材料力学之应力分析与强度理论

max
2、空间应力状态的概念
B
max
D
三向应力圆
A
主应力
O
最大剪应力
max
1
3
2
3 2
3、应力应变关系
1
（1）、广义胡克定律
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 2 1 3 1
3 3 2
4、空间应力状态下的应变能密度
v
1 2E
2 1
22
2 3
2 1 2
45o
测试值
2E
1
200 109
-2 10-4
40106 0.7 =52.3（MPa）
1
1.3
1 3
x
y
2
（ x
y
2
）2
2 x
40 65.84
105.84 MPa
25.84
MPa
eq3 1 3 131.7 MPa 150 MPa
f300
D2
f500
D1
例: 图示传动轴，传递功率PK=7 kW ，转速n=200 r/min。皮带轮重量 W=1.8 kN。左端齿轮上啮合力F与 齿轮节圆切线的夹角(压力角)为20º
W
eq4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
统一形式：
eq
M eq W
[ ]
M eq3
M
2 z
M
2 y
T
2
M eq4
M
2 z
M
2 y
0.75T
2
例1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(
单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
25 3 4 5 B 9 5
A
在坐标系内画出点
2
1
0
° 5
25 3
F B
2F
Me
2 2 / d 2 2 / 0.22 6.3710, L 5 6.25104
A4
4
W 0.1 0.23
a 1 0.0625105 6.25103 WT 0.2 0.23
F /
63.7 6.25104
2
4
6.25103
2
120106 /
63.7 6.25104
0
A(95,25 3)
1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与
轴的交点C便是
圆心，以C为圆心 ，以AC为半径画 圆——应力圆
(MPa)
B
3
O
2
A
20
C
20MPa
1
(MPa)
主应力及主平面如图
1 120 220 30
0 30
25 3
2
1
0
° 5
45 B 95
A
25 3
0
1
(MPa)
B
3
O
W
5475kN
WT
A
1 3
x
y
2
（ x
y
2
）2
2 x
6.2 30.74
36.94 MPa
24.54
MPa
eq4
1 2
1
2 2
2
3 2
1
3
2
53.6 MPa
安全。
例: 图示压力机，最大压力F=1400 kN，机架用铸铁作成，许用拉应力
[t]=35 MPa，许用压应力[c]=140 MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。
因全轴上扭矩相等，所以扭矩图略。作xz平面内的My图和作 xy平面的Mz图，可以看出D截面为危险截面，其上的内力为
T 0.3343 kN m
M D
M
2 y
M
2 z
0.82 0.362 0.877 kN m
（3）最后根据第三强度理论设计轴的直径
eq3
M
2 D
T2
[ ]
Wz
d3
M
2 D
2
4
6.25 103
2
120106 / 63800 18.8kN
弯扭组合试验
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
2
sin 2
1
x
y
2
x
y
2
cos 21
xy
2
sin 21
2
x
y
2
x
y
2
cos 22
xy
2
sin 22
3
x
y
2
x
y
2
cos 23
xy
2
sin 23
1 = 0， 2 = 45， 3 = 90 x 0 y 90 xy 0 2 45 90
有棱角的截面
max
Mz Wz
My Wy
[ ]
圆截面
max
M
2 z
M
2 y
[ ]
W
3、拉伸（压缩）与弯曲
有棱角的截面
max
FN ,max A
M z,max Wz
M y,max Wy
[ ]
圆截面
max
FN ,max A
M max W
[ ]
4、弯曲与扭转
eq3
M 2 T 2 [ ]
。轴材料的许用应力[]=80 MPa，
试按第三强度理论设计轴的直径。
CD
A
B
200 400 200 W
解（1）外力简化(建立计算模型)：外力向AB轴轴线简化，并计 算各力大小。
T 9.55 PK 9550 7 334.3N m
n
200
Fz
2T D2
2 0.3343 0.3
2.228
kN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFy Fz tan 20o 2.228 0.36397 0.811 kN
•
你吃过的苦，会照亮未来的路。。下 午3时56 分18秒 下午3 时56分1 5:56:18 22.3.23
•
生活不会向你许诺什么，尤其不会向 你许诺 成功。 它只会 给你挣 扎痛苦 和煎熬 的过程 。所以 要给自 己一个 梦想， 之后朝 着那个 方向前 进。如 果没有 梦想， 生命也 就毫无 意义。 。22.3.2 322.3.2 315:56 15:56:1 815:56: 18Mar-22
2
A
20
C
20MPa
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
1 2
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 x
25 3 y 45MPa
1
° 5
0
y 25 3MPa x
y Ox
x ?
