第05讲 代数式w

第5讲 代数式
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用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或一个字母，像-1，0，a ，x 也是代数式，这里“用运算符号连结”一般指加、减、乘、除、乘方。

将日常生活的语言转化为数学语言，就是要会列出代数式；另一方面也要理解代数式的含义，会求代数式的值。

用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．
经典例题解析
例1 (1985年武汉市初中一年级数学通讯赛试题)
a,b 是有理数,
(1) 若a+b=0,则 a,b 互为________.
(2) 若ab=0, 则 a,b 至少________.
(3) 若ab=1, 则 a,b ________.
(4) 若ab>0, 则 a,b ________.
(5) 若a 2+b 2=0,则 a,b ________.
解 (1) 若a+b=0,则 a,b 互为相反数；
(2) 若ab=0, 则 a,b 至少有一个等于零；
(3) 若ab=1, 则 a,b 互为倒数；
(4) 若ab>0, 则 a,b 的符号相同；
(5) 若a 2+b 2=0, 则 a,b 都等于零。

评注 用数学语言——代数式和数学符号来表达日常生活语言，是学好数学一项重要的基本功。

要培养数学语言和日常生活语言“互译”的能力。

例2 （1991年第2届“希望杯”数学邀请赛试题）
浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是（ ）
（A ）%2p q +（B ）()%mp nq +（C ）%mp nq p q
++（D ）%mp nq m n ++ 解 浓度为p%的盐水m 公斤中含盐m×p%公斤，浓度为q%的盐水n 公斤中含盐n×q%公斤，混合溶液共(m+n)公斤，含盐(m×p%+n×q%)公斤，所以浓度是%mp nq m n
++。

故选D 。

例3．（1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题）
如图是一个长为a ，宽为b 的矩形．两个阴影图形分别是一对长为c 的底边在矩形对边上的一个平行四边形和一个矩形．则矩形中未涂阴影部分的面积为（ ）
（A ）ab-(a+b)c ．（B ）ab-(a-b)c ．（C ）(a-c)(b-c)．（D ）(a-c)(b+c)．
解：将图形沿左右、上下平移后，可以得到一个长为(a-c)，宽为 (b-c)的长方形，其面积为(a-c) (b-c)，这也就是未涂阴影部分的面积。

故选 （C ）。

例4.．（2002年河南省初二数学竞赛试题）
a 表示一个两位数，
b 表示一个四位数，把a 放在b 的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成（ ）
(A)ab (B)10000a+b (C)100a+10000b (D)100a+b
解．依题意，在这个六位数中，a 的个位数字是在万位上，所以这个六位数应表示成10000a+b ，选(B)
评注：一个n 位自然数的十进制表示法一般形式，是 122321*********a a a a a n n n n +⨯+⨯++⨯+⨯---
其中a i 是一位数字. 有时也根据需要写成 100a+b （b 是两位数）,1000a+b(b 是三位数)等形式
例5 (2004年“希望杯”数学邀请赛试题)
民航规定：旅客可以免费携带a 千克物品，若超过a 千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b 千克(b>a)时，所交费用为Q=10b-200(元)．
(1)小明携带了35千克物品，质量大于a 千克，他应交多少费用？
(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？
(3)若收费标准以超重部分的质量m （千克）计算，在保证所交费用Q 不变的情况下，试用m 表示Q ．
解 (1)当携带的物品重量b= 35千克时，应交的费用为
1502001035=-⨯=Q （元）．
所以小明应交159元．
(2)设小王携带了x 千克物品，则
,10020010=-x 解得.30=x
因此，小王携带了30千克物品．
(3)已知最多可以免费携带a 千克物品，则
,020010=-a 解得.20=a
所以超重部分的质量为,20-=-=b a b m 即.20+=m b
故所交费用为m m b Q 10200)20(1020010=-+=-=（元）．
例6. (2005年杭州市江干区数学小能手展示活动7年级试题)
设多项式M d cx bx ax =+++35，已知当x ＝0时，5-=M ；当3-=x 时，7=M ， 则当3=x 时，求M 的值.
12．解 由题意，当x ＝0时，d cx bx ax +++35=－5，所以d =－5；
当3-=x 时，d cx bx ax +++35=7，即75)3()3()3(35=--+-+-c b a ， 所以，1233335-=++c b a
当3=x 时，M =175********-=--=-++c b a
例7 （第18届“迎春杯”数学竞赛试题）
如果210a a +-=, 那么3222a a ++的值为 .
解法1 ∵a 2+a=1, 于是我们有
3232222222()2()2
()212 3.
a a a a a a a a a a a ++=+++=+++=++=+=
解法2 ∵a 2=1-a,于是有 3222222(2)2(1)(2)2
2244(1) 41 3.
a a a a a a a a a a a a a a ++=++=-++=--+=--=---=--+=
评注：解法一是应用拆项法；解法二是应用降次法, 这两种方法在整式恒等变形中常用.
例8 (2006年第二届“希望杯”全国数学大赛8年级试题)
如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）：先使原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。

