高二上册数学选修一《2.5 椭圆及其方程》知识点梳理

高二上数学选修一第二章《平面解析几何》知识点梳理
2.5.1椭圆的标准方程
学习目标：
1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
“
嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，实现月球软着陆进行部分关键技术试验，入太空轨道绕月球运转时，1．椭圆的定义
(1)定义：如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且2a ＞|F 1F 2|，则平面内满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a 的动点P 的轨迹称为椭圆．
(2)相关概念：两个定点F 1，F 2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F 1F 2|称为椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
[提示]2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件结论2a ＞|F 1F 2|动点的轨迹是椭圆2a ＝|F 1F 2|
动点的轨迹是线段F 1F 2
2a ＜|F 1F 2|动点不存在，因此轨迹不存在
2．椭圆的标准方程
焦点位置在x 轴上在y 轴上标准方程
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)
y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)
(±c,0)
(0，±c )
：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示]a ，b 的值及焦点所在的位置．思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？
[提示]把方程化为标准形式，x 2，y 2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(
)
(2)椭圆x 216＋y 2
25＝1的焦点坐标是(±3,0)．
()(3)y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．(
)
[答案](1)×(2)×
(3)×
[提示](1)×需2a ＞|F 1F 2|．(2)×(0，±3)．
(3)×
a ＞
b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆．
2．以下方程表示椭圆的是()
A ．x 2＋y 2＝1
B ．2x 2＋3y 2＝6
C ．x 2－y 2＝1
D ．2x 2－3y 2＝6
B
[只有B 可化为x 2
3
＋
y 2
2
＝]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()
A ．x 25＋y 2
4＝1
B ．x 23＋y 2
4
＝1
C ．x 25＋y 24＝1或x 23＋y 2
4＝1
D ．x 29＋y 24＝1或x 23＋y 2
4
＝1
C [若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2
＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 2
4
＝1；若焦点在y
轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2
＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 2
4
＝1．]
4．椭圆x 29＋y 2
4＝1的左、右焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝
．
2
[由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，所以|PF 2|＝6－|PF 1|＝6－4＝2．
]
求椭圆的标准方程
【例1】
根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26．(2)经过点
2，焦点在x 轴上．
(3)过(－3,2)且与x 29＋y 2
4
＝1有相同的焦点．
[解](1)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．
∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5．∴b 2＝a 2－c 2＝144．
∴所求椭圆的标准方程为：y 2169＋x 2
144＝1．
(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2
＋1，又椭圆经过点
∴1
b 2＋1＋94b 2＝1，
解之得b 2＝3，∴a 2＝4．∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1．
(3)由方程x 29＋y 2
4
＝1可知，其焦点的坐标为(±5，0)，即c ＝5．
设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝b 2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为9
a 2＋4a 2－5＝
1(a ＞b ＞0)，
解得a 2＝15(a 2＝3舍去)，b 2＝10，故椭圆的标准方程为x 215＋y 2
10
＝1
．
利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)
．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2；(2)经过点
[解](1)∵a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 2
12
＝1．
(2)法一：①当椭圆的焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，有
1，1，
2＝15
，
2＝1
4
，
因为a ＞b ＞0，所以方程组无解．
②当椭圆的焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
所以所求方程为y 214＋x 2
15
＝1．
法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n
＞0，且m ≠n )，＋1
9
n ＝1，＝1，＝5，＝4，
故所求方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 2
15
＝1．
椭圆的定义及其应用
[探究问题]
1．如何用集合语言描述椭圆的定义？[提示]P ＝{M ||MF 1|＋
|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．如何判断椭圆的焦点位置？[提示]
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即
“谁大在谁上”．
3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？[提示]
椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助
记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．
【例2】
设P 是椭圆x 225
＋y
2
754
＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2
的面积．
[解]由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254
，∴c ＝5
2，2c ＝5．
在△PF 1F 2中，
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．①由椭圆的定义，得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．②
②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，
所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝
253
4
．
1．将本例中的“∠F 1PF 2＝60°”改为“∠F 1PF 2＝30°”其余条件不变，求△F 1PF 2的面积．[解]由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝5
2
，2c ＝5．在△PF 1F 2中，
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－3|PF 1|·|PF 2|．①
由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．②
②－①，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝75(2－3)，
所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝75
4
(2－3)．
2．将椭圆的方程改为“x 2100＋y 2
64＝1”其余条件不变，求△F 1PF 2的面积．
[解]|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，又|F 1F 2|＝2c ＝12．
由余弦定理知：(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°，即：144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝
2563
，
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a ．
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
