福建省莆田市2023届高三下学期3月第二次教学质量检测数学试题含答案

莆田市2023届高中毕业班第二次教学质量检测试卷
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集{
}2
U x =∈≤，{}2,3A =，则U
A =ð（
）
A .
{0,1}
B.{0,4}
C.{1,4}
D.{0,1,4}
2.设i 为虚数单位，i(1)1z -=，则||z =（）
A.1
B.
C.
D.2
3.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（
）
A.0.23
B.0.47
C.0.53
D.0.77
4.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A 为C 上的一点，AF 中点的横坐标为2，则||AF =（）
A.3
B.4
C.5
D.6
5.若23,26,212a b c ===，则（）
A.,,a b c 是等差数列
B.,,a b c 是等比数列
C.
111
,,a b c 是等差数列 D.111
,,a b c
是等比数列6.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为
31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）
A.3045.6g
B.1565.1g
C.972.9g
D.296.1g
7.已知函数()sin f x x =，将其图象向左平移
π
3
个单位长度，得到函数()g x 的图象．ABC 的顶点都是()f x 与()g x 图象的公共点，则ABC 面积的最小值为（）
A.
3
B.
3π C.23
D.23π
8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A.
66
B.
306 C.
33
D.
63
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知圆2
2
525
:(2)24
C x y ⎛
⎫-+-
= ⎪
⎝
⎭，点(0,1),(4,4)A B ，点M 在x 轴上，则（）
A.B 不在圆C 上
B.y 轴被圆C 截得的弦长为3
C.A ，B ，C 三点共线
D.AMB ∠的最大值为
π
2
10.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ（单位：秒）服从正态分布(
)2
8,N σ
，且(7)0.2P ξ≤=．从该地区高三男生的“50米跑”测试
成绩中随机抽取3个，其中成绩在()7,9间的个数记为X ，则（）
A.(79)0.8P ξ<<=
B.() 1.8E X =
C.()(5)
E E X ξ> D.(1)0.9
P X ≥>11.已知正四面体-P ABC 6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．若2a >，集合
{}T Q S PQ a =∈≤，则T 表示的区域可以是（
）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数()f x 的定义域为R ，且
()()()()(
)2
23,122f x y f x y f
x f y f f x ⎛
⎫+-=-=
+ ⎪⎝
⎭为偶函数，则（
）
A.(0)0f =
B.()f x 为偶函数
C.(3)(3)
f x f x +=--
D.
2023
1
()k f k ==
∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量a ，b 为单位向量，a ，b 的夹角为π
3
，则2a b -= _______．
14.8(1)(2)x x -+的展开式中8x 的系数为_______（用数字作答）
15.直线l 经过点3,05⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与曲线2(1)y x x =+相切，写出l 的一个方程_______．
16.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，B 关于直线AF 的
对称点为B '．若过A ，B '，F 三点的圆的半径为a ，则C 的离心率为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知正项数列{}n a 满足2221
2
41
33
n n
a a a ++⋅⋅⋅+=-．
（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n
n
b a =
，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：4n S <．18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，D 为AB
的中点，且CD =．
（1
）证明：c =；
（2）若π
4
ACB ∠=
，求ABC 的面积．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为正方形，22AB BC ==，E ，F 分别为AC ，1CC 的中点，11BF A B ⊥．
（1）证明：BF ⊥平面11A B E ；
（2）求平面11A B E 与平面11ACC A 夹角的余弦值．
20.互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方
差2119S =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2
270S =．
（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；
（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为
3
5
，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为1
2．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：
2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．
21.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2．已知双曲线Γ的焦点为A ，D ，两条渐近线分别为直线
,BE CF ．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；
（2）过A 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，(1)AM AN λλ=≠-
，若点P 满足MP PN λ=
，证明：P 在一条定直线上．
22.已知函数2()e 1,x f x ax a =--∈R ．（1）若()f x 的最小值为0，求a ；
（2）设函数2()()ln 2ln g x f x x x =--，若()g x 是增函数，求a 的取值范围．
莆田市2023届高中毕业班第二次教学质量检测试卷
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集{
}2
U x =∈≤，{}2,3A =，则U
A =ð（
）
A .
{0,1}
B.{0,4}
C.{1,4}
D.{0,1,4}
【答案】D 【解析】
【分析】根据已知得出全集U ，即可根据集合的补集运算得出答案.
