微型机继电保护基础3微型机保护算法

第三章 微型机保护算法
3-1 概述
数字滤波：
()s nT x
()s nT y
算法：
()s nT x 或
(s nT y 各种继电保护功能
此处，T[.] 分析、运算和判断
算法分类：1）()s
nT x 或()s nT y U 、I 、Z 、P −−−→−定值比较动作
）无法算出U 、I 、Z 、P 等 ，直接代入方程判断
评价算法的标准()⎪⎩
⎪
⎨⎧⎩⎨⎧运算工作量
数据窗长度需要的复数速度精度
两个指标是相互矛盾的，提高精度一般要降低速度，应当折衷
3-2假定输入为正弦量的算法
假定提供给算法的输入为纯正弦
⎩
⎨
⎧的输出输入信号为数字滤波器输入信号本身纯正弦
一、 两点乘积算法
以电流为例，设1i 和2i 分别为两个相隔为2
π
的采样时刻1n 和2n 的采样值，即：
()2
12π
ω=
-s s T n T n
则：
()()()I
I s s I
I s s I T n I T n i i I T n I T n i i 1012210111cos 22sin 2sin 2sin 2απαωααω=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++===+== 两式平方后相加，得： 2
22
1222122
12i i I i i I +=→+=
两式相除，得：i
x tg 2
112=
可见，只要知道任意两个相隔2
π的正弦量的瞬时值，就可以算出其幅值和相位。

构成距离保护时，需要同时计算出电压和电流的幅值和相位，与电流相似，已知n n 21,时刻的电压采样值，可以算出：
u
u x
u u u
tg
U 2
112
2212
1=
+=
所以i i u u I
U
z 2
121||2
2
2
2++=
=
)()(2
12
111i u x x
x arctg arctg i
u z
-=-= 困难之处需要计算反正切函数，将电流电压写成复数形式：
)(2
1sin cos 1211u u x x j ju U U u u +=+=∙
)(2
1sin cos 1211i i x x j jI I I I I +=
+=∙
U 2
U 1 αu 1 U 2 于是
jX R j j j j j j j I
U Z i i i u i u i u i u i i i i i i u u i i
u u +=+-++=-+-+=
++==
∙∙
1
2)())()
)((2
2
1
22
11
12
21
2
1
2
12121
2
12(
所以i i i u i u i i i u i u X R 1
2,1
22
2
1
22
12
2
1
12
2+-=++=
R 、X 算出后，可以直接与定值比较，决定是否动作。

二、 导数算法
仍一电流为例，设i 1为t 1时刻电流的瞬时值。

ααI I I w I t i 1011sin 2)sin(2=+= 该时刻的导数值为：
ααI I I w
w i i 1'
1'
cos 21cos 21==或
所以
）（
）
（‘‘’
‘
’w
i i i
u i u i i w
i i I w w X w
tg I 11111
1122
2
1
1
112
22
+-=
→⋅=
+=α
)
(1'
11
12
2
'
'11w
i i i u i u w w
R +⋅+
=
为求导数，取为两个周期相邻采样时刻n 和n+1的中点，然后用差分近似求导
)
(1
1)
(1
11
'
1'
u u
T u i i T
i n n s
n n s
-=-=
++
而t 1时刻的电流，电压瞬时值则用平均值：
)(2111i i i n n -=
+ )((2
1
11u u u n n -=+
导数算法需要的数据窗短，仅为一个采样间隔。

三、 半周积分法
半周积分算法的依据是一个正弦量在任意半个周期内绝对值的积分为一个常数S
()I tdt I dt t I S T T ω
ωαω2
2sin 2sin 22
/0
2
/0
=
=+=⎰
⎰
积分法与α无关，原因：图中两个阴影部分面积相等。

利用梯形法则，可以求出：
s N
N
s s T i i T i i T i i S 2
2
2
2
1
2
2
11
0++++
+≈
-
=[2
12
1
02
121N N K k i i i ++∑-=]s T
若用矩形积分法则，则：
s N K k s N s s T i T i T i T i S ⋅=+++≈∑-=-12
1
1
210
S 求出后，可以方便的求出S I 2
2ω
=
数据窗长度为10ms 算法本身具有一定的滤除高频分量的能力，但不能滤除直流分量。

