(优选)随机过程第三章

性质3.1 若随机过程X(t)是 m s 连续的，则
它的数学期望也必定连续，即：
lim E[X (t t)] E[X (t)]
t 0
证 设 Y X (t t) X (t) 是一个随机变量
D [Y ] E [Y 2] E2[Y ]
E [Y 2 ] D [Y ] E2[Y ] E2[Y ]
RX (t t,t t) RX (t t,t) RX (t,t t) RX (t,t)
∴有
lim
t 0
E
X
0
RX
(t
t
,
t
t
)
RX
(t
t
,
t
)
RX
(t,
t
t
)
RX
(t
,
t
)
对于右边极限式，自相关函数 t1,t2 是的函数。
欲使右边极限为零，则需 RX (t1,t2) 中,t1 t2 t ，才能 保证随机过程均方连续。
§3.2 随机过程的连续性
定义：若随机过程X(t)满足lim E [ | X (t t) X (t) |2] = 0， t 0
则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续（简称
m s 连续）。
另一方面，由定义知
E
X
(t
t)
X
(t)
2
E X (t t)X (t t) X (t t)X (t) X (t)X (t t) X (t)X (t)
n,m
xn xm 2 0
则必然存在一个随机变量x，使得
。
xn m s x
洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量
序列 {xn, n 0,1,2,L }均方收敛于x的充要条件是
lim
n,m
E[
xn
xm
]
c
（c取常数）
2. 均方收敛的性质
（1）如果随机变量序列 xn,n 0,1,2,L }依均方收 敛于随机变量x，则有
（优选）随机过程第三章
§3.1 随机过程的收敛性
随机过程的收敛性是研究随机分析的基础，由于随 机过程的不确定性，其收敛性的选择也是多种多样 的，本节主要介绍均方收敛，这是因为均方收敛能 简化分析、比较实用。今后，本书分析和研究问题 一般都使用均方收敛概念。
定义依均方收敛：
考虑随机变量序列{xn, n 0,1, 2L } ，如果存在随机变
t 0
t 0
lim E [X (t t)] E[lim X (t t)] E[ X (t)]
t 0
t 0
这表明求极限和求数学期望的次序可以交换，这是 一个非常有用的结果，以后经常可用到。
§3.3 随机过程的微分及其数学期望与相 关函数
1. 随机过程的微分
我们知道一般函数导数定义是
y(x x) y(x) dy
对于左边，若随机过程均方连续，则随机过程的自 相关函数，在上也处处连续。
总之，若随机过程处处均方连续，则它的自相关函 数所在上也处处连续，反之也成立。
性质3.1 若随机过程X(t)是 m s 连续的，则
它的数学期望也必定连续，即：
lim E[X (t t)] E[X (t)]
t 0
E [| X (t t) X (t) |2]≥ E2[X (t t) X (t)]≥0
t
t 0
t
的极限都存在，则可以说随机过程的导数存在， 然而在随机过程 X (t) {x1(t)L xn(t)L }中可能有某些 样本函数的极限不存在，但大部分都存在，为此 我们给出一个条件较弱的随机过程在均方意义下 （即平均意义下）的导数存在定义。
定义均方可微：如果 X (t) 满足下式
lim
t 0
E [Y 2 ]≥ E2[Y ]
E [| X (t t) X (t) |2]≥ E2[X (t t) X (t)]≥0
又∵ X (t)均方连续
lim E [| X (t t) X (t) |2] 0 由夹挤定t理0 知
lim E [| X (t t) X (t)] 0
t 0
lim E [X (t t) lim E [X (t)] E [X (t)]
性质3.2 如果自关函数 RX (t1,t2 ) 在 t1 t2 时连续，
且存在二阶偏导数
2R t1t2 t1 t2
则随机过程在均方意义下存在导数（证明略）
应当指出，随机过程有导数，首先过程必须是连 续的，但随机过程的连续性不能保证过程一定有 导数。
量x满足
lim E
n
xn x 2
0
则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x，并
记为
lim
n
xn
x
或 xn m s（x m·s——是英文Mean—Square缩写）
1. 两个均方收敛性判据
里斯—菲希尔定理：对随机变量序列
构造柯西序列
如果满足
xn xm
{xn,n 0,1,2L }
lim E
x(t
t) t
X
(t)
X
(t)
2
0
则 X (t)称在t时刻具有均方导数 X (t) dx(t)，记
为
dt
dX (t) X (t) lim X (t t) X (t)
dt
t 0
t
一般函数存在导数的前提是函数必须连续，因
此随机过程存在导数的前提也需要随机过程必须 连续。但是，对一个随机过程要求它们所有样本 函数都连续很困难，为此我们定义了所谓的均方 连续，并给出随机过程的均方导数与它的相关函 数关系
byn
)
ax
by
研究随机过程的统计变化规律，在一定条件下，有
时我们也可以借助数学分析的工具建立起随机过程的收 敛性、连续性、可微性、可积性等概念，进而可对随机 过程的变化规律有更清楚的分析了解。这部分内容属于 随机分析，这里我们只作简介。当然在此基础上，我们 还可建立随机微分方程，自从伊藤1961年建立随机微分 方程理论以来，随机微分方程发展很快，已渗透到各领 域。
lim
n
E{xn}
E{lim n
xn}
E{x}
（2）均方收敛是唯一的。如果 xn ms x 和xn ms y 则必有x = y
（3）如果
xn m s x 和 yn m，s则y有
lim
n,m
E[xn
yn
]
E
[xy]
（4）如果
xn m s x 和 yn
m s y ，a和b是任意常数，
则有
lim
n
(axn
lim
t 0
x
dx
对于一个随机过程，在一定条件下，是不是也有 类似的导数定义，即：
lim X (t t) X (t) X (t) dX (t)
t 0
t
dt
我们说当随机过程的所有样本函数，即
lim x1(t t) x1(t) ,L , lim xn (t t) xn (t) ,L
t 0