运动学

2
dv
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。 r r r r s r
s r
s r
dv dt

dv dt
四、位移、速度与加速度之间的关系
1、位移和速度之间的关系
v
dr dt
d r v dt
t t0
略的物体。 二种情况：(1) 物体作平动时。
(2) 物体本身线度与其运动空间相比可以忽略。
注意： 质点是一个理想模型，不一定很小。
质点系： 有两个或者两个以上的质点所组成的系统。 刚体： 在外力作用下，形状和大小始终保持不变的
物体。
二、描述运动的三个先决条件 1、参照系(reference system) ：
v v0
得
d v a dt
积分


dv
dr dt
t 0
a dt
v v0
0
t
a dt
由v
得
r r0
d r v dt
积分

t d r 0 v dt
r r0
0
t
v dt
直角坐标系中
r xi yj zk
x
一般情形
z
z
k O i
( x 1 , y1 , z1 )
r
j
( x2 , y2 , z2 )
y
y
x
路程：质点运动过程中经过的空间距离
（A）P1P2 两点间的路程 是不唯一的, 可以是 s 或 s 是唯一的. 而位移 r （B） 一般情况, 位移 大小不等于路程. s r
直角坐标系
z
z
k O i
i 、 j、 k 叫单位矢量 性质 i j k 1
j
y
y
右手螺旋直角坐标
x
注意：（1）选用不同坐标系不影响物体运动性质。 （2）一般情况下，都采用地面为参考系。
（3）常见还有自然坐标、极坐标、球坐标等。
x
3、时间和时刻：不再介绍
三、 描述运动的物理量 1、位置矢量和位移矢量 位置矢量（位矢、矢径）： 从坐标原点指向质点
（2）变速圆周运动： v v ( t ), R ，则

d r
2
dt
2
2
大小：
d r
2
方向： d v 的方向。
dt
指向曲线凹的一侧。 直角坐标系中
d 2 y d 2z d x a 2 i 2 j 2k dt dt dt dt dv x dv y dv z i j k a xi a y j azk dt dt dt
1 2
at
2
v ， v 0 2a ( x x 0 )
2 2
1 2 2 x x o v ox t a x t 2 1 y yo vo t a y t 2 y 2
v x 2 v ox 2 2 a x ( x x o ) 2 2 v y v oy 2 a y ( y y o )
]m
y
v v0e
v0
( 1 .0 s
-1
1
)t
y 10 [1 e
y /m
10
( 1 .0 s
1
)t
]m
v /m s
0
t /s
v 0 /10
2.3 8.9974
0
t /s
v
t /s
y /m
v 0 /100
4.6 9.8995
v 0 /1000
6.9 9.9899
v 0 /10000
积分
v 0
v
v d v x a d x 0
v v 0 2 x a d x 0
2 2
x
对于匀加速直线运动，加速度 a 是恒量。
v v 0 at ，x x 0 v 0 t
匀加速平面运动
v x vo x a x t v vo y a yt y
d r ： 元 位移
一维运动： r
v
A
vA
r
v dt
t
vi
t
0
vdt
B
vB
t
2、速度与加速度之间的关系
a dv dt d v a dt
t t0
dr
t0
ti
t
t
0
v v v0
a dt
一维运动： v
分量式：
x x(t ) y y(t )
r r (t )
x
r
j
y
y
z z(t ) 轨道方程: y f ( x )
x
位移矢量 r
从 t 时刻到 t t 时刻的 t 时间内质点位置的变化。
大小： r
r r
r rB rA
9.2 9.9990
t 9.2s, v 0, y 10m
例4：质点沿 x 轴运动，加速度为 a 4 t （SI） 当 t 0 时，质点静止于 x 10 m处。试求质点的 速度，位置与时间的关系式。
解：
t 0 时， v 0 0 , x 0 10
t adt 0
v v v0
OM x ， t 0 时
人在原点， t 时刻到 达 E ，则 OE v 0 t
O
E
M
由几何关系：
OM EM

H h

x x v0t

H h
由上式可解得：
x
H H h
v0 t
对 x求一阶导数可以得到速度的大小
v dx dt H H h v0
其矢量形式：
Hv 0 v i H h
速度大小
2 2 2 v v v x v y vz
v r
平均速度
v x i v y j vz k
x y z i j k t t t t
速率：反映质点经过路程快慢的物理量。 平均速率： v
s t
y
B
瞬时速率：(速度的大小)
v lim r
t 0
t

dr dt
v
的方向：
t 0 时 r 的方向，即轨道切线向前方向。
直角坐标系中 瞬时速度
v dx dy dz i j k dt dt dt dt v x i v y j vz k dr
若质点沿 x 轴作直线运动，则
v v0
0 a dt
t
x x0
0 v dt
t
如果已知 a a ( x ) 和初始条件（ x x 0 时 v v 0 ）,求 v 那么
a dv dt dv dx dv v ， dx dt dx