2≤解得04x ≤≤，
则全集{
}
{}20,1,2,3,4U x =∈≤=，
则{}0,1,4U A =ð，故选：D.
2.设i 为虚数单位，i(1)1z -=，则||z =（）
A.1
B.
C.
D.2
【答案】B 【解析】
【分析】利用复数的四则运算求得z ，再利用复数的模的计算公式即可得解.【详解】因为i(1)1z -=，
所以2
1i 1i i i
z --===-，则1i z =+，
所以||z ==故选：B.
3.某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（
）
A.0.23
B.0.47
C.0.53
D.0.77
【答案】D 【解析】
【分析】根据全概率公式进行分析求解即可.
【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件123,,A A A 分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则123A A A Ω= ，且123,,A A A 两两互斥，
所以()()()1230.7,0.2,0.1P A P A P A ===，
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，
记事件B 为“选到绑带式口罩”，则()()()123|0.9,|0.5,|0.4P B A P B A P B A ===所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为()0.70.90.20.50.10.40.77P B =⨯+⨯+⨯=.故选：D .
4.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A 为C 上的一点，AF 中点的横坐标为2，则||AF =（）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】B 【解析】【分析】根据
AF
中点的横坐标求出A 点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.
【详解】由题意得：()1,0F ，准线方程为=1x -，设(),A m n ，则
AF
中点的横坐标为
1
2
+m ，
故
1
22
m +=，解得：3m =，由抛物线的焦半径可知：||314AF =+=.故选：B
5.若23,26,212a b c ===，则（）
A.,,a b c 是等差数列
B.,,a b c 是等比数列
C.
111
,,a b c 是等差数列 D.
111
,,a b c
是等比数列【答案】A 【解析】
【分析】根据已知指数式，求出,,a b c ，结合对数的运算法则及等差数列与等比数列的定义逐项判断即可得结论.
【详解】因为23,26,212a b c ===，
所以222222222log 3,log 6log 2log 31log 3,log 12log 4log 32log 3a b c ===+=+==+=+，则1b a c b -=-=，故,,a b c 是等差数列，故A 正确；
因为()2222222211log 31log 32log 3111,1log 3log 31log 31log 31log 3
b c a b ++++==+===++++，所以b c
a b
≠，故,,a b c 不是等比数列，故B 不正确；因为
()()()222222221111111111,1log 3log 3log 31log 32log 31log 31log 32log 3b a c b -=-=--=-=-+⨯+++++，
所以1111b a c b
-≠-，故111
,,a b c 不是等差数列，故C 不正确；
因为
()222222222211
2log 31log 31log 311log 3111,1111log 31log 31log 32log 32log 32log 3a b b c b c a b
+-+-+====-====-++++++，
所以11
11b c a b
≠，故111,,a b c 不是等比数列，故D 不正确.
故选：A .
6.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为
31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）
A.3045.6g
B.1565.1g
C.972.9g
D.296.1g
【答案】C 【解析】
【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为3
32π144πcm 3
V R =
=半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，
所以((22311
3π6π363πcm 33
V S S h =
+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3
144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C
7.已知函数()sin f x x =，将其图象向左平移
π
3
个单位长度，得到函数()g x 的图象．ABC 的顶点都是()f x 与()g x 图象的公共点，则ABC 面积的最小值为（）
A.
B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】先利用三角函数平移的性质得到()g x 的解析式，从而作出()(),f x g x 的部分图像，联立
()(),f x g x
的方程求得,,A C B 的坐标，再结合图像即可得到ABC 的高为h =时为2πAB =，从而得解.
【详解】因为将()sin f x x =的图象向左平移π
3
个单位长度，得到函数()g x ，所以()πsin 3g x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，故()(),f x g x 的部分图像如下，
，
不妨记()(),f x g x 的图像在x 轴正半轴的交点依次为,,A C B ，在x 轴负半轴的第一个交点为D ，由三角函数的性质易得//AB CD ，即ABC 的高h 是一个定值，其值为C 到AB 的距离，
联立sin πsin 3y x
y x =⎧⎪⎨⎛
⎫=+ ⎪
⎪⎝⎭⎩
，得πsin sin 3x x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，即ππsin cos cos sin sin 33x x x +=，则
13
sin cos sin 22
x x x +=3sin x x =，故tan 3x =ππ,Z 3x k k =+∈，
当π3x =时，π3()sin 32f x ==，即π3,32A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，当4π3x =时，4π3()sin 32f x ==-，即4π3,32C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，当7π3x =时，7ππ3()sin sin 332f x ===，即7π3,32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以33322h ⎛⎫
=
--= ⎪ ⎪⎝⎭
，因此要使得ABC 面积最小，只需使得ABC 的底边最短即可，
显然AB 是()f x 与()g x 图象的公共点中，作为ABC 的底边时，长度最小的边长之一，此时
7ππ
2π33
AB =
-=，所以()min
1
1
2π33π2
2
ABC S AB h =�创=
.
