华师大版数学八年级上14.1《勾股定理》ppt课件
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八年级上华东师大版14.1勾股定理课件
勾股定理的逆定理指出：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这 个三角形一定是直角三角形。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
华东师大版八年级上册14.反证法课件(共23张)
王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了
怎样的推理方法？
王戎的推理方法是:
假设李子不苦 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
生活实例: 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中，小华要告知妈妈的命题是什么？
课后作业
1、已知：一个整数的平方能被2整除.
求证：这个数是偶数.
2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
3、已知x＞0，y＞0，x+y＞2.
求证：1+x y
，1+y x
中至少有一个小于2.
4、求证： 2 是无理数.
5、求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于60º. 6、证明：等腰三角形的两底角必定是锐角. 7、证明：两直线平行，同旁内角互补. 8、如图，已知AB∥CD，
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
强调 用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
P
a
证明： 假设c与b不相交，
则c∥b.
b c
∵ a∥b，
∴ a∥c，
这与“c、a相交于点P”矛盾， ∴ 假设不成立，故c与b相交.
变式练习
怎样的推理方法？
王戎的推理方法是:
假设李子不苦 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
生活实例: 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中，小华要告知妈妈的命题是什么？
课后作业
1、已知：一个整数的平方能被2整除.
求证：这个数是偶数.
2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
3、已知x＞0，y＞0，x+y＞2.
求证：1+x y
，1+y x
中至少有一个小于2.
4、求证： 2 是无理数.
5、求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于60º. 6、证明：等腰三角形的两底角必定是锐角. 7、证明：两直线平行，同旁内角互补. 8、如图，已知AB∥CD，
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
强调 用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
P
a
证明： 假设c与b不相交，
则c∥b.
b c
∵ a∥b，
∴ a∥c，
这与“c、a相交于点P”矛盾， ∴ 假设不成立，故c与b相交.
变式练习
华东师大版八年级上册数学勾股定理PPT精品课件
设AB是△ABC中三边中最长边，则有
❖ AC2+BC2<AB2 → ∠ACB为钝角
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
华东师大版八年级上册数学课件：14. 1 勾股定理
BC
A B
B
华东师大版八年级上册数学课件：14. 1 勾股定理
归纳应用方法：
华东师大版八年级上册数学课件：14. 1 勾股定理
华东师大版八年级上册数学课件：14. 1 勾股定理
小组探究
试用小木棒拼出三边长度分别为如下数据的三角 形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按形
（2）6，7，10
钝角三角形
（3）5，12，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角） ②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
若 c2 ≠ a2 ++ b2 则△ABC不是直角三角形。
华东师大版八年级上册数学课件：14. 1 勾股定理
62 ++ 72 < 102 最长边所对的角是
__钝_角_____
华东师大版八年级上册数学课件：14. 1 勾股定理
6cm ⑵
华东师大版八年级上册数学课件：14. 1 勾股定理
5cm
13cm
12cm （3）
直角三角形
1勾股定理(第3课时)PPT课件(华师大版)
讲授新课
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°， 那么a2+b2=c2”是一个真命题. 思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°， 那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设， 再用反证法写出推理 过程.
讲授新课
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两 个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经 过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
讲授新课
练一练
1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
讲授新课
典例精析
【例1】求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有
两个交点A和A’。
a
● A，
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’
●
A
的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛
盾,假设不成立。
b
所以两条直线相交只有一个交点。
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第3课时 反证法
学习目标
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能 够运用反证法来证明一些问题； 2、理解并体会反证法的思想内涵； 3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念；
温故知新
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
华师大版八年级数学上册第十四章勾股定理PPT教学课件全套
解： 在 Rt△ABC 中， 斜边不确定， 这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从 而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
图 14－1－3
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
重难互动探究
探究问题一 理解勾股定理 (1)求出如图 14－1－4 所示直角三角形中未知边的长度； (2)在直角三角形 ABC 中， ∠C ＝ 90°， BC ＝ 12， AC ＝ 9，求 AB 的长； (3)已知：图 14－1－5 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 A 的面积是多少？ (4)已知：图 14－1－6 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 B 的边长是多少？
图 14－1－4
图 14－1－5
图 14－1－6
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
解：(1)如图 14－1－4，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝15， BC＝8.由勾股定理， 得 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289， ∴ AB＝17. (2)∵∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9 ，∴ AB2＝BC2 ＋AC2＝122＋92＝225, ∴AB＝15. (3) 由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方 形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 A 的面积是 37＋63＝100. (4)由勾股定理可知： 直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积， 故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.