3-3傅立叶算法（付氏算法）
一、基本原理
傅立叶算法的基本思路来自傅立叶级数，假定被采样的模拟信号是一个周期性时间函数，除基波外，还含有不衰减的直流分量和各种偕波，可以表示为：
()]sin cos [110
t n a t n b t x n n n ωω+=∑∞
=
n a 和n b 分别为各次偕波的正弦项和余弦项的振幅，1a 和1b 为基波
正、余弦项的振幅。

根据付氏级数原理，可以求出：
()tdt t x T a T
101sin 2ω⎰=
()tdt t x T b T
10
1cos 2ω⎰=
于是()t x 中的基波：
()=t x 11a t 1s i n ω+1b t 1cos ω=()11sin 2αω+t X 将()11sin αω+t 用和角公式展开，可以得到：
111cos 2αX a =
所以，
1
1
12
12122a b
tg b a X =+=α 即只要求出1a 和1b ，就可以方便的求出基波的
振幅12X 和相位1α，利用计算机计算时，上述积分运算式可以由梯形积分规则或矩形积分规则求出梯形：
()⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+++++=-s N N s s T N N x N N x T N x N x T N x N x T a 22sin 21sin 222sin 21sin 221sin 20sin 2121101ππππππ
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-=11
2sin 1N k k N k x N π
()⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+++++=-s N N s s T N N x N N x T N x N x T N x N x T b 22cos 21cos 222cos 21cos 221cos 20cos 2121101ππππππ =
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++∑-=1
102cos 21N k N k x N k x x N
π 为简化运算，用付氏算法时采样间隔一般为 30=s T ω即s T =1.667ms ，N=12此时：
=1a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-=112sin 21N k k N k x N π
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∑=1112sin 2121k k N k x π
=
[]
1110987543213230323121
x x x x x x x x x x -----+++++ = []
)()(3)(212
1
1175110842931x x x x x x x x x x x --++--++-+ =1b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-=10
2cos 21N k k N k x N π
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=∑=111
6cos 2121k k k x π
=
[]
11108765421030323032121
x x x x x x x x x x ++----+-+++ = [
]
)()(3)(212
1
108421175160x x x x x x x x x x +--+---+- 可见，具体运算还是比较简单的
上面在求解1a 和1b 时，用的是()t x 在[0，T]区间内的值更一般情况是，求1a 和1b 所用的一个周期的积分区间可以是()t x 的任一段，即：
()()tdt t t x T t b T
10
111cos 2
ω⎰+=
1t =0，即表示()t x 在[0，T]区间内积分t>0，表示在[]T t t +11,区间积
分，区间不同是得到的()11t a ， ()11t b 是有所不同的但由它们求出的基波振幅是不变的，初相1α变化
()()tdt t x tdt t x T
T
t t ωωsin sin 0
11
⎰⎰
=+
()11t a ， ()11t b X 2随1t （即1α）变化的轨迹如下：
(1t (1t 1t （1α） ()()tdt t t x T t a T
10111sin 2
ω⎰+=
任意次偕波
=
n a ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∑-=112sin 21N k k N kn x N π =
n b ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++∑-=1102cos 21N k N k x N nk x x N
π 二、付氏算法的滤波特性分析 1、 实际故障信号的情况
衰减直流分量
基波及整次偕波 与付氏算法假定不同 衰减的高频分量
2、 付氏算法对不衰减直流，各整次偕波却有很好的滤波效果。

3、 对任意频率分量的滤波能力见P56、图3-9、3-10 三、付氏算法和两点积算法的统一
两点积：纯正弦、相隔5ms 两个采样值 幅值和相位 纯正弦⎩⎨
⎧带通滤波
经信带号本身正弦ms 50
导数：纯正弦、两相邻点，求某一时刻t 的瞬时值及其导数的瞬时值 幅值和相位
正弦量导数超前自身 90，所以两者是统一的
——5ms 以后采样值、两者都反映输入中的相等
导数
付氏算法：其本质是对输入信号两个对基频信号相移差为 90的数字滤波器滤波分别得到()t
a 1和()t
b 1
，()t a 1和()t b 1
都反映输入中的纯正弦信
号，但两者相位相差 90，所以，它与两点积算法也是统一的。