拓展延伸：椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
与椭圆有关的轨迹问题
【例3】如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．
[解]由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |．∴|CM |＋|MA |＝5．
∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，
∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝21
4．
∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2
214
＝1．
求解与椭圆相关的轨迹问题的方法
[跟进训练]
2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解]如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，
由题意动圆M 内切于圆C 1，∴|MC 1|＝13－r ．圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r ．
∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，
∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x 264＋y 2
48
＝1．
(1)平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞|F 1F 2|，轨迹为椭圆
a ＝|F 1F 2|，线段F 1F 2
a ＜|F 1F 2|，不存在
．
(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a ，b ，c 其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．
(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，因为它包括焦点在
x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
1．椭圆x 2
25＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为(
)
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
D [由椭圆定义知点P 到另一个焦点的距离是10－2＝8．]2．到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是()
A ．椭圆
B ．线段
C ．圆
D ．以上都不对
B
[|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4，∴点M 的轨迹为线段F 1F 2．]
3．椭圆x 216＋y 2
32＝1的焦距为
．
8
[由方程得a 2＝32，b 2＝16，∴c 2＝a 2－b 2＝16．
∴c ＝4,2c ＝8．]
4．已知椭圆x 216＋y 2
9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则
△ABF 2的周长是
．
16
[由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，又△ABF 2的周长等于|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|
＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝16．]
5．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程是
．
x 24＋y 2
3
＝1[|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，
∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A b 2
＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23
＝1．]
2.5.2椭圆的几何性质
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，
演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，有另外一个乐队存在(其实什么都没有椭圆的简单几何性质
焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)图形
对称性对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0)范围
x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]
x ∈[－b ，b ]，y ∈[－a ，a ]
顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a )，
B 1(－b,0)，B 2(b,0)
轴长短轴|B 1B 2|＝2b ，长轴|A 1A 2|＝2a
焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)
F 1(0，－c )，F 2(0，c )
焦距
|F 1F 2|＝2c
[提示]最大距离：a ＋c ；最小距离：a －c ．
思考2：椭圆方程x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，
c 的几何意义是什么？
[提示]
在方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示．即a ，b ，c 正好构成了一
个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a ．
()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a －c ．()(3)椭圆上的离心率e 越小，椭圆越圆．(
)
[答案](1)×(2)√
(3)√
[提示](1)×椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于2a ．
(2)√椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c ．(3)√
离心率e ＝c
a
越小，c 就越小，这时b 就越接近于a ，椭圆就越圆．
2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为()
A ．(－1,0)，(1,0)
B ．(－6,0)，(6,0)
C ．(－6，0)，(6，0)
D ．(0，－6)，(0，6)
D [x 2
＋y 2
6＝1焦点在y 轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．]
3．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为()
A ．
32
B ．
34
C ．
22D ．
23
A [化椭圆方程为标准形式得x 24
＋y 2
＝1，
所以a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝3．所以e ＝c a ＝3
2
．]
4．椭圆x 29＋y 2
16＝1的焦点坐标是
，顶点坐标是
．
(0，±7)(±3,0)，(0，±4)
[由方程x 29＋y 2
16
＝1知焦点在y 轴上，所以a 2＝16，b 2＝9，c 2＝a 2－
b 2＝7．
因此焦点坐标为(0，±7)，顶点坐标为(±3,0)，(0，±4)．]
椭圆的几何性质
【例1】
求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
[思路探究]化为标准方程，确定焦点位置及a ，b ，c 的值，再研究相应的几何性质．[解]
把已知方程化成标准方程x 252＋y 2
4
2＝1，可知a ＝5，b ＝4，所以c ＝3．因此，椭圆的长轴和
短轴的长分别是2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝3
5，两个焦点分别是F 1(－3,0)和F 2(3,0)，椭圆的四
个顶点是A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－4)和B 2(0,4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．
[跟进训练]
1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]将椭圆方程变形为x 29＋y 2
4＝1，
∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝5
3
．
利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为5
5；
(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．
[解](1)将方程4x2＋9y2＝36化为x2
9＋y2
4＝1，
可得椭圆焦距为2c＝25．又因为离心率e＝5 5，
即5
5＝
5
a，所以a＝5，从而b
2＝a2－c2＝25－5＝20．
若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为x2
25＋
y2
20＝1；
若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为y2
25＋
x2
20＝1．
(2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b．
若椭圆焦点在x轴上，设其方程为x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)，
2b，
＋16
b2＝1.