华师大版初中八年级数学上册第14章《勾股定理》PPT课件
D
A
B
图1
CD
13
C
5
4
12
A3 B
图2
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于
1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条 边所对的角是直角？请说明理由
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第2课时
学习目标
情境引入
1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
A 2 E 2 D △FCB均为直角三角形. 1 F 由勾股定理，知
4
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
3 BF2=32+42=25，
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直 角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆
华东师大版八年级上册 14.1.1 直角三角形三边的关系 勾股定理 课件
解：由题可得
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
1勾股定理(第2课时)教学PPT课件(华师大版)
C. a 1， 2a，a 1
D. a 1， 2a，a 1
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断
△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2.
“直角三角形”为条件，数量关系a2+ b2= c2 数量关系a2+ b2= c2为条件，“直角三角形”
为结论. 是直角三角形的性质.
为结论. 是直角三角形的判定.
联系
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
讲授新课
典例精析
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经
验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判
断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250 海里; 在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
华东师大版八年级上册数学课件华师大版八年级数学上14.1.1勾股定理课件共17张ppt
米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什 么吗？
58
我们通常所说的29英
寸或74厘米的电视机，
46
是指其荧屏对角线的
长度
∵ 582 462 5480 742 5476
∴荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错。 灿若寒星
课堂小结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
观察图2
(1)正方形P中含有（） 个小9方格，即P的面积 是（）平方厘米。9
(2)正方形Q中含有（） 小方1格6 ，即Q的面积 是（）平方厘米。16
（每一格表示1平方厘米）
图2
(3)正方形R中含有（）2个5 小方格，即R的面积 是（）平方2厘5 米。
灿若寒星
SP=1
SR=2
你能发现图1中三个正方
形P，Q，R的面积之间有
灿若寒星
规律：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度 尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
画BC=5cmAC=12cm
量得AB=13cm
C
B
因为52+122=132
所以BC2+AC2=AB2
即：直角三角形两 直角边的平方和等 于斜边的平方。
灿若寒星
课堂练习
1.在Rt△ABC中，已知∠A=90°,AB=c,BC=，AC=b
（1）已知=a10，b=6，求c；
B
（2）已知ba=5，c=6，求.
a
a C=?6
=1?0
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得
58
我们通常所说的29英
寸或74厘米的电视机，
46
是指其荧屏对角线的
长度
∵ 582 462 5480 742 5476
∴荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错。 灿若寒星
课堂小结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2、运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
观察图2
(1)正方形P中含有（） 个小9方格，即P的面积 是（）平方厘米。9
(2)正方形Q中含有（） 小方1格6 ，即Q的面积 是（）平方厘米。16
（每一格表示1平方厘米）
图2
(3)正方形R中含有（）2个5 小方格，即R的面积 是（）平方2厘5 米。
灿若寒星
SP=1
SR=2
你能发现图1中三个正方
形P，Q，R的面积之间有
灿若寒星
规律：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度 尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
画BC=5cmAC=12cm
量得AB=13cm
C
B
因为52+122=132
所以BC2+AC2=AB2
即：直角三角形两 直角边的平方和等 于斜边的平方。
灿若寒星
课堂练习
1.在Rt△ABC中，已知∠A=90°,AB=c,BC=，AC=b
（1）已知=a10，b=6，求c；
B
（2）已知ba=5，c=6，求.
a
a C=?6
=1?0
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得
初中数学华东师大八年级上册勾股定理《勾股定理》讲课PPT
学习目标
1、探索并掌握直角三角形三边关系,体会数形结合、分类讨论、转 化等数学思想.
2.会应用勾股定理解决简单问题.
自主探索 活动1
观察手中的三个正方形，并回答下列问题。
用三个正方形的边拼成一个三角形.请用量角器量 一量，这个三角形是什么三角形？并完成学案相应 内容。
自主探索 活动2
在方格图中，用三角尺画出一个直角三角形，完成学 案相应内容。
三边的长为 5或 7 。
反馈练习
3、受台风的影响，一棵树在离地面3米处断裂，树
的顶部落在离树根底部4米处，问这棵树折断前有多
高？（注：树干与地面垂直）
课堂小结
1 本节课学习了哪些知识 ？
2 在知识应用过程中需要注意什么？ 3 你有什么收获？
拓展延伸
如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，接触到地 面后还剩2m，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处， 发现此时绳子末端刚好拉直接触到地面，求旗杆的 高度。
归纳总结
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方Leabharlann 几何语言：.B
在Rt△ABC中 ∵∠C=90°
a
c
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）
公式变形 ：
b2c2a2 a2 c2b2
Cb A
反馈练习
1、求出下列直角三角形中未知边的长度.
x
17
15
6
x
8
13 5
x
反馈练习
2、在一个直角三角形中，两边长分别为3、4，则第
作业布置
1、必做题：教材第111页 练习题1、2题 2、选作题：能力训练册第122页 第2、4题
谢谢聆听！
1、探索并掌握直角三角形三边关系,体会数形结合、分类讨论、转 化等数学思想.