()t b 1相当于1i 或1u ，()t a 1相当于2i 或2u ，()t a 1和()t b 1
为同一时刻的值，
无须等待5ms 。

但要计算出()t a 1和()t b 1
，需要滤波，数据窗长度等于
20ms 。

2
12111112
12
11111I
I I
U I U I I I
U I U b a a a b b R b a b a a b X +-=
+-=
上述思想可以推广到其他情况,任何两个对工频移相 90的数字滤波器,都可以用于这种算法 ,如平波付氏
=1a ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∑-=1
2
12sin 4N k k N k
x N π
=1b ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++∑-=1212022cos 24N k N k x N k x x N π 3-4 解微分方程算法
一、 基本原理
R 、L
考虑金属性短路,则:
dt
di L Ri u += 相间短路（以A 、B 为例）⎩
⎨⎧-==B A AB i i i u u 接地短路（A 相）⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⋅+⋅+==0033i k i i k i i u u L a
r a a
,3,31
10110L L L k r r r k L r -=-=补偿系数 在21,t t 两个不同时刻分别测量2u,I,
dt di ，可以得到：
dt
di L Ri u 111+==11D L Ri ⋅+ dt di L
Ri u 222+==22D L Ri ⋅+ 两式联立，可以求出：
2
1121221D i D i i u i u L --= 21122122D i D i D u D u R --=
计算机计算时，导数可以用差分来近似计算，取21,t t 分别为两个
相邻采样瞬间的中间值，则：
s
n n T i i D -=+11 s n n T i i D 122++-=
电流电压取相邻采样的平均值，有：
211++=n n i i i ，2
212+++=n n i i i 211++=
n n u u u ，2212+++=n n u u u 代入R 、L 的计算式，即可以算出R 、L ，与动作边界相比较，就可以确定继电器是否动作。

计算机计算时，导数可以用差分来近似计算，取21,t t 分别为两个相邻采样瞬间的中间值，则：
s n
n T i i D -=+11
s n n T i i D 1
22++-=
电流电压取相邻采样的平均值，有：
211++=n n i i i ，22
12+++=n n i i i
211++=
n n u u u ，221
2+++=n n u u u 代入R 、L 的计算式，即可以算出R 、L ，与动作边界相比较，就可以确定继电器是否动作。

上式微分方程还可以通过积分的方法解出：
⎰⎰⎰+++⋅+=0110
11011T t t T t t T t t dt dt di L idt R udt
⎰⎰⎰+++⋅+=022022022T t t T t t T t t dt
dt di L idt R udt
()()1010110
11t i T t i i dt dt di T t t T t t -+==⋅++⎰
()()20202
2022t i T t i i dt dt di T t t T t t -+==⋅++⎰
()()[]s T t t T T t u t u dt u ⋅++=⎰+01121011 =⎰+dt i T t t 0
11
=⎰+dt u T t t 011
=⎰+dt i T t t 022
代入上式，可以求出R 和L
一、 对解微分方程算法的分析和评价
1、 算法的频域分析
解微分方程算法假定路线为R-L 模型来考虑分布电容的影响，计及分布电容时，测量阻抗为：
()()d r th Z f Z C ⋅=1
11
11C j g C j r Z i C ωω++= 波阻抗
()111)(C j g C j r i ωωγ++= 传输常数
1C Z ，γ均为f 的函数，所以Z 也为f 的函数，rd 较小时，()rd rd th ≈ 所以：
()()()11111111c j g l j r c j g l j r f Z ωωωω++⋅++=
()1111L j R d c j r ωω+=+=
说明：rd 较小（即ω，d ）较小时，分布电容的影响完全可以忽略 rd 较小时，Z 的精度将受影响
图P60 3-12说明d<100km 时，用微分方程求出的R 、L 基本不受ω的影响，即分布电容的影响可以忽略。

d 较大时，随着ω变大，要保证精度，必须将高频成分滤掉。

若仅考虑R-C 模型，则对任何的频率成分，微分方程都成立，所以无须对信号做假设，实际有分布电容的存在，高频影响大，所以仅滤掉高频即可。

低通加微分方程 精确解低通实现较为方便，数据窗短。

解微分方程算法不受电网频率变化的影响。

2、误差分析
误差主要来自用差分取代导数，用平均代替1t 或2t 时刻值，与fs
密切相关fs 1000≥时，误差<1%
3、 算法稳定性
算式的分母可能出现为零的情况，此时溢出，分母减小，误差大，需要判断，出现时取下一个采样间隔值重新计算。

4、 评价：
1）不必滤除非周期分量，数据窗较短
2）低通配合时受信号躁声影响大
3）变窗方法可以解决上述问题
加：继电器动作方程的采样值算法见陈德树主编算法第六节。