故选：B.
8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（
）
A.
66
B.
306
C.
33
D.
63
【答案】A 【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，找到MN 为1,A C BD 的公垂线，即线段MN 的长最小，进而表达出,M N 的坐标，从而利用线面角的夹角公式进行求解.
【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，
因为正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，
因为点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，
当点N 为,AC BD 交点时，MN ⊥BD ，过点N 作NM ⊥1AC 于点M ，此时MN 为1,A C BD 的公垂线，即线段MN 的长最小，设正方体边长为2，则()1,1,0N
，1
12,AA AC AC ===，因为1M CN ACA ，所以
11CN MC MN CA AC AA ==
2MN ==
，
解得：3
MC
=
，3MN =，
过点M 作MO AC ⊥于点O ，故11
MO MC OC
AA AC AC ==
，即32MO ==，解得：23MO =
，22
3
OC =，故242,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,024212,,,,333333MN ⎛⎫⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎭=-⎝⎝⎭
，平面11BCC B 的法向量为()0,1,0n = ，
设MN 与平面11BCC B 所成角大小为θ，
则
sin cos 6,MN MN MN n n n
θ===
⋅⋅
.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知圆2
2
525
:(2)24
C x y ⎛
⎫-+-
= ⎪
⎝
⎭，点(0,1),(4,4)A B ，点M 在x 轴上，则（）
A.B 不在圆C 上
B.y 轴被圆C 截得的弦长为3
C.A ，B ，C 三点共线
D.AMB ∠的最大值为
π
2
【答案】BCD 【解析】
【分析】A 选项，代入(4,4)B ，验证其是否在圆上；B 选项，由垂径定理得到弦长；C 选项，根据条件，可知AB 为直径，故A ，B ，C 三点共线；D 选项，结合AB 为直径，且x 轴为
()2
2
25224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭的一条切线，可得AMB ∠的最大值.【详解】A 选项，因为2
2525(42)424⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故(4,4)B 在圆C 上，A 错误；
B 选项，2
2525
:(2)24C x y ⎛
⎫-+-
= ⎪⎝
⎭的圆心为52,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，半径为52r =，圆心到y 轴的距离为2，由垂径定理，得y 轴被圆C 截得的弦长为22223r -=，B 正确；
C 选项，因为2
2525:(02)124C ⎛⎫-+-=
⎪⎝⎭
，故(0,1)A 在圆上，
又5AB ==，即AB 为半径的2倍，
因为(4,4)B 在圆C 上，故AB 为直径，过圆心C ，故A ，B ，C 三点共线，C 正确；D 选项，由C 知AB 为直径，由于圆心为52,
2⎛⎫ ⎪⎝
⎭，半径为52
，故x 轴为()2
2
25224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭
的一条切线，
故AMB ∠的最大值为π
2
，D 正确.故选：BCD.
10.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ（单位：秒）服从正态分布(
)2
8,N σ
，且(7)0.2P ξ≤=．从该地区高三男生的“50米跑”测试
成绩中随机抽取3个，其中成绩在()7,9间的个数记为X ，则（）
A.(79)0.8P ξ<<=
B.() 1.8E X =
C.()(5)E E X ξ>
D.(1)0.9
P X ≥>【答案】BD 【解析】
【分析】A 选项，由正态分布的对称性可知(79)P ξ<<，A 正确；B 选项，由()3,0.6X B 得到
() 1.8E X =；C 选项，求出()8E ξ=和()()559E X E X ==，得到大小关系；D 选项，由二项分
布计算出(0)0.064P X ==，利用对立事件概率公式求出(1)0.9P X ≥>.【详解】A 选项，由正态分布的对称性可知：(7)(9)0.2P P ξξ≤=≥=，故(79)10.220.6P ξ<<=-⨯=，A 错误；