2.会应用勾股定理解决简单问题.
自主探索 活动1
观察手中的三个正方形，并回答下列问题。
用三个正方形的边拼成一个三角形.请用量角器量 一量，这个三角形是什么三角形？并完成学案相应 内容。
自主探索 活动2
在方格图中，用三角尺画出一个直角三角形，完成学 案相应内容。
三边的长为 5或 7 。
反馈练习
3、受台风的影响，一棵树在离地面3米处断裂，树
的顶部落在离树根底部4米处，问这棵树折断前有多
高？（注：树干与地面垂直）
课堂小结
1 本节课学习了哪些知识 ？
2 在知识应用过程中需要注意什么？ 3 你有什么收获？
拓展延伸
如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，接触到地 面后还剩2m，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处， 发现此时绳子末端刚好拉直接触到地面，求旗杆的 高度。
归纳总结
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方Leabharlann 几何语言：.B
在Rt△ABC中 ∵∠C=90°
a
c
∟
∴a2+b2=c2（勾股定理）
公式变形 ：
b2c2a2 a2 c2b2
Cb A
反馈练习
1、求出下列直角三角形中未知边的长度.
x
17
15
6
x
8
13 5
x
反馈练习
2、在一个直角三角形中，两边长分别为3、4，则第
作业布置
1、必做题：教材第111页 练习题1、2题 2、选作题：能力训练册第122页 第2、4题
谢谢聆听！
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9 个单位面积； 9 个小方格，即A的面积是____ 正方形A中含有____ 9 个小方格，即B的面积是____ 9 个单位面积； 正方形B中含有____ 正方形C中含有____ 18 个小方格，即C的面积是____ 18 个单位面积；
你能说说图1-2的情况吗？
做一做
（2）观察图1- 3 ， 1- 4， 并填写下表：
弦图
பைடு நூலகம்
2 2 a +b
=
2 c
我国古代把直角三角形中较短的直 角边称为勾，较长的直角边称为股， 斜边称弦。
弦 勾
股
勾股定理(毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方，如果用a、b和c分别 表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 a2+ b2= c2
c b a
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
9米
12米
一起练一练
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
A 225 225 400
625
81 B
144
2、求出下列直角三角形中未知边的长度。
x
12
5
x
6
10
13
8
判一判
(1)直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满 足下面的式子： a² +b²=c² . ( ) (2) 直角三角形的两边长分别是3和4，则第三 边长是5. ( )
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
３ ４
小试牛刀
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°. ①若a = 5，b = 12，则c = ； ②若c= 10，b = 8，则a = .
A
C
B
2、若一个直角三角形的三边长分别为3， 4， x，则x＝ .
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
这些内容你都掌 握清楚了吗？
谢谢
勇闯新高
如图，一根竹子高１丈，折断后竹子顶 端落在离竹子底端３尺处。折断处离地面的 高度是多少？
小结：
1、通过用格点三角形及“弦图”的方式探 索直角三角形两直角边与斜边之间的关系。
2、得到直角三角形两直角边与斜边之间的 关系——勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。 3、练习的使用了勾股定理来解决直角三角 形里的一些问题。
A
勾股定理给出了直角三角形三边之 间的关系，即两直角边的平方和等于斜 边的平方。 2 2 2
c =a + b
b
C
c
B
a c 2 b2
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
b= c2-a2
a
c a b
2
2
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地 面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底 部12米处，旗杆折断之前有多高？
A
直 角 边
C
b
c a
斜 边
a
直角边
B
a
S= a2
如图，强大的台风使得一根旗杆在离地 面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底 部12米处，旗杆折断之前有多高？
9米
12米
在纸上作出任意两个直角三角形，分别 测量它们的三条边，看看三边的平方 之间有什么关系？与同伴交流
a2
b2
c2
探索1 （1）观察图1-1，直 角三角形三边的平方 分别是多少，它们满 足上面猜想的数量关 系吗？
A的面积 （单位面积）
图1- 3 图1- 4
B的面积 C的面积 （单位面积） （单位面积）
16 4
9 9
25 13
现在我们一起来探 索“弦图”的奥妙吧！
c a
b
S大正方形＝c2 S小正方形＝（b-a）2 S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形
1 即：c 2=4 ab+(b-a) 2 2 C2=2ab+a2-2ab+b2
八年级（上）第十四章
勾股定理
人类一直想弄清楚其他星球上是否存在 着“人”，并试图与“他们”取得联系，那 么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学 家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外 星人”联系的信号。
勾股定理有着悠久的历史。古巴比伦人 和古代中国人看出了这个关系；古希腊的毕 达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具 有古老文化的民族和国家都会说：我们首先 认识的数学定理是勾股定理。