20春北师大9下 教案：2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根1
2019-2020年北师大版九年级数学下册学案2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根
2.5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根学习目标:体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．学习重点:本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．学习难点:应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．学习过程:一、实例讲解：我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.二、议一议：在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?三、例题：【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式．四、随堂练习：1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？五、课后练习：1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x 轴交点的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过 象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m=．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点 ． 8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则ba ca cbc b a +++++的值是（ ）A ．－3B ．3C ．21D ．－2112．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示， 则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b2=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．（1）当实数k为何值时，图象经过原点？（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．。
2020年春北师大版本九年级数学下册 2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根
2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
1.如图是二次函数2246y x x =--的图像，那么方程2
2460x x --=的两根之和 0．2.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1 3.2)--，及部分图象（如图４所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ．
3.根据下列表格的对应值：
判断方程(a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）
02
=++c bx ax A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24
C ．3.24＜x ＜3.25
D ．3.25 ＜x ＜3.26 4.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．
(1) 2
4834x x --=-; x 3.23
3.24 3.25 3.26
c
bx ax ++2－0.06－0.020.03
0.09y
(2)2
530x x --=.5.试说明一元二次方程2441x x -+=的根与二次函数2
44y x x =-+的图像的关系，并把方程的根在图象上表示出来．6.2006年世界杯足球赛在德国举行．你知道吗？一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度可以用二次函数刻画，其中表示足球被踢出后经过的时(m)y 24.919.6y x x =-+()x s 间．
（1）方程的根的实际意义是 ；
24.919.60x x -+=（2）求经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？。
北师大版数学九年级下册2 利用二次函数求方程的近似根课件
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个 在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4 或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变 正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1 的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符 合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
有两个交点 x1,x2 (x1＜x2)
a＞0
a＜0
y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 y＜0，x2＜x或x＜x1
有一个交点x0
y＞0,x0之外的所有 实数；y＜0，无解
y＜0,x0之外的所有 实数；y＞0，无解
没有交点
y＞0，所有实数；y y＜0，所有实数；y
解：y=x²-2x-4的图象如图所示.
2
解：由图象可知方程的一根在3到 4之间，另一根在-1到-2之间. (1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：
x
…
3.2
3.3
…
y
…
-0.16
0.29
…
因此，x=3.2是方程的一个近似根. (2)可类似地求出另一个根为x=-1.2.
例2变式：你还能利用y=x²-2x-1 的图象求一元二次方程
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
方法归纳 利用图象法求一元二次方程的近似根 (1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象； (2)观察估计二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标； (可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根;
第2课时 利用二次函数的图象估计一元二次方程的近似根 数学北师大版九年级下册教案
第二章二次函数5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数的图象估计一元二次方程的近似根教学目标教学反思1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验.2.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方法的思路，体验数形结合思想.教学重难点重点：能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．难点：用图象法求解一元二次方程的近似根并估算.教学过程知识回顾1.二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标与一元二次让学生独立回答.设计意图：让学生再次感知一元二次方程的根与二次函数图象与x轴交点之间的关系,为新知识的探究打下了良好的基础.导入新课师：上节课我们学习了二次函数的图象与一元二次方程的关系，请思考一元二次方程x2＋x－2＝0的根与二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴交点的横坐标有什么关系？生：一元二次方程x2＋x－2＝0的根是二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴交点的横坐标．师：很好，我们还可以根据二次函数的图象与x轴的交点情况，判断一元二次方程根的情况．这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可，但是根据图象我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算，本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．探究新知一、预习新知上册我们已经学习了一元二次方程的各种解法，今天我们尝试另外的一种解法——图象法.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？多媒体展示函数y＝x2＋2x－10的图象.教师引导学生观察并估计二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标，确定出二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标的大致范围.学生观察后得出：函数图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间.议一议：这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家继续讨论.经过讨论学生发现：既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了.教师继续提出问题：如何确定它的十分位呢？学生再分组讨论，小组代表发言：十分位上的数可以用试一试的方法确定，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根).教师先肯定这种方法可行，但是计算比较烦琐，同学们可以借助计算器进行计算.学生合作，完成下表师：现在你能确定十分位上的数了吗？