这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。

数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n 的代数式表示）是_________。

解 3n+2
由题意知，正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系是：
①当正半轴上的整数是3的倍数时，对应着圆周上数字0；
②当正半轴上的整数被3除余1时，对应着圆周上数字1；
③当正半轴上的整数被3除余2时，对应着圆周上数字2。

所以数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数（用含n的代数式表示）是3n+2。

原版赛题传真
同步训练
一选择题
1．（1991年第2届“希望杯”数学邀请赛试题）
图中表示阴影部分面积的代数式是（）
（A）ad+bc．（B）c(b-d)+d(a-c)．（C）ad+c(b-d)．（D）ab-cd．
1．C．
将图形分割成一个长为a宽为d的矩形，与一个长为c宽为(b-d)的矩形，
则阴影部分面积等于ad+c(b-d)．
2．（1990年汉江杯数学竞赛试题）
M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边组成一个五位数，那么这个五位数应是（）
(A) M+N (B) MN (C)100000M+N (D)1000M+N
2．D
3．（1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题）。

M表示a与b的和的平方，N表示a与b的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N的
值是（）
（A）-28．（B）-70．（C）42．（D）0．
3．B
M = (a+b)2=(7-5)2=4; N=a2+b2=77+(-5)2=74, M-N=-70
4．（2003年第1届创新杯数学邀请赛试题）
已知y=ax3+bx-5中，当x=-3时，y=7, 那么当x=3时，y的值是（）. (A) 3-(B) 7-(C) –17 (D) 7
4. C
将x=-3，y=7代入y=ax 3+bx-5, 得7=-27a-b-5, 于是27a+b=-12
当x=3时，y =27a+3b-5=-12-5=-17.
5．（2004年第15届“希望杯”数学邀请赛试题）
当x ＝－1时，代数式2ax 3－3bx ＋8的值为18，这时，代数式9b －6a ＋2＝（ ）
（A ）28 （B ）－28 （C ）32 （D ）－32
5．C
将x ＝－1代入代数式，有-2a+3b+8=18,3b-2a=10,
于是9b －6a ＋2=3(3b-2a)+2=3×10+2=32
二填空题
6．（第14届“迎春杯”数学竞赛试题）
当x=m 时, 多项式x 2+998x －999的值等于零, 那么多项多m 2+998m+999的值等于 . 6. 1998
当x=m 时, 多项式x 2+998x-999的值为零,即m 2+998m-999=0,
∴m 2+998m=999. ∴m 2+998m+999=999+999=1998.
7．（第16届“迎春杯”数学竞赛试题）
已知当x=1时, 代数式3324ax bx -+的值为8, 代数式315ax bx --的值为－14, 那么当x ＝－1时, 代数式2546ax bx -+的值为 . 7. 20
由已知, 得3248,1514.a b a b -+=⎧⎨--=-⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩
∴ 当a=2, b=1, x ＝－1时, 2254652(1)41(1)620.ax bx -+=⨯⨯--⨯⨯-+=
8．（2003年 第1届 创新杯数学邀请赛试题）
某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租的头三天每天收0.8元,从第四天起每天收0.4元，那么一张光盘租出了n 天应收租金 元. 8．0.8n (1≤n≤3) 或 0.4n+1.2 (n>3).
当n=1,2,3 时，租金为0.8n （元）；当n>3时，租金为0.8×3 + 0.4(n-3) = 0.4n+1.2（元）
9．（2000年第十五届江苏省初中数学竞赛试题）
若（m+n ）人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要_______天。