2＝68，
2＝17，
所以标准方程为x2
68＋
y2
17＝1．
若椭圆焦点在y轴上，设其方程为y2
a2＋
x2
b2＝1(a＞b＞0)，
2b，
＋4
b2＝1，
2＝32，
2＝8.
所以标准方程为x2
8
＋
y2
32＝1．
利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项
1 用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.
2 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.
3 在求解a 2、b 2时常用方程 组 思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝c
a 等构造方程 组
加以求解.
提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.
[跟进训练]
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是4
5
；
(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．[解](1)设椭圆的方程为
x 2a 2
＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝10，a ＝5，e ＝
c a ＝4
5，∴c ＝4．
∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．
∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 2
25＝1．
(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，
且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b,2c ＝6，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 2
9
＝1．
求椭圆的离心率
[探究问题]
1．求椭圆离心率的关键是什么？
[提示]根据e ＝c
a ，a 2－
b 2＝
c 2，可知要求e ，关键是找出a ，b ，c 的等量关系．
2．a ，b ，c 对椭圆形状有何影响？[提示]
【例3】
已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，
若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[思路探究]由题设求得A 、B 点坐标，根据△ABF 2是正三角形得出a ，b ，c 的关系，从而求出
离心率．
[解]设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．
依题意设A c
则B c ∴|AB |＝2b 2a
．
由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2
a ，
即3b 2＝2ac ，
又∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 2－3c 2－2ac ＝0，
两边同除以a 2＋2c
a －3＝0，
解得e ＝c a ＝3
3
．
1．(变换条件)本例中将条件“过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形”改为“A 为y 轴上一点，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，若△AF 1F 2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？
[解]设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，
则B －
c 2，
∵B点在椭圆上，
∴c2
4a2＋
y20
4b2＝1，
解得y20＝4b2－b2c2 a2，
由△AF1F2为正三角形得4b2－b2c2
a2＝3c
2，
即c4－8a2c2＋4a4＝0，
两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，
解得e＝3－1．
2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半
轴长的2
3”，求椭圆的离心率．
[解]设椭圆方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，F1
(－c,0)，F2(c,0)，
由题意知A c，
2
3
b
∴c2
a2＋
4
9＝1，解得e＝
5
3．
求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a和c，再求e＝c
a，也可利用e＝1－b2
a2求解．
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成c
a的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b．
2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．3．求离心率e 时，注意方程思想的运用．
1．椭圆x 29＋y 2
16＝1的离心率(
)A ．74
B ．
916C ．
13
D ．
14
A [a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，从而e ＝c a ＝7
4
．]
2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(
)
A ．x 281＋y 2
72＝1
B ．x 281＋y 2
9＝1
C ．x 281＋y 2
45
＝1
D ．x 281＋y 2
36
＝1
A [由已知得a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝1
3a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝72．
又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 2
72
＝1．]
3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为()
A ．12
B ．2
C ．
14
D ．4
C [椭圆x 2
＋my 2
＝1的标准形式为：x 2
＋y 2
1m
＝1．
因为焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以1m ＝4，所以m ＝1
4．]
4．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．
3
5
[由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，
又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝3
5
或e ＝－1(舍去)．]
5．已知椭圆的标准方程为x2
4＋y2
9＝1．
(1)求椭圆的长轴长和短轴长；
(2)求椭圆的离心率；
(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．[解](1)椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4．
(2)c＝a2－b2＝5，
所以椭圆的离心率e＝c
a＝
5
3．
(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b′＝3，可设椭圆方程为x2
a′2＋y2
9＝1，又椭圆过点P(－
4,1)，
将点P(－4,1)代入得16
a′2＋1
9＝1，
解得a′2＝18．故所求椭圆方程为x2
18＋
y2
9＝1．。