北京师范大学附属实验中学2021-2022 学年第二学期数学期中试卷(人教版 含答案)

北师大附属实验中学2021-2022 学年度第二学期期中试卷
初一年级数学
A卷
一、选择题（本题共8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意.每小题 3 分，共24 分）
1．在实数－1，，0，－中，最小的实数是（）
A．－1B．C．0D．－
2．如图，能判定的条件是（）
A．B．C．D．
3．下列说法中，正确的是（）
A．±3是（﹣3）2的算术平方根B．﹣3是（﹣3）2的算术平方根
C．的平方根是﹣3D．﹣3是的一个平方根
4．在平面直角坐标系中，点P（0，﹣4）在（）
A．x轴上B．y轴上
C．第三象限内D．第一、三象限的角平分线上
5．二元一次方程组的解（）
A．B．C．D．
6．下列命题中，假命题是（）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角
D．在同一平面内，如果，a⊥c，那么b⊥c
7．若是关于x、y的方程2x﹣y+2a＝0的一个解，则常数a为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（
▲2）▼等于（）
A．B．3C．6D．3
二、填空题（本题共8 小题，每小题 2 分，共16 分）
9．在某个电影院里，如果用表示排号，那么排号可以表示为__________．10．若，则______．
11．如果二元一次方程组的解为，则“”表示的数为__________．12．已知点P（m，6）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）___．
13．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度．
14．有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为729时，输出的y是
______________．
15．将点P（- 2 ，1）先向右平移2 个单位，再向上平移1 个单位后，则平移后点P
的坐标是______．
16．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，七年级举办了“古诗词”大赛，现有小刚、小强、小敏三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第1，2，3 名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c 且a，b，c 均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小敏同学第三轮的得分为______分．
最后得第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮
分
小刚a a24
小强a b c13
小敏c b11
三、计算题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
17．计算：
(1)；
(2).
18．求下列各式中的值：
(1)；
(2).
四、解方程组（本题共2小题，每小题6分，共12分）19．解下列方程组：
(1)（代入法）；
(2).
五、作图题（本题共2小题，每小题6分，共12分）
20．已知∠AOB及∠AOB内部一点P.
(1)过点P画交OB于点C；
(2)过点P画线段PD⊥OB于点D；
(3)比较线段PC与PD的大小是，其依据是.
21．如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A'B'C′，图中标出了点B的对应点B′．利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1）补全△A′B'C’；
（2）连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）在BB′上画出一点Q，使得△BCQ与△ABC的面积相等.
六、解答题（本题共3小题，22题6分，23题7分，24题7分，共20分）22．如图，AB CD，∠A＝70°，∠2＝35°，求∠1的度数．
23．下表是某超市两次按原价销售牛奶和咖啡的记录单：
牛奶（箱）咖啡（箱）销售金额（元）
30101400
第一次
10201300
第二次
(1)求牛奶与咖啡每箱原价分别为多少元？
(2)某公司后勤部去采购，发现该超市有一部分商品因保质期临近，正在进行打六折的促销
活动，于是后勤部决定采购原价或打折的咖啡和牛奶若干箱，其中采购的打折牛奶箱数是采购总箱数的，最后一共花费1860元. 请问此次按原价采购的咖啡有多少箱？
24．已知：射线AB∥射线CD，点P是平面内一点，连接PA，PC，射线AE平分∠PAB，射线CF平分∠PCD．
（1）如图1，若点P在线段AC上，求证：AE∥CF；
（2）若点P在线段AB所在直线的上方，且射线AE所在的直线与射线CF所在的直线相交于点Q．直接用等式表示∠APC与∠AQC的数量关系 ．
B卷
七、探究题（本题共3小题，25题6分，26题7分，27题7分，共20分）25．设a、b、c都是实数，且，求代数式的值．
26．对于任何实数a，可用[a] 表示不超过a 的最大整数，即整数部分，{a}表示a的小数部分，例如：[1.3] = 1，{-2.6}= 0.4 ，
(1)，；
(2)在平面直角坐标系中，有一序列点，，，
，请根据这个规律解决下面问题：
①点的坐标是；
②横坐标为10的点共有个；
③在前2022个点中，纵坐标相等的点共有个，并求出这些点的横坐标之和．
27．对于平面直角坐标系xOy中的点，若点Q的坐标为（其中k为
常数，且k≠0），则称Q是点P的“k系联动点”.例如：点的“3 系联动点”的坐标为
.
(1)点的“2系联动点”的坐标为；若点P的“系联动点”的坐标是，则点P的坐标为；
(2)设点的“k系联动点”与“系联动点”分别为点M，N，若线段轴，则点P 的位置分布在，请证明这个结论；
(3)在（2）的条件下，若MN的长度为OP的长度的3倍，求k的值.
