且1
4
EC BC =
，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D CEG -的体积. 25．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2
ADC π
∠=，1
22
AB AD CD ==
=，6PD PB ==，PD BC ⊥．
（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为
3
π
？若存
在，求
CM
CP
的值；若不存在，说明理由．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系. 【详解】
根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较
接近()
2
112
y x =
-，故选D. 【点睛】
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4
3
b a =，问题得解． 【详解】
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =
-=
由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF
c a =+， 所以()()()()
222
22222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+
整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：4
3
b a =， 所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=± 故选A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；
空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的， 故选A ．
4．C
解析：C 【解析】
由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，
∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．
点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
根据近似替代的定义，近似值可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈ []1,i i x x +），
故选C ．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】
①若m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；
②若n α，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α⊂，m β，n β⊂，n α时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】
本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】
根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；
当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.
所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】
由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，
3T 5π412=-（π3-）3π4
=， ∴T 2π
ω
=
=π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π
12
，2）， ∴2＝2sin （25π
12
⨯+φ）， ∴
5π6+φ＝2kππ
2
+，k∈Z， 即φ＝2kππ
3
-， 又由π2-
＜φπ2＜，则φπ3
=-； 综上所述，ω＝2、φπ
3
=-． 故选A ． 【点睛】
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得
3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ
<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】
函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫
=+< ⎪⎝
⎭
的图象向右平移
6
π
个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-
+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3
π
φk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<
，∴3π
ϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，
由题意,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，
∴23πsin x ⎡⎛
⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
∴函数()sin 23πf x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 故选B ． 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．
10．D
解析：D 【解析】
原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为
0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数
知识来讨论函数单调性时，由导函数
'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过
()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
【详解】
由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，
()()032f f ''∴<<，
()()()()
323232
f f f f --=
-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，
()()()()03322f f f f ''∴<<-<.
故选：B . 【点睛】
本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.
12．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐
角为角α，根据余弦定理得22223
cos 04x x
α+-=>，解得x >x 边对的锐角为
β
，根据余弦定理得222
23cos 012
x β+-=>，解得0x <<x 的取值范
x << A. 考点：余弦定理.
二、填空题
13．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线
解析：6 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322
z
y x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值． 【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
由32z x y =-可得322
z y x =-． 平移直线322z y x =
-，结合图形可得，当直线322
z
y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由题意得A 点坐标为(2,0)，
∴min 326z =⨯=，
即32z x y =-的最小值是6． 故答案为6． 【点睛】
求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：
a z
y x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当
0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z
b 取最小值时，z 也取最小值；②当
0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z
b
取最小值时，z 取最大值．
14．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性
解析：1
(,)9
-+∞
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：2
2
11()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝
⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为
22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
考点：利用导数判断函数的单调性．
15．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：
1 2
【解析】
【详解】
因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即，
解得，
故本题正确答案为
16．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A（13）与原点连线的斜率最大故yx的最大值为3考点：线性规划解法
解析：
【解析】
作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
考点：线性规划解法
17．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所
解析：1
【解析】
【分析】
由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】
设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h
==
，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19
'23h h
⋅⋅=， 所以
'2
3
h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13
h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111
'91339
S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 【点睛】
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1
V 3
S h =
底，本题是中档题． 18．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16
【解析】 【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果. 【详解】
根据题意，没有女生入选有3
44C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16. 【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
19．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以
解析：
【解析】
【分析】 【详解】
因为ABC ∆为锐角三角形，所以022
02B A A B πππ⎧
<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以046
3A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<
⎪⎩，
所以(
,)64A ππ
∈，所以sin 2cos sin b B A a A
==，所以(2,3)b
a ∈. 20．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当时此时单调递增当时此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或因为是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数研究函数的单调性；2利用 解析：
【解析】
试题分析：()f x 的定义域为()()1
0,,'f x ax b x
+∞=--，由()'00f =，得1b a =-，所以()()()11'ax x f x x
+-=
.①若0a ≥，由()'0f x =，得1x =，当01x <<时，
()'0f x >，此时()f x
单调递增，当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以1x =是()f x 的极大值点；②若0a <，由()'0f x =，得1x =或1
x a
=-
.因为1x =是()f x 的极大值点，所以1
1a
-
>，解得10a -<<，综合①②：a 的取值范围是1a >-，故答案为()1,-+∞. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值. 三、解答题
21．（Ⅰ）2
2
413
y x +=， 24y x =.（Ⅱ）3630x +-=，或3630x -=.