B 选项，()3,0.6X B ，故()30.6 1.8E X =⨯=，B 正确；
C 选项，()8E ξ=，()()5551.89E X E X ==⨯=，故()(5)E E X ξ<，C 错误；
D 选项，因为()3,0.6X B ，所以()()0
3
3(0)C 0.60.40.064P X ==⨯=，
故(1)10.0640.9360.9P X ≥=-=>，D 正确.故选：BD
11.已知正四面体-P ABC
，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．若2a >，集合
{}T Q S PQ a =∈≤，则T 表示的区域可以是（
）
A. B.
C. D.
【答案】ABD 【解析】
【分析】先作出辅助线，得到正四面体的高，及侧面三角形的高，分22a <≤，2
a <<
及a ≥
T 表示的区域.
【详解】取BC 的中点E ，连接AE ，PE ，
过点P 作PO ⊥平面ABC ，则O 在线段AE 上，且2AO OE =，
，所以62BE EC ==，332
22
AE PE AC ===，
所以2
3AO AE =
=，22
OE =由勾股定理得：2PO ==，
因为{}
T Q S PQ a =∈≤，几何意义为以P 为球心，以a 为半径的球面及其内部与ABC 及其内部重合的部分，
当22a <≤时，此时由于0,2OQ OE ⎛==≤ ⎝⎦
，
此时T 表示的区域为以O 为圆心，以OQ =
为半径的圆，A 正确；
当322a <<22⎛= ⎝⎦
，比OE 大，比OA 小，
T 表示的区域为以O 为圆心，以OQ =
B 选项；
当a ≥
)
OA =+∞>，
T 表示的为以O 为圆心，以OQ =
为半径的圆内且在三角形ABC 内的部分，即为三角形
ABC ，D 正确，
C 选项不可能.故选：ABD
12.已知函数()f x 的定义域为R ，且
()()()()()2
23,12
2f x y f x y f
x f y f f x ⎛
⎫+-=-=
+ ⎪⎝
⎭为偶函数，则（
）
A.(0)0f =
B.()f x 为偶函数
C.(3)(3)f x f x +=--
D.
2023
1
()k f k ==
∑【答案】ACD 【解析】
【分析】对于A ，利用赋值法即可判断；对于B ，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C ，利用换元法结合()f x 的奇偶性即可判断；对于D ，先推得()f x 的一个周期为6，再依次求得
()()()()()()1,2,3,4,5,6f f f f f f ，从而利用()f x 的周期性即可判断.
【详解】对于A ，因为()()()()2
2f x y f x y f x f y +-=-，
令0x y ==，则()()()()2
20000f f f
f =-，故()200f =，则()00f =，故A 正确；
对于B ，因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，令0x =，则()()()()2
20f y f y f
f y -=-，又()f y 不恒为0，故()()f y f y -=-，
所以()f x 为奇函数，故B 错误；对于C ，因为322f x ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛
⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
令322t x -=-+，则3
22
x t =+，故()()3f t f t -=+，令322t x =-+
，则3
22
x t =-+，故()()3f t f t =-+，又()f x 为奇函数，故()()f t f t -=-，
所以()()33f t f t +=--+，即(3)(3)f x f x +=--，故C 正确；对于D ，由选项C 可知()()()3f t f t f t +=-=-，
所以()()()63f t f t f t +=-+=，故()f x 的一个周期为6，
因为()1f =
，所以()()11f f -=-=对于()()3f t f t =-+，
令2t =，得()()21f f ==，则()2f -=，令3t =，得()()300f f ==，则()30f -=，
令4t =，得()()41f f =-=，
令5t =，得()()52f f =-=令6t =，得()()630f f =-=，
所以()()()()()()123456000f f f f f f +++++=-=，又202333761=⨯+，所以由()f x 的周期性可得：
2023
1
()(1)(2)(3)(2023)(1)i f k f f f f f ==++++==
∑ ，故D 正确
.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得()f x 的奇偶性，再结合题设条件推得()f x 为周期函数，从而得解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量a ，b 为单位向量，a ，b 的夹角为π
3
，则2a b -= _______．
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算法则，结合转化法即可求得2a b - .
【详解】因为向量a ，b 为单位向量，a ，b
的夹角为
π3
，所以1a = ，1b = ，π1
cos 3
2
a b a b ⋅=⋅= ，
故()
2
2222244a b a b
a a
b b -=-=-⋅+ 2214414432
a a
b b =-⋅+=-⨯+=
，
所以2a b -=
.