北师大附属实验中学2021-2022 学年度第二学期期中试卷
初一年级数学答案
一、选择题
1-5：DADBB 6-8：CBA
二、填空题
9．（2，7）
10．
11．10
12．－1（答案不唯一）
13．75
14．
15．（0，2）
16．1
三、解答题
17．
(1)
解：
=2+5-10，
=-3
(2)
=，
=
18．
(1)
解：∵，∴，∴；
(2)
解：∵，∴，∴，∴．
19．
(1)
解：
由②得y=3-2x③，
把③代入①得3x-2(3-2x)=8，
解得：x=2，
把x=2代入③得y=3-2×2，
解得：y=−1，
所以原方程组的解为：；
(2)
①×3+②×2得19x=114，解得x=6
把x=6代入①得18+4y=16，解得，
所以原方程组的解为：．
20．
（1）
解：根据平行线的画法：
一落：用三角板的一边落在已知直线OA上；二靠：用直尺紧靠三角板的另一边；三移：沿直尺移动三角板，使三角板中与已知直线OA重合的边过已知点P；四画：沿过已知点P的三角板的边画直线；
作图如下：
（2）
解：根据垂线的画法：
一落：将直角三角板的一条直角边落在已知直线OB上；二移：沿已知直线OB移动三角板，使其另一个直角边经过已知点P；三画：沿与已知直线不重合的直角边画直线，该直线就是已知直线的垂线；
作图如下：
（3）
解：如图所示：
PC是斜边，PD是直角边，
根据直角三角形的斜边大于直角边可得：．
21．
解：（1）如图所示，连接，过点C作的平行线m，在m上截取，则点
就是点的对应点；过点A作的平行线n，在n上截取，点就是A的对应点，顺次连接得；
（2）由平移可得，AA′，BB′这两条线段之间的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）如图所示，根据同底等高的三角形面积相等，过A作BC平行线k与BB′的交点即为点Q．
22．
解：∵AB CD，
∴∠A+∠ACD＝180°．
∴∠ACD＝180°﹣∠A
＝180°﹣70°
＝110°．
又∵∠ACD＝∠1+∠2，∠2＝35°，
∴∠1+∠2＝∠1+35°＝110°，
∴∠1＝75°．
23．
（1）
解：设牛奶与咖啡每箱原价分别为x元，y元，
由题意可知：，解之得：，
∴牛奶与咖啡每箱原价分别为30元，50元；
（2）
解：设牛奶与咖啡的总箱数为a，采购的打折牛奶箱数是，设按原价采购的咖啡有b箱，
则采购原价牛奶和打折的咖啡箱数为：，
∵打折的咖啡一箱：元，原价牛奶一箱30元，打折牛奶一箱：元，原价咖啡一箱50元，
∴由题意可知：，
整理得：，
∵a，b均为整数，
∴或或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴此次按原价采购的咖啡有12箱．
24．
解：（1）若点P在线段AC上，
射线AB//射线CD，
（两直线平行，内错角相等）
射线AE平分∠PAB，射线CF平分∠PCD，
，（角平分线定义）
AE//CF（内错角相等，两直线平行）
（2）设PC与AB交于M，与AE交于N，
∵AB//CD，
∴∠AMP=∠DCP，
∵AE平分∠PAB，CF平分∠PCD，
，，
∴，
当点Q在射线AE上时，
∠AQC=∠ANC+∠PCF
（180°-∠APC），
∴2∠AQC - ∠APC = 180°；
当点Q在射线AE的反向延长线上时，
∵∠AQC+∠ANC+∠PCF=180°，
∴∠AQC=180°-∠ANC-∠PCF=180°--，=180°-=180°-∠APC-（180°-∠APC），∴∠APC + 2∠AQC = 180°；
∴综上所述，∠APC + 2∠AQC = 180°或2∠AQC - ∠APC = 180°.
25．
解：∵，
∴a + b -6=0，b + c +5=0，
∴a + b =6，
∴b=6-a，
∵b+c+5=0，
∴(6-a)+c+5=0，
∴a - c =11，
∴3а+ b -2c
= a + b +2a-2c
= a + b +2( a - c )
=6+2×11
=28，
∴代数式3a+ b -2c的值是28．
26．
(1)
解：∵1<2<4，
∴，
∴[ ]=1，
∵，
∴=-1，
∴[]=1，=-1；
(2)
∵P1([1]，{1})，P2([]，{})，P3([]，{})，P4([2]，{2})，P5([]，{})，可发现点 Pn 的坐标为Pn ([n]，{})，
①根据规律可知，点P10 的坐标为（[10]，{})，
∵9<10<16，
∴3<<4，
∴[]=3，{}=-3，
∴P10 的坐标为（3，-3 )；
②∵Pn ([n]，{})，
∴当[]=10时，100≤n﹤121，其中的整数共21个，
∴横坐标为10的点共有21个；
③根据题意可得，P1(1，0)，P2(1，-1)，P3(1，-1)，P4(2，0)，P5(2，-2)，P6(2，
)，P7(2，-1)，P8(2，)，P9(3，0)，P10(3，-3)，……
可以发现，当n 的值为平方数时，纵坐标为0，只有纵坐标为0时的点的纵坐标相等，
∵442<2022<452，
∴44<<45，
∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为1+2+3+ (44)
（1+44）×（44÷2）=990，
∴在前2022个点中，纵坐标相等的点共有44个，这些点的横坐标之和为990．
27．
(1)
解：点的“2系联动点”的坐标为，即；
设，则点P的“系联动点”的坐标为，
∵点P的“系联动点”的坐标是，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为．
(2)
解：点P分布在y轴上，
理由：∵点的“k系联动点”与“ k系联动点”分别为点M，N，
∴，，
∵轴，
∴，解得：，
∵，∴，
∴点P在y轴上；
(3)
解：在（2）的条件下，可知点P在y轴上，设，
可知：，，
∵MN的长度为OP长度的3倍，
∴，∴．。