教师总结：由表格可知，当x取－4.3或－4.4时，对应y的值由负变正，可见在－4.4和－4.3之间一定有一个x值使y＝0，即有方程x2＋2x－10＝0的一个根.由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以x＝－4.3更接近方程的根.因此，方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3.用同样的方法让学生找到2和3之间的近似根为x＝2.3.教师点评：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位.师：我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？生：可以利用一元二次方程的求根公式进行验证.学生独立完成验证过程.教学反思教师多媒体展示，供学生参考.教学反思设计意图：本环节是本节新课的重点内容，一是让学生巩固对二次函数图象的形成的认识，二是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值的探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系.二、合作探究多媒体展示课本做一做师：请利用课本图2-17求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根.教师提示学生对比方程x2＋2x－10＝3和方程x2＋2x－10＝0的形式的不同之处，思考解决问题的方法.学生观察后得出：通过转化可以把原方程变形为x2＋2x－13＝0，然后按照上面探究的方法进行求解.师：你还能利用课本图2-18求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根吗?教师引导学生对比方程x2＋2x－10＝3和方程x2＋2x－10＝0相应的函数表达式的y的值，讨论y＝3时对应的x值的确定方法.然后学生分组讨论，小组代表阐述本小组的观点：只需要找到二次函数y＝x2＋2x－10图象和直线y＝3的交点的横坐标即可.学生在课本的图2-18上作出直线y＝3，确定交点.根据图象得到近似根.设计意图：通过探究，既巩固了所学知识，又让学生明白了一元二次方程ax2+bx+c＝k的根就是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝k(k是实数)交点的横坐标这一数学原理，培养学生观察图象、分析图象的能力.典型例题【例】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(结果精确到0.1)．【问题探索】根据图象法估计一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的近似值的一般步骤解决问题．【解】方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1的图象与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示.由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间.先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x≈－0.4是方程的一个近似根，同理，x≈2.4是方程的另一个近似根.即方程x2－2x－1＝0的近似根为x1≈－0.4，x2≈2.4.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；(3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根．课堂练习1.2A.1B.1.1C.1.2D.1.32.下表是满足二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的五组数据，x 1是方程ax 2＋bx ＋c ＝011C.2.0＜x 1＜2.2D.2.2＜x 1＜2.4则一元二次方程x －2x －2＝0在精确到0.1时的一个近似根是，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是 .参考答案1.C2.C3.2.7 －0.7课堂小结(学生总结，老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤.板书设计第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程第2课时 利用二次函数的图象估计一元二次方程的近似根利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤： (1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表，在(2)中的两数之间取值，进行估计． 在列表求近似根时，近似根就出现在对应y 值正负交换的区间，也就是对x 取一系列值，看y 对应于哪两个值由负变成正，或由正变成负，此时x 的两个对应值之间必有一个近似根．教学反思。
2020届北师大版九年级数学下册教案2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根1
2.5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点)一、情境导入你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋ 2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)?由图象知，抛物线与x轴有两个公共点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋ 2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间．这两个根分别是1.5和－3.5吗？二、合作探究探究点：利用二次函数求方程的近似根【类型一】利用二次函数估算一元二次方程的近似根利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)．解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．解：方程x2－2x－1＝0根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x＝－0.5)是方程的一个近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一个近似根．方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．【类型二】列表求一元二次方程的近似根下面表格列出了函数y＝ax2＋bx ＋c(a，b，c是常数，且a≠0)部分x与y 的对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是( )x 6.17 6.18 6.196．20y －0.03－0.010.020.04C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20解析：由表格中的数据得，在6.17＜x ＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x ＝6.18时，y＝－0.01，当x＝6.19时，y ＝0.02，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19，故选C.方法总结：利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】利用图象求一元二次方程的近似根已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则x1＋x22＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】利用二次函数和一次函数的图象求方程的根已知二次函数y＝2x2－2和函数y＝5x＋1.(1)你能用图象法求出方程2x2－2＝5x＋1的解吗？(2)请通过解方程的方法验证(1)问的解．解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解，可得方程的解．解：(1)如图在平面直角坐标系内画出y＝2x2－2和函数y＝5x＋1的图象，如图所示：图象交点的横坐标是－12，3，故2x2－2＝5x＋1的解是x1＝－12，x2＝3；(2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x2－2＝5x＋1的解，化简得2x2－5x－3＝0，因式分解，得(2x＋1)(x－3)＝0.解得x1＝－12，x2＝3，可知(1)中求得的解正确．方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型五】 二次函数与其他函数的综合利用图象解一元二次方程x 2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝x 2和直线y ＝－x ＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x －3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝________和直线y ＝－x ，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y ＝－6x的图象(如图所示)，利用图象求方程6x－x ＋3＝0的近似根(结果保留两个有效数字)．解析：(1)一元二次方程x 2＋x －3＝0可以转化为x 2－3＝－x ，所以一元二次方程x 2＋x －3＝0的解可以看成抛物线y ＝x 2－3与直线y ＝－x 交点的横坐标；(2)函数y ＝－6x的图象与直线y ＝－x ＋3的交点的横坐标就是方程6x－x ＋3＝0的近似根．解：(1)x 2－3 (2)图象如图所示：由图象可得，方程6x－x ＋3＝0的近似根为x 1＝－1.4，x 2＝4.4.方法总结：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：(1)作出函数的图象，由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的近似根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计利用二次函数求方程的近似根 1．利用二次函数估算一元二次方程的近似根2．列表或利用图象求一元二次方程的近似根3．利用二次函数和一次函数的图象求方程的根在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界.。
