高考数学一轮复习 第六章 第3讲 等比数列及其前n项和配套限时规范训练 理 苏教版

第3讲 等比数列及其前n 项和
分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为________． 解析 设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，前n 项和为S n ，由a 1＝1，a 5＝16，得q 4
＝a 5
a 1
＝16，所以q ＝2，从而得S 7＝a 1
－q 7
1－q
＝127.
答案 127
2．设数列{a 2
n }前n 项和为S n ，a 1＝t ，a 2＝t 2
，S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，则{a n }是________数列，通项a n ＝________.
解析 由S n ＋2－(t ＋1)S n ＋1＋tS n ＝0，得S n ＋2－S n ＋1＝t (S n ＋1－S n )，所以a n ＋2＝ta n ＋1，所以
a n ＋2a n ＋1＝t ，又a 2
a 1
＝t ， 所以{a n }成等比数列，且a n ＝t ·t n －1
＝t n
.
答案 等比 t n
3．(2012·泰州模拟)数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝2，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________. 解析 由a 1q ＝2，a 1q n －1
＋a 1q n ＝6a 1q
n －2
，得q
n －1
＋q n ＝6q
n －2
，所以q 2
＋q ＝6.又q ＞0，所
以q ＝2，a 1＝1. 所以S 4＝
a 1
－q
4
1－q
＝1－24
1－2
＝15. 答案 15
4．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5
n －2
－1
5
，则实数t 的值为________． 解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知⎝ ⎛⎭
⎪
⎫45t 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15t －15×4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.
答案 5
5．(2012·南京模拟)已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则
满足a n ·a n ＋1·a n ＋2≥1
8
的最大正整数n 的值为________．
解析 由等比数列的性质，得4＝a 2·a 4＝a 2
3(a 3＞0)，所以a 3＝2，所以a 1＋a 2＝14－a 3
＝12，于是由⎩⎨
⎧
a 1q 2
＝2，
a 1()1＋q ＝12，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝8，q ＝1
2
，所以a n ＝8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －4
.
于是由a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a 3
n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123(n －3)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫18n －3≥18，得n －3≤1，即n ≤4. 答案 4
6．(2013·宿迁联考)设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a n ＋2a n －1－1，n ∈N *，则b 2 011
＝________.
解析 由题意得b 1＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a 1＋2a 1－1－1＝3，
b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1－1＝2⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a n ＋2a n －1－1＝2(b n ＋1)－1＝2b n ＋1，∴b n ＋1＋1＝2(b n
＋1)，故b n ＋1＋1b n ＋1
＝2，故数列{b n ＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴b n ＋1＝2n ＋1
，∴b n ＝2
n ＋1
－1.
答案 22 012
－1
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *
，且a ≠3. (1)设b n ＝S n －3n
，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *
，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n
， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1
＝2(S n －3n
)，
∴{S n －3n
}是等比数列，
因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1
，n ∈N *
①
(2)由①知S n ＝3n
＋(a －3)2
n －1
，n ∈N *
，于是，当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32
n －2＋a －3，
当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －2
＋a －3≥0⇔a ≥－9，又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a
的取值范围是[－9，＋∞)．
8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
(1)证明 由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝3a 1＋2＝5， 故b 1＝a 2－2a 1＝3.又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1 ＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2)＝4a n ＋1－4a n ，
于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2， 所以a n ＋1－2a n ＝3×2
n －1
，于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34
，
因此数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为3
4的等差数列，
a n 2n
＝1
2＋(n －1)×34＝34n －1
4， 所以a n ＝(3n －1)·2
n －2
.
分层训练B 级 创新能力提升
1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，
则S 5＝________.
解析 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2. 由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×5
4，
∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14
.∴q 3
＝a 7a 4＝18，即q ＝12.
∴a 4＝a 1q 3
＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－1251－1
2
＝31.
答案 31
2．(2011·江苏卷)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，
a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值为________．
解析 由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2
，a 7＝q 3
且q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有
q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为3
3.
答案
3
3
3．已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *
)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102
＋…＋x 200)＝________.
解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *
)得lg x n ＋1－lg x n ＝1，∴
x n ＋1
x n
＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100
(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100
，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg 10100
＝100. 答案 100
4．(2013·盐城调研)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1
＝1，a 2＝b 2，2a 4＝b 3，且存在常数α，β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 时成立，则αβ
＝________.
解析 由题意，可设a n ＝2＋(n －1)d ，b n ＝q
n －1
，于是由⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 2＝
b 2，2a 4＝b 3，
得
⎩
⎪⎨⎪⎧
2＋d ＝q ，＋3d ＝q 2，解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
d ＝d ，
q ＝4，
所以a n ＝2n ，b n ＝22n －2
，代入a n ＝log αb n
＋β，得2n ＝(2n －2)log α2＋β，即2n (1－log α2)＝β－2log α2，所以
⎩
⎪⎨
⎪⎧
log α2＝1，
β－2log α2＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
α＝2，β＝2.故αβ＝22
＝4.
答案 4
5．(2012·镇江统考)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2·a 4＝65，
a 1＋a 5＝18.
(1)求数列{a n }的通项公式a n .
(2)若1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；
(3)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．
解 (1)因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2·a 4＝65， 所以a 2，a 4是方程x 2
－18x ＋65＝0的两个根． 又公差d ＞0，所以a 2＜a 4.所以a 2＝5，a 4＝13.
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，解得a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.
(2)由1＜i ＜21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1·a 21＝a 2
i ，即1·81＝(4i
－3)2
，解得i ＝3. (3)由(1)知，S n ＝n ·1＋
n n －
2
·4＝2n 2
－n .
假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列， 由等差数列通项公式，可设S n ＋kn ＝an ＋b ，
得2n 2
＋(k －1)n ＝an 2
＋2abn ＋b 恒成立，可得a ＝2，b ＝0，k ＝1.所以存在k ＝1使得{S n ＋kn }为等差数列．
6．(2012·苏北四市调研二)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n
(n ∈N *
)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．
(1)若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{b n }是否为“和等比数列”；
(2)若数列{c n }是首项为c 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，试探究d 与c 1之间的关系．
解 (1)因为数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1
＝2
2n －1
，因
此，b n ＝2n －1，设数列{b n }前n 项和为T n ，则T n ＝n 2
，T 2n ＝4n 2
，所以T 2n
T n
＝4.因此数列{b n }是“和等比数列”．
(2)设数列{c n }的前n 项和为R n ，且
R 2n
R n
＝k (k ≠0)，则由{c n }是等差数列，得R n ＝nc 1＋n n －
2
d ，R 2n ＝2nc 1＋
2n
n －
2
d ，所以R 2n
R n
＝
2nc 1＋
2n n －
2d
nc 1＋
n
n －2
d
＝k .
对于n ∈N *
都成立，化简得(k －4)dn ＋(k －2)(2c 1－d )＝0，
则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
k －d ＝0，
k －
c 1－
d ＝0.
因为d ≠0，所以k ＝4，d ＝2c 1.
因此，d 与c 1之间的等量关系为d ＝2c 1.。