14.8(1)(2)x x -+的展开式中8x 的系数为_______（用数字作答）【答案】15【解析】
【分析】利用二项式定理的展开式，即可解出．
【详解】因为888(1)(2)(2)(2)x x x x x -+=+-+，其中8(2)x +展开式的通项为
88188C 2C 2r r r r
r r r T x x --+=⋅=⋅，0,1,2,,8r = ，
所以展开式中8x 的系数为1100
88C 2C 215-=.故答案为：15.
15.直线l 经过点3
,05
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，且与曲线2(1)y x x =+相切，写出l 的一个方程_______．【答案】0y =（答案不唯一）【解析】
【分析】先对()f x 求导，再假设直线l 与()f x 的切点为()00,x y ，斜率为k ，从而得到关于00,,x y k 的方程组，解之即可求得直线l 的方程.【详解】因为()2
3
2
(1)y f x x x x x ==+=+，
所以
()232f x x x '=+，
不妨设直线l 与()f x 的切点为()00,x y ，斜率为k ，
则()2
000
0032
0032035k f x x x y k x y x x ⎧
⎪==+⎪
-⎪='⎨⎪-
⎪
⎪=+⎩，解得00000x y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩或00125x y k =⎧⎪=⎨⎪=⎩或003518125325x y k ⎧=-⎪⎪⎪
=⎨⎪⎪=-⎪⎩，
当000,0,0x y k ===时，直线l 为0y =；
当001,2,5x y k ===时，直线l 为()251y x -=-，即530x y --=；当003
183
,,512525
x y k =-=
=-时，直线l 为1833125255y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即1512590x y +-=；综上：直线l 的方程为0y =或530x y --=或1512590x y +-=.故答案为：0y =（答案不唯一）.
16.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，B 关于直线AF 的
对称点为B '．若过A ，B '，F 三点的圆的半径为a ，则C 的离心率为_______．【答案】1
2##0.5【解析】
【分析】由题意得到过A ，B ，F 三点的圆的半径也为a ，求出线段
AF 的垂直平分线的方程及线
段AB 的垂直平分线，求出交点及圆心坐标，从而利用半径列出方程，求出1
2
c a =，得到离心率.【详解】由题意得：过A ，B ，F 三点的圆的半径也为a ，其中()()0,,,0A b F c ，线段
AF
的中点坐标为,22c b ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故直线
AF 的斜率为b c
-
，故线段AF 的垂直平分线的斜率为c
b ，
故线段
AF 的垂直平分线的方程为22
b
c c y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭
，
又线段AB 的垂直平分线为0y =，
联立22b c c y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与0y =得：2
22c b
x c
=-，
故圆心坐标为2,022c b c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故半径为22
2222c b c b c c c -+=+，故2
22c b a c
=+，其中222b a c =-，
解得：
12
c a =.故答案为：1
2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知正项数列{}n a 满足2221
2
41
33
n n
a a a ++⋅⋅⋅+=-．
（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n
n
b a =
，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：4n S <．【答案】（1）1
2n n a -=（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）分类讨论1n =与2n ≥两种情况，利用数列递推式的性质，结合作差法即可求得
12n n a -=；
（2）结合（1）中结论，利用错位相减法求得n S ，由此得证.【小问1详解】
因为2221
2
41
33
n n
a a a ++⋅⋅⋅+=-，
当1n =时，2
11a =，因为 0n a >，所以11a =，当2n ≥时，12221
2
1
4133
n n a a a
--+++=- ，
两式相减得，()
122114141
423333n n n n n a ---⎛⎫
=---== ⎪⎝⎭
，因为 0n a >，所以1*
2,2,n n a n n -=≥∈N ，
经检验，上式对于1n =也适合，所以{}n a 的通项公式为1
2n n a -=.
【小问2详解】
由（1）得1
12n n n n b n a -⎛⎫
==⋅ ⎪
⎝⎭
，
所以2
1
1111123222n n S n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ，
2
1
1111112(1)22222n n
n S n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
两式相减得，2111111122222n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111122(2)12212n
n n
n n ⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-
所以14(24)2n
n S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，由于*n ∈N ，显然1(24)02n
n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭
，所以4n S <.18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，D 为AB
的中点，且CD =．
（1
）证明：c =
；
（2）若π
4
ACB ∠=
，求ABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2
）1+【解析】
【分析】（1）在ACD 和BCD △中分别利用余弦定理，然后结合πADC BDC ∠+∠=即可求解；（2）在ABC
中，利用余弦定理求出b =+.