（假定每个人的工作效率相同）
9．n
m n m )(+ 每人每天完成工程的m n m )1+（，n 个人每天完成工程的m
n m n )+（，n 个人完成这项工程需要1÷m
n m n )+（=n m n m )(+天
10．（第13届“希望杯”邀请赛试题）
对于整式,2002234562345+++++x x x x x 给定x 的一个数值后，
如果李平按四则运算的规则计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法．小梅同学说：“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5次”，小妹同学的说法是 的（填“对”或“错”）.
10．对。

因为2002234562345+++++x x x x x 2002)23456(234+++++=x x x x x 2002]2)3456[(23+++++=x x x x x 2002}2]3)456{[(2+++++=x x x x x .2002}2]3)4)56{[((+++++=x x x x x
又等式右边的式子只需计算5次乘法和5次加法．
故小梅同学的说法是对的．
三解答题
11. (第1届莫斯科数学奥林匹克试题)
火车通过观察者身边需要t 1秒钟，通过l 米长的桥需要t 2秒钟，火车通过桥梁的时间从车头进入桥梁算起至车尾离开桥梁为止．试求火车的长度和速度．
11. 长度121t t lt L -=米，速度1
2t t l v -=米／秒． 12．（2004年《学习报》第九届数学公开赛试题）
某同学解一道代数题：求代数式
++++++++23456789345678910x x x x x x x x 12+x
当1-=x 时的值．由于将式中某一项前的“+”号错看为“-”号，误得代数式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号?
12. 当1-=x 时，正确的答案是-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1=-5， 比错误的答案小7-
（-5）=12，可见看错符号的一项当1-=x 时的值本应得-6的，错算为6了，所以这一项是6x 5,即这位同学看错了5次项前的符号。

13．（2004年全国初中数学竞赛湖北预赛）
如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形。

操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按每二次分割的作法进行下去。

（1）请你设计出两种符合题意的分割方案图；
（2）设正方形的边长为a ，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三
n 有什么关系？用数学表达式表示出来。

13.（1）
方案1
方案
2
（2）
2211,1664
a a 。

（3）214
n S a =（N≥1，且n 为整数） 14．（2007年浙江省初中数学竞赛试题）
现在a 根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m 个正方形，按如图2摆放时可摆成2n 个正方形。

图 3图 1..................
......
......
......图 2
⑴用含n 的代数式表示m ；
⑵当这a 根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a 的最小值。

14．(1)图1中火柴棒的总数是(3m+1)根，图2中火柴棒的总数是(5n+2)根，
∵火柴棒的总数相同，∴.23
15++=
n m (2)设图3中有3p 个正方形，那么火柴棒的总数是（7p+3）根，．
由题意，得,372513+=+=+=p n m a ∴7
15723-=-=n m p ∵ m 、n 、p 均为正整数，
∴ 当m=17，n=l0时，p=7，此时a 有最小值3×17+1=5×10+2=7×7+3=52。

15. （2002年 广西初中数学竞赛试题）
甲、乙两同学是邻居，在某个季度里他们相约到一家商店去买若干次白糖，两人买糖的方式不同：甲每次总是买1千克白糖，乙每次总是买1元钱白糖．而白糖的价格是变动的，试问这两位同学买白糖的方哪一种比较合算？
先弄清楚什么叫“合算”，单看这个季度里谁买的白糖多或谁花的钱少都不对，应计算各人平均每千克白糖花多少钱（单价），单价低的就合算．按下列过程填空、回答：
设两人相约买了以次白糖（n>l ），各次白糖的价格分别为x 1,x 2,…,x n ,（元／千克）．
甲共买白糖 千克，总计花去 元，平均每千克白糖的单价是a=____． 乙共买白糖 千克，总计花去 元，平均每千克白糖的单价是b=____． 试设计一组具体的数据，比较a ，b 的大小，再据此猜想在一般情况下，谁比较合算。

15. 甲共买白糖n 千克，总计花去n x x x +++ 21元，平均每千克白糖的单价是a=n
x x x n +++ 21元． 乙共买白糖
n x x x 11121+++ 千克，总计花去n 元，平均每千克白糖的单价是b=n x x x n
1...1121+++元．
取,2,1,221===x x n 得.,3
4,5.1b a b a >== 一般地，当n>1且白糖价格不是常数时，乙买糖的方式比较合算．。