高考数学二轮复习考点四《平面向量》

三、填空题 20．(2021·全国乙卷)已知向量 a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则 λ＝________．
答案
3 5
解析 解法一：由题设知 a－λb＝(1－3λ，3－4λ).由(a－λb)⊥b，得(a－ λb)·b＝(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝15－25λ＝0，解得 λ＝35.
15．(2021·湖南岳阳第一次模拟)已知等边三角形 ABC 的边长为 4，O 为 三角形内一点，且O→A＋O→B＋2O→C＝0，则△AOB 的面积是( )
A．4 3 B．833 C．433 D．2 3
答案 D
解析 根据题意，设 AB 的中点为 D，连接 CD，则O→A＋O→B＝2O→D，又 O→A＋O→B＋2O→C＝0，则O→C＝－O→D，则 O 是 CD 的中点，又△ABC 是边长为 4 的等边三角形，则 CD⊥AB，AD＝2，CD＝2 3，则 OD＝ 3，则 S△AOB ＝12×4× 3＝2 3.故选 D.
14．(2021·福建三明期末)设非零向量 a，b 的夹角为 θ，若|b|＝2|a|，且 (a＋2b)⊥(3a－b)，则 θ 等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B 解析 ∵非零向量 a，b 的夹角为 θ，|b|＝2|a|，且(a＋2b)⊥(3a－b)，∴ (a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3a2＋5|a|·|2a|cos θ－8a2＝0，∴cos θ＝12， ∴θ＝60°.故选 B.
19．(2021·辽宁铁岭六校高三模拟)下列说法中错误的是( ) A．已知 a＝(1，2)，b＝(1，1)且 a 与 a＋λb 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是－53，＋∞ B．向量 e1＝(2，－3)，e2＝12，－34不能作为平面内所有向量的一组基 底 C．非零向量 a，b，满足|a|>|b|且 a 与 b 同向，则 a>b D．非零向量 a 和 b，满足|a|＝|b|＝|a－b|，则 a 与 a＋b 的夹角为 30° 答案 AC
解法二：因为 a＝(1，3)，b＝(3，4)，所以 a·b＝1×3＋3×4＝15.由(a －λb)⊥b，得(a－λb)·b＝a·b－λb2＝15－λ(32＋42)＝15－25λ＝0，解得 λ＝35.
21．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量 a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b ＋b·c＋c·a＝________．
解析 因为 a∥b，所以 3m＝－8，解得 m＝－83，A 错误；若 m＝0，则 a＝(0，2)，b＝(－4，3)，cos 〈a，b〉＝2×6 5＝35，sin 〈a，b〉＝45，B 正 确；因为 a⊥b，所以－4m＋6＝0，解得 m＝32，C 错误；因为 a＋b＝(m－4， 5)，所以 （m－4）2＋52＝13，解得 m＝－8 或 16，D 正确．
2 3
C．
7 9
D．
2 9
答案 B
解析 因为 a，b 是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.因为 c＝ 7a＋ 2b，所以
|c|＝| 7a＋ 2b|＝ （ 7a＋ 2b）2＝ 7|a|2＋2|b|2＝3.所以 cos 〈a，c〉＝|aa|·|cc|
a·（ ＝
7a＋ |a||c|
2b） ＝
7|a|2＋ 2a·b
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案 D
解析 如图所示，以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴建立平面直角坐 标系，则 A(0，2)，B(2，0)，C(0，0)，P23，34，C→P·C→A＋C→P·C→B＝23，34·(0， 2)＋23，43·(2，0)＝83＋43＝4.故选 D.
答案 －92 解析 由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b ＋b·c＋c·a)＝0，因此，a·b＋b·c＋c·a＝－92.