【小问1详解】
如图，在ACD
中，由余弦定理可知：
222
2222
2244cos 222
c c b b AD CD AC
ADC c AD CD +-+-+-∠===⋅
，
在BCD △
中，由余弦定理可知：
222
2222
2244cos 222
c c a a BD CD BC
BDC c BD CD +-+-+-∠===⋅，
因为πADC BDC ∠+∠=，所以cos cos 0ADC BDC ∠+∠=，
222
222440c c b a +-+-=，整理化简可得：22
2
c b =，
所以c =
.
【小问2详解】由（1
）可知：c =
，因为π
4
ACB ∠=
，在ABC
中，由余弦定理可知：
2222242cos 242
a b c b b ACB ab b +-+-∠===
，
整理可得：240b +-=
，解得：b =
0b >
，所以b =
则2c =
=+11sin 21222
ABC S ab ACB =
∠=⨯⨯+⨯= 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为正方形，22AB BC ==，E ，F 分别为AC ，1CC 的中点，11BF A B ⊥．
（1）证明：BF ⊥平面11A B E ；
（2）求平面11A B E 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）
1
5
【解析】
【分析】（1）证明出1,,BA BC BB 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得
到11BF A B ⊥ ，1BF A E ⊥
，从而证明出线面垂直；
（2）求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值.【小问1详解】
因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，
所以1BB AB ⊥，又因为11BF A B ⊥，11//AB A B ，所以BF AB ⊥，因为1BB BF B ⋂=，1,BB BF ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，
因为1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以1,AB BC AB BB ⊥⊥，因为11BCC B 为正方形，所以AB BC ⊥，
故以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()()()()()()11110,0,0,0,2,1,1,0,2,0,0,2,,1,0,0,2,0,0,2,2,1,0,02B F A B E C C A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，因为()()110,2,11,0,00BF A B ⋅=⋅-= ，()110,2,1,1,22202BF A E ⎛⎫⋅=⋅--=-= ⎪⎝⎭ ，所以11BF A B ⊥ ，1BF A E ⊥ ，
因为111,A B A E ⊂平面11A B E ，1111A B A E A = ，
所以BF ⊥平面11A B E ，
【小问2详解】
由（1）可知：平面11A B E 的一个法向量为()0,2,1BF = ，
设平面11ACC A 的法向量为(),,m x y z = ，
则()()()()1,,1,2,020,,1,2,2220
m AC x y z x y m AC x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-++=⎪⎩ ，
解得：0z =，令1y =，则2x =，所以()2,1,0m =
，
设平面11A B E 与平面11ACC A 夹角为θ，故()()2,1,00,1,21cos cos ,54141m BF m BF m BF
θ⋅⋅====+⨯+⋅ ，故平面11A B E 与平面11ACC A 夹角的余弦值为15
.20.互花米草是禾本科草本植物，
其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方
差2119S =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270S =．
（1）求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；
（2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为
35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．
参考数据：
2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．
【答案】（1）28.8z =，2127.36
S =（2）3625
【解析】
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得z ，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；（2）先根据题意得到X 的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得X 各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.
【小问1详解】根据题意，得121821833628.812185
x y z +⨯+⨯=
==+，因为()
()()()()
121212222
111212i i i i i i x x x z x x x x x z x z ===-+-=-+--+-∑∑∑()
()()()()12121222221
112121212i i i i i i x x x z x x x z x x x z ===⎛⎫=-+--+-=-+- ⎪⎝⎭∑∑∑，同理()
()()18182221
112i i i i y y y z y y y z ==-+-=-+-∑∑，所以()()121822211130i i i i S x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()12182211130i i i i x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦
∑∑()()()()12182222111121230i i i i x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦
∑∑22221211212()1818(30
S x z S y z ⎡⎤=+-++-⎣⎦
()
22112191210.81870187.230=⨯⨯+⨯+⨯+⨯127.36 =，所以总样本的平均数为28.8z =，方差2127.36S =.