2.5 第2课时 利用二次函数求方程的近似根
2.5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根学习目标: 体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．学习重点:本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx ＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．学习难点:应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．学习过程:一、实例讲解：我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.二、议一议：在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?三、例题：【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式．四、随堂练习：1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？五、课后练习：1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过象限．4．抛物线y=x 2－2x ＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴是x=1，则m=．6．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=．7．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点．8．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．9．抛物线y=x 2－2a x ＋a 2的顶点在直线y=2上，则a 的值是．10．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c的图象过（－1，0），则ba ca cbc b a +++++的值是（ ）A ．－3B ．3C ．21D ．－2112．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－a b 2＜1B ．0＜－a b 2＜2C ．1＜－a b 2＜2D ．－ab2=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．。
新北师版初中数学九年级下册2.5第2课时利用二次函数求方程的近似根公开课优质课导学案
2.5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根学习目标:体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．学习重点:本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．学习难点:应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．学习过程:一、实例讲解：我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1).h和t的关系式是什么？(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.二、议一议：在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?三、例题：【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式．四、随堂练习：1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？五、课后练习：1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限．4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点．8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围．9．抛物线y=x2－2a x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是．10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．无11．如图1所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则ba ca cbc b a +++++的值是（ ）A ．－3B ．3C ．21D ．－2112．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示， 则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b2=113．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．14．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2． （1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？15．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m ≠0）与x 轴有两个不同的交点． （1）求m 的取值范围；（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．。
2024年北师大版初中数学9年级下册2.5第2课时利用二次函数求方程的近似根-课件
2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解； （重点） 2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想
的应用.（难点）
导入新课
回顾与思考
问题：现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次 函数图象直接求出一元二次方程的根呢?
父
母
我们，还在路上……
讲授课
利用二次函数求一元二次方程的近似解
例：求一元二次方程 x22x10的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法.
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
说一说
一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与 直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函 数图象来估计一元二次方程的根.
当堂练习
1.根据下列表格的对应值:
课堂小结
二次函数图象 由图象与x轴的交点位置， 判断方程根的近似值
一元二次方 程的根
都二
能分
运浇
用灌
好，
“八
二分
八等
定待
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2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时利用二次函数求方程的近似根
1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)
2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点)
一、情境导入
你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)?
由图象知，抛物线与x轴有两个公共点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间．这两个根分别是1.5和－3.5吗？
二、合作探究
探究点：利用二次函数求方程的近似根
【类型一】利用二次函数估算一元二次方程的近似根
利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)．
解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
解：方程x2－2x－1＝0根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0
当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x＝－0.4(或x ＝－0.5)是方程的一个近似根．同理，x＝2.4(或x＝2.5)是方程的另一个近似根．
方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法．
【类型二】列表求一元二次方程的近似根
下面表格列出了函数y＝ax2
＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2＋bx ＋c＝0的一个根x的取值范围是( )
x 6.17 6.18 6.196．20
y －0.03－0.010.020.04
A.6＜＜6.17 B．6.17＜＜
6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x ＜6.20
解析：由表格中的数据得，在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增大而增大，当x＝6.18时，y＝－0.01，当x ＝6.19时，y＝0.02，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19，故选C.。