16．(2021·江苏南通一中模拟)已知向量 a，b 是两个夹角为π3的单位向量， 且O→A＝3a＋5b，O→B＝4a＋7b，O→C＝a＋mb，若 A，B，C 三点共线，则O→A·O→C ＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18 答案 A 解析 由 A，B，C 三点共线，得O→C＝xO→A＋(1－x)O→B＝(4－x)a＋(7－ 2x)b，故47－ －x2＝x＝1m，，解得 m＝1.则O→A·O→C＝(3a＋5b)·(a＋b)＝3a2＋8a·b＋5b2 ＝12.故选 A.
17．(2021·广东揭阳高三教学质量测试)在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD ＝3，M，N 分别是 AB，AD 上的动点，且满足 2AM＋AN＝1，设A→C＝xA→M＋ yA→N，则 2x＋3y 的最小值为( )
A．48 B．49 C．50 D．51
答案 B
解析 如图，建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)， D(0，3).设 M(m，0)，N(0，n)，因为 2AM＋AN＝1，所以 2m＋n＝1，0<m<12， 0<n<1.因为A→C＝xA→M＋yA→N，所以 x＝m4 ，y＝3n，所以 2x＋3y＝m8 ＋9n＝m8 ＋n9 (2m＋n)＝25＋8mn＋18nm≥25＋24＝49.当且仅当8mn＝18nm，即 m＝27，n＝37时 取等号．故选 B.
9．(2021·广东韶关第一次综合测试)在△ABC 中，点 M 为 AC 上的点，
且A→M＝12M→C，若B→M＝λB→A＋μB→C，则λ－μ 的值是(
)
A．1
B．12
C．13
D．23
答案 C
解析 由A→M＝12M→C可知，A→M＝13A→C，则有B→M＝B→A＋A→M＝B→A＋13A→C＝
B→A＋13(B→C－B→A)＝23B→A＋13B→C，所以 λ＝23，μ＝13，λ－μ＝13.
8．(2021·河北秦皇岛第二次模拟)在△ABC 中，已知|A→B＋A→C|＝|B→C|，|A→B |＝4，|A→C|＝3，B→D＝2D→C，则A→C·A→D＝( )
A．43 B．3 C．136 D．6
答案 D
解析 ∵|A→B＋A→C|＝|B→C|，∴|A→B＋A→C|＝|A→C－A→B|，∴|A→B＋A→C|2＝|A→C－ A→B|2，∴A→B2＋A→C2＋2A→B·A→C＝A→B2＋A→C2－2A→B·A→C，∴A→B·A→C＝0，∴A→B ⊥A→C.∵B→D＝2D→C，∴A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13C→B＝A→C＋13(A→B－A→C)＝13A→B＋23 A→C，∴A→C·A→D＝A→C·13A→B＋23A→C＝13A→C·A→B＋23A→C2＝6.故选 D.
考点四 平面向量
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．(2021·山东临沂一中模拟)已知向量 a，b 满足 a＝(1，2)，a＋b＝(1 ＋m，1)，若 a∥b，则 m＝( ) A．2 B．－2 C．12 D．－12 答案 D 解析 b＝(a＋b)－a＝(1＋m，1)－(1，2)＝(m，－1).因为 a∥b，所以 2m＋1＝0，解得 m＝－12.故选 D.
|a||c|
＝
7 |c|
＝
7 3
，
所
以
sin
〈a，c〉＝
1－
372＝
32.故选
B.
5．(2021·河北高三 4 月模拟)在△ABC 中，若D→B＝12B→C，则A→D＝(
)
A．32A→B－23A→C
B．12A→B－12A→C
C．32A→B－12A→C
D．23A→B－12A→C
答案 C 解析 A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋32C→B＝A→C＋32(A→B－A→C)＝32A→B－12A→C.
解法二：设 P(x，y)，建立如图 2 所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)， B(2，0)，A→P＝(x，y)，A→B＝(2，0)，所以A→P·A→B＝2x，由题意可得点 C 的横 坐标为 3，点 F 的横坐标为－1，所以－1<x<3，所以－2<A→P·A→B<6.