【小问2详解】
依题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，
设“第i 场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件i A ，“第i 场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件, 1,2,3i B i =，
则()()31,52
i i P A P B ==，所以()2
1234(0)1525P X P A A ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭，()()()
1231231231233133316(1)1152555225P X P A B A A A B P A B A P A B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，15(2)1(0)(1)25P X P X P X ==-=-==
，所以461536()01225252525
E X =⨯+⨯+⨯=.21.如图，正六边形ABCDE
F 的边长为2．已知双曲线Γ的焦点为A ，D ，两条渐近线分别为直线,BE CF ．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；
（2）过A 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，(1)AM AN λλ=≠- ，若点P 满足MP PN λ= ，证明：
P 在一条定直线上．
【答案】（1）2
2
13y x -=（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，从而得到b a
=24c =，结合222c a b =+即可求
得1a =，b =，从而得解；
（2）先考虑直线l 为x 轴的情况，求得此时1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，再考虑直线l 不为x 轴的情况，联立直线l 与双曲线Γ的方程得到1212,y y y y +⋅，再结合,AM AN MP PN λλ== 求得032y t =，从而得到012
x =-，由此得证.【小问1详解】
依题意，以直线AD 为x 轴，线段AD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，
因为在正六边形ABCDEF 中，EOD △为正三角形，60EOD ∠=︒，2OD ED ==，
设双曲线Γ的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
由已知得Γ的渐近线方程为y =，所以
b a
=又焦距24c AD ==，所以2c =，
又由2c a ==，则1a =，从而b =，所以双曲线Γ的方程为2
2
13y x -=.【小问2详解】
依题意，设()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ，
当直线l 为x 轴时，不失一般性，则()()1,0,1,0M N -，
又由（1）知()2,0A -，故(1,0),(3,0)AM AN == ，
所以13
AM AN = ，从而13λ=，则13MP PN = ，即()()000011,1,3x y x y +=--，解得1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；当直线l 不为x 轴时，设l 的方程为323x ty t ⎛
⎫=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭
，由1λ≠-可知0t ≠，联立22213x ty y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()
22311290t y ty --+=，则()
22Δ14443190t t =-⨯-⨯>，121222129,3131t y y y y t t +=⋅=--，因为AM AN MP PN
λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以()120120y y y y y y λλ=⎧⎨-=-⎩，消去λ，得()()201120y y y y y y -=-，所以120122183122y y y y y t t
===+，从而00312222x ty =-=
-=-，又1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线12x =-上，所以点P 在定直线12x =-
上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22.已知函数2()e 1,x f x ax a =--∈R ．
（1）若()f x 的最小值为0，求a ；
（2）设函数2()()ln 2ln g x f x x x =--，若()g x 是增函数，求a 的取值范围．
【答案】（1）2
a =
（2）(,4]
-∞【解析】
【分析】（1）利用函数最值与极值的关系推得0x =为()f x 的一个极值点，从而求得2a =，再代回检验是否满足题意即可得解；
（2）先利用同构法得到2ln 41e (2ln )12x x a x x x
+-⎡⎤≤-+-⎣⎦，再构造函数，结合（1）中结论证得2ln 1e (2ln )10x x x x x +⎡⎤-+-≥⎣⎦，从而得到402
a -≤，由此得解.【小问1详解】
因为2()e 1,x f x ax a =--∈R ，所以()00f =，
又()f x 的最小值为0，所以0x =为()f x 的一个极值点，
又因为2()2e x f x a '=-，所以(0)20f a '=-=，解得2a =，
检验：当2a =时，()
22()e 21,()2e 1x x f x x f x -='=--，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
当,()0x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，
故min ()(0)0f x f ==，满足题意，
综上，2a =.
【小问2详解】
因为函数()2
()()ln 2ln 0g x f x x x x =-->是增函数，所以22ln 2()2e
0x x g x a x x -'=--≥，即()
222ln 4ln 111e 2e 2ln 1e (2ln )12x x x x a x x x x x x x x x x +-⎡⎤≤---=---=-+-⎣⎦，令()2ln u x x x =+，则1210,(1)20e e
u u ⎛⎫=
-= ⎪⎝⎭，所以方程2ln 0x x +=有解，由（1）可知，2e 210x x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，
所以2ln e (2ln )10x x x x +-+-≥，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立，
所以当0x >时，2ln 1e (2ln )10x x x x x
+⎡⎤-+-≥⎣⎦，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立，所以402
a -≤，解得4a ≤，
.
所以a的取值范围为(,4]
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。