【解析】
试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12
，则1
2a c -=，又椭
圆的离心率为1
2
，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线
AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联
立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为
6
m ，得出直线AP 的方程.
试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，
12c a =，2p a =，1
2
a c -=，解得1a =，12c =
，2p =，于是222
34
b a
c =-=. 所以，椭圆的方程为2
2
413
y x +=，抛物线的方程为24y x =.
（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点
21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将1x my =+与22
413
y x +=联立，消去x ，整理得
()
2
23460m
y my ++=，解得0y =，或2634
m
y m -=
+.由点B 异于点A ，可得点
222
346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭
.由21,Q m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得2
2
2332m x m -=+，故2
223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭
.所以2222
23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为2，故
2
2162232m m m ⨯⨯=+，整理得2
320m -+=，解得m =m =.
所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.
22．（Ⅰ）2215
x y +=（Ⅱ）-10
【解析】 【分析】
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，
得到1b =，又5
c a ==，由此求出椭圆C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程
2215
x y +=，得()2222
15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能
求出12λλ+的值. 【详解】
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
抛物线方程化为2
4x y =，其焦点为()0,1
则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，
由c e a ===
，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2
215
x y +=
（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2
215
x y +=，
∴椭圆C 的右焦点()2,0F
设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2
215
x y +=，
并整理，得(
)2
2
2215202050k
x
k x k +-+-=，
∴21222015k x x k +=+，2122
205
15k x x k
-=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，
即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=
-，2
22
2x x λ=-，
∴()()12121212121212
22102242x x x x x x
x x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
23．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面
11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.
【详解】 证明： （1）如图，
连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，
//EG SB ∴.
又SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，
所以直线//EG 平面11BDD B . （2）连接,
,SD F G 分别是,DC SC 的中点，
//FG SD ∴.
又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B
//FG ∴平面11BDD B .
又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=， ∴平面//EFG 平面11BDD B . 【点睛】
本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.
24．（1）证明见解析；（2）112
. 【解析】 【分析】
（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ； （2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积． 【详解】 连接PF ，BD,
∵PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点， ∴PF ⊥AD ，
∵底面ABCD 是菱形，3
BAD π
∠=
，
∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点， ∴BF ⊥AD ，
又PF ，BF ⊂平面PBF ，PF ∩BF ＝F ， ∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ⊂平面PBF ， ∴AD ⊥PB ．
（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ⊂平面PAD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ，
由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥平面ABCD ，
连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=1
3
CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ⊂面GED ，则面GED⊥
平面ABCD ， 此时CG=
1
3
CP, ∴四面体D CEG -的体积
1
11311
223
38312
D CEG G CED CED
V V S
GH PF --==⋅=⨯⨯⨯=． 所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112
D CEG V -=. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体
积计算，属于中档题． 25．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CM
CP
=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于1
2
，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】
（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2
ADC π
∠=,
所以22BD =， 又因为4,4
CD BDC π
=∠=
．根据余弦定理得22,BC =
所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.
又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,
所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，
平面ABCD
平面PBD BD =，
PE ⊥平面ABCD .
如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CM
CP
λλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,
易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.
设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM 由0
0n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20
y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-. 因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π
12
=， 解得2,23
λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且
23CM CP =. 【点睛】
本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．。