13．(2021·山东泰安一中模拟)在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝π2，AC ＝BC＝2，点 P 是斜边 AB 上一点，且 BP＝2PA，则C→P·C→A＋C→P·C→B＝( )
6．(2021·江苏七市第三次调研)已知点 A(1，1)，B(7，5)，将向量A→B绕
点 A 逆时针旋转π2得到A→C，则点 C 的坐标为(
)
A．(5，－5) B．(3，－7)
C．(－5，5) D．(－3，7)
答案 D
解析 A→B＝(6，4)，则A→C＝(－4，6)，又 A(1，1)，所以 C(－3，7).
10．(2020·全国卷Ⅲ)已知向量 a，b 满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则 cos〈a，a＋b〉＝( )
A．－3315 B．－1395 C．1375 D．1395 答案 D 解析 ∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19， |a＋b|＝ （a＋b）2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 25－2×6＋36＝7，∴cos 〈a，a ＋b〉＝a·|（a||aa＋＋bb）| ＝51×97＝1395.故选 D.
解法二：a·b＝a·c⇒ |c|cos 〈a，c〉＝|b|cos 〈a，b〉＝2 3.
12．(2020·新高考Ⅰ卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一 点，则A→P·A→B的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6)
答案 A
解析 解法一：如图 1，A→B的模为 2，根据正六边形的特征，可以得到 A→P在A→B方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可 知A→P·A→B等于|A→B|与A→P在A→B的方向上的投影的乘积，所以A→P·A→B的取值范围 是(－2，6)，故选 A.
11．(2021·湖南衡阳毕业班联考)非零向量 a，b，c 满足 a·b＝a·c，a，b 的夹角为 30°，|b|＝4，则 c 在 a 上的投影为( )
A．2 B．2 3 C．3 D．4
答案 B
解析 解法一：a·(b－c)＝0，如图，OA⊥BC，直线 OA 交 BC 于点 D， ∠DOB＝30°，则 c 在 a 上的投影为 OD＝|b|cos 30°＝2 3.
A． 6 B．2 C．3 D．2 2 答案 A
解析 因为 a⊥b，所以 a·b＝0.又|a＋2b|＝5，所以|a|2＋4|b|2＝25，所以 |b|＝ 6.
4．(2021·新高考八省联考)已知单位向量 a，b 满足 a·b＝0，若向量 c＝
7a＋ 2b，则 sin 〈a，c〉＝( )
A．
7 3
B．
二、选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求) 18．(2021·福建厦门第一次质量检测)已知向量 a＝(m，2)，b＝(－4，3)， 下列说法正确的有( ) A．若 a∥b，则 m＝－38 B．若 m＝0，则 a 与 b 夹角的正弦值为45 C．若 a⊥b，则 m＝－32 D．若|a＋b|＝13，则 m＝－8 或 16 答案 BD
解析 对于 A，a·(a＋λb)＝3λ＋5>0，且 λ≠0，所以λ>－53且 λ≠0，故
A 错误；对于 B，向量 e1＝4e2，即 e1 与 e2 共线，故不能作为平面内所有向 量的一组基底，故 B 正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故 C 错误； 对于 D，构造菱形，则 a 与 a＋b 的夹角为 30°，故 D 正确．故选 AC.
2．(2021·海南第二次模拟)已知向量 a＝(m，－1)，b＝(3，－4)，且|a| ＝1，则 a·b＝( )
A．－4 B．1 C．4 D．7 答案 C
解析 因为|a|＝1，所以 m＝0，a·b＝0×3＋(－1)×(－4)＝4.
3．(2021·辽宁沈阳郊联体第三次模拟)已知向量 a，b，a⊥b，|a|＝1，若 |a＋2b|＝5，则|b|＝( )
7．(2021·山东实验中学模拟)已知平面向量 a，b 满足(a＋b)·b＝2，且|a| ＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝( )
A． 3 B． 2 C．1 D．2 3
答案 C
解析 由(a＋b)·b＝2 及|b|＝2，得 a·b＋|b|2＝2，所以 a·b＝－2，|a＋b| ＝ （a＋b）2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 12＋2×（－2）＋22＝1，故选 C.