6095MPa 6025 3MPa
x
y
2
sin 2
x
cos 2
例：评价水轮机主轴的强度
立柱截面的几何性质如下：yc=200 mm，h=700 mm，A=1.8×105 mm2，
Iz=8.0×109 mm4。
yzc
解：由图可见，载荷F偏离立柱
C
轴线，其偏心距为：
y h
e=yc+500=200+500=700 mm。 在偏心拉力F作用下横截面上的
e
内力及各自产生的应力如图：最
F F
a
bF
•
办企业有如修塔，如果只想往上砌砖 ，而忘 记打牢 基础， 总有一 天塔会 倒塌。 。2022 年3月23 日下午 3时56 分22.3.2 322.3.2 3
•
成功最重要的就是不要去看远方模糊 的，而 要做手 边清楚 的事。 。2022 年3月23 日星期 三下午 3时56 分18秒1 5:56:18 22.3.23
T
2
0.8772 0.33432 106 0.1173107 mm3
32
[ ]
80
d 3 0.1173107 32 49.3 mm
取d＝50 mm
已知圆钢轴直径d=200mm,在其右
拐边缘C中心作用有竖直方向力F y ，在B中心作用有水平方向力2F。
已知：梁跨长L=5a, a=1m。材料
组合变形习题课
一、应力分析和强度理论
1、平面应力状态分析
（1）斜截面上的应力
x x
y 2 y
2
x y
2
sin 2 x
cos cos
2 2
x
sin
2
注意：α定义为x轴逆时针转到斜截面上外法线
（2）主平面和主应力
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 x
0
1 2
arctan
x
2 x
y
注意：什么叫主应力？一、二、三向应力状态应当怎么样判断？
2 3
1 3
体积改变比能
vV
1 2
6E
1 2
3 2
形状改变比能
1
vd 6E
1 2 2 2 3 2 1 3 2
5、四个常用强度理论
强度理论的统一形式： eqk [ ]
• 第一强度理论： • 第二强度理论： • 第三强度理论： • 第四强度理论：
eq1 1
eq2 1 2 3
低碳钢构件中危险点应力状态如右图所示， 材料的最大剪应力作用面是
10MPa 60MPa
90MPa
A.
B.
C.
D.
（3）应力圆
E
y
x
2
O
A2 B2
y D2
D1
2 0
CF
B1 A1
x 1
应力圆和单元体的对应关系
圆上一点，体上一面； 圆上半径，体上法线； 转向一致，数量一半； 直径两端，垂直两面。
3F2
3 2Tn D1
3 2 0.3343 0.52
4.012
kN
f300
D2
f500
D1
CD
A
B
200 400
y T
Fz Fy 0.446
My kN·m 0.16kN·m
Mz
200 W
T x
3F2 W 0.8kN·m
0.36kN·m
F1=2F2 y
z
W
Fz
F2 Fy
F
20o
（2）作轴的扭矩图和弯矩图(确定轴的危险截面)
45o
拉伸对应
2E
1
45o
剪切对应值
E
1
现在已测得圆杆表面上一点a沿45方向的线应变 45o=-2×10-4, 是上述两45方向的线应变之和
45o 测试值 45o 剪切对应值 45o 拉伸对应值
E45o 剪切对应值 E 45o 测试值 45o 拉伸对应值 =
1
1
E
m
已知：N 37500kW , n 150rpm G 285kN , W 390kN ,
P 4800kN , [ ] 80MPa
F
GF
P
d 340mm , D 750mm
求：按第四强度理论校核轴的强度
m
解：
M
e
m Me
9550 PK n
30.1MPa
2388
kNm
F
F P GW 12.4MPa
大组合正应力发生在截面内、外 侧边缘a、b处，其值分别为
500
a
b
F A F A
Feyc Iz
Fey2 Iz
32.3 MPa 53.5 MPa
可见，立柱符合强度要求。
例: 圆截面杆受力如图，材料的弹 性模量E=200GPa,泊松比µ=0.3，许 用应力[σ]= 150MPa,若已分别测得 圆杆表面上一点a沿x轴线以及沿与 轴线成45方向的线应变εx=4.0×104,ε45o=-2.0×10-4,试按第三强度理论 （最大切应力理论）校核该圆杆的
eq3 1 3
eq4
1 2
1
2
2
2
3
2
1
3
2
二、组合变形
1、组合变形解题步骤 ①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解； ②内力分析：求每个外力分量对应的内力图，确 定危险面；
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加；
④强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度 计算。
2、两相互垂直平面内的弯曲
A
的许用应力[σ]=120MPa。若不
计弯曲切应力的影响，试：按照 第三强度理论确定作用在轴上的 z
载荷F的容许值。
解：危险截面在根部A处， 按照第三强度理论,在危险 点：
eq3
2F A
FL W
2
4
Me WT
2
F
2 L AW
2
4
a WT
2
A dd
d L
L
F
C
Ba 2F x
强度。
解（1）由于正应变仅引起正应力，不影响应力。先计算正应变仅引起正应力
x E x 200 109 4 104 80 MPa
（2）分析正应力σX在45o方向产生的正应变
利用广义胡克定理计算
45o
拉伸对应
2E
1
而扭转切应力τ在45o的线应变为
45o
2
45o
2
2
45o
剪切对应值
E
1
•
命运是一件很不可思议的东西。虽人 各有志 ，但往 往在实 现理想 时，会 遭遇到 许多困 难，反 而会使 自己走 向与志 趣相反 的路， 而一举 成功。 。2022 年3月下 午3时5 6分22. 3.2315: 56March 23, 2022
•
现代社会是竞争的社会，瓜葛的社会 。而且 ，也意 味着现 代的人 ，生活 在嫉妒 的温床 中。。2 022年3 月23日 星期三 3时56 分18秒1 5:56:18 23 March 2022
y
90
45
0
x
45 直角应变花
F y
z
a
l
B
R1
A
R2
C Uout
R4
R3
D
E
读 1 2 3 4
如何组桥直接测量 , ？
2 1
3
1
x
E
4
x
E
2
1
2E
x
1
E
x
3
1
2E
x
1
E
x
5
1
2E
x
1
E
x
6
1
2E
x
1
E
x
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命运本来就不公平所以我要改变命运 。。22. 3.2322. 3.23We dnesda y, March 23, 2022
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壮士临阵决死哪管些许伤痕，向千年 老魔作 战，为 百代新 风斗争 。慷慨 掷此身 。。202 2年3月 23日星 期三3 时56分1 8秒We dnesda y, March 23, 2022
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没有激流就称不上勇进，没有山峰则 谈不上 攀登。 。22.3.2 322.3.2 315:56: 1815:5 6:18Ma rch 23, 2022