故 vdv adx
y
r ( t1 )
O
s
p1
'
r
r (t 2 )
s
p2
（C）什么情况 r s ？
①单方向的直线运动;
z
x
②当 t 0 时 r s。 即： d r d s
（D）位移是矢量, 路程是标量.
2、速度和速率
速度:描述质点运动快慢和方向的物理量。 r 平均速度： v t 瞬时速度：
v
t 4tdt 0
2t
2
x x x0 x
t 2 0 2t dt
t 0 vdt
2 3 10 t 10 3
例：已知 a a (t ) ， t 0 时 v 0 、 r0 ，求 v (t ) 、 r (t )
dv 解： a dt
r (t ) OP
所在位置的矢量。
直角坐标系中
z
z
k O i
r
j
y
y
x
x
r xi yj zk
r 大小 r 方向
cos
r r
x y z
2 2
2
x r
cos
y r
cos
z r
z
k O i
z
运动方程:
求:(1) t 1( s ) 时质点的位矢。 (2) t 1( s ) 时质点的速度和加速度。 r1 2 i j（m） 解：（1） t 1( s ) dr v 2 i 2 tj （2） dt v t 1 2 i 2 j m /s
( 1 .0 s
1
1

v
dv v
v0
( 1 .0 s
1
) dt ,
0
t
v v0e
( 1 .0 s ) t
1
)t
o
v0
由速度定义
y
v
dy dt
v0e
t
0 d y v 0 0 e
y 10 [1 e
(-1.0s
-1
)t
dt
( 1 .0 s
1
)t
第一章 运动的描述
力学：研究机械运动(宏观物体之间或物体内
各部分之间的相对位置的变动)．
运动学：研究物体运动的描述及运动学量间的关系．
动力学：研究物体运动与物体间相互作用间的联系． 静力学：研究物体在相互作用下的平衡问题．
1-1 描述运动的基本概念
一、质点和刚体
质点： 在运动时形状，大小不起作用或者可以被忽
v 1 2 2 m / s ， tg 1 dv 2 a 2 j m /s dt
vy 45 vx
（SI制）
例2：路灯距离地面高度为 H ，行人身高 h ，若人 以匀速 v 背离路灯行走，人头顶的影子在地面上移
0
动的速度为多少？
解
设坐标原点在灯下，
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度 1 1 为 v 0 10 j (m s ) , 它的加速度为 a 1.0 v j (s ) 问 （1）经过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体在停止运动前经历的路程有多长？ 解：由加速度定义 a
dv dt ( 1.0s ) v

ds d


叫曲率半径。
O
dv a t ：大小 at dt a a t a n n 切向加速度
：大 法向加速度 a n
小
an
v
2

特例：
（1）匀速圆周运动： v 是常数， R ，则
at dv dt 0 ,a n v
2
R
， a n 的方向始终指向圆心
v lim s t ds dt dr dt v
r (t t )
s r
t 0
A r (t )
o
x
即：速度的大小就是速率。
3、加速度：反映运动速度变化快慢的物理量。
a lim vB v A
t 0
t
dv dt


dv dt
六 、自然坐标系中运动的描述 自然坐标：以轨迹上O为原点运动质点的 位置由它距离O点的弧长 s 来决定。 切向单位矢量 ：
沿轨迹的切线方向
法向单位矢量 n ：
与切向正交并指向轨 迹凹侧
ds 速度： v ，其中 v v dt
加速度：
a
dv
dt dt a t a n n
研究物体运动时所选定的参照物体或彼此不 作相对运动的物体系。
注意： （1）物体运动是绝对的，而运动描述是相对的。 （2）参照系的选择是任意的，可按照方便和问 题的性质来选，但一旦选定，问题的性质就确定 了。
2、坐标系：(coordinate system)
建立在参照系上，使运动描述定量化的数学抽象。
t
adt
五、运动学二类问题
运动方程 运动特征 二大类 运动特征 运动方程
微分问题
(v 、a )
积分问题
1、微分问题
r (t )
或
x x(t ) y y(t )
运动轨迹
v (t ) a (t )
通过消去t y=f(x)
通过微分 v

d ( v )

dv d v dt dt

其中 d dt d ds

t 0
lim

lim
t 0
n
t
t
(t )

ds v n n dt
n (t )
(t t )
n(t t )
a
dr dt
d r
2
2、积分问题 已知 v ( t ) 和初始条件 已知 a ( t ) 和初始条件
dv dt
r (t )
dt
2
v (t)
r (t )
2 例1：已知质点的运动方程 r 2 t i ( 2 t ) j