广东省广州市荔湾区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

广东省广州市荔湾区2019-2020学年上学期期中考试
高一数学试题
数学试卷（共4页）
第Ⅰ部分
基础检测（共100分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．设集合{}0,2,M x =，{}0,1N =，若N M ⊆，则x 的值为（ ）． A ．2
B ．0
C ．1
D ．不能确定
2．已知集合{}
2
|10A x x mx =++=，若A R =∅，则实数m 的取值范围是（ ）．
A ．2m <
B ．2m >-
C ．22m -≤≤
D ．22m -<<
3．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（ ）．
A
．
B ．
C
．
D
．
4．设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩
≤则
1(2)f f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为（ ）． A ．18 B ．2716
-
C ．89
D ．
1516
5．设0x 是方程2
ln(1)x x
+=
的解，则0x 在下列哪个区间内（ ）． A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,e)
D ．(3,4)
6．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）． A ．2y x =-
B ．||2x y -=
C ．1
y x
=
D ．lg ||y x =
7．函数1
2()2x f x -=的大致图象为（ ）．
A ．
B ．
C
．
D ．
8．已知a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）． A ．b c a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．c b a >>
9．已知函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ）． A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．(1,2)
C ．(,0)-∞
D ．(,1)-∞
10．已知4log 28a =，5log 35b =，6log 42c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b c a <<
B ．c b a <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
11．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合{}(,)|12,*,*M a b a b a b =⊕=∈∈N N 中的元素个数是（ ）．
A ．10个
B ．15个
C ．16个
D ．18个
12．设函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则使()()
0f x f x x
--<的x 的取值范围为（ ）．
A ．(1,0)(1,)-+∞
B ．(,1)(0,1)-∞-
C ．(,1)(1,)-∞-+∞
D ．(1,0)(0,1)-
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
13．若函数()(1)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x m m =-+（其中0a >，1a ≠）的图象恒过定点A 的坐标为__________． 14．已知函数1()lg
51x
f x x x
+=++-，且()6f a =，则()f a -=__________． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分10分）已知函数2
1
()42
a f x x ax =-+-
+． （1）若2a =，求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值．
（2）若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值．
16．（本小题满分10分）化简计算．
（1
(0,0)a b >>．
（2）522log 253log 648ln1+-．
（3）916log 16
log 25
34
+．
（4）5lg
2
42
log 9log 1210
--+．
17．（本小题满分12分）
为了检验某种溶剂的挥发性，在容器为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的容积，已知溶剂注入过程中，其容积y （升）与时间t （分钟）成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y 与t 的关系为30
15t a y -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
（a 为常数），如图．
（1）求容积y 与时间t 之间的函数关系式．
（2）当容积中的溶液少于8毫升时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？
)
第二部分 能力检测（共50分）
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
18．函数
12
()log (42)x x
f x =-的单调递减区间为__________．
19．定义(),()(()()(),()()g x f x g x f x g x f x f x
g x ⎧⊗=⎨
<⎩≥，若3
9
101,109
()10log (1),9x x f x x x ⎧+⎪⎪=⎨
⎪-->
⎪⎩
≤，()|1|g x x =-，则函数()()
(h x f x g x =⊗在3,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的单调性是__________．（填“递增”、“递减”、“先减后增”、“先增后减”其中
之一即可）
五、解答题：本大题3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分12分）
已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域．
（2）若()log ()a f x x t =+有且仅有一实根，求实数t 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
定义在R 上的非负函数()f x ，对任意的x ，y ∈R 都有()()()f x f y f xy =且(0)0f =，(1)1f -=，当1y >，都有()1f y >．
（1）求(1)f 的值，并证明()f x 是偶函数． （2）求证：()f x 在(0,)+∞上递增．
（3）求满足2312f x x ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
成立的x 的取值范围．
22．（本小题满分14分）
已知函数1()(0,1)x
x
t
f x a a a a -=+
>≠是定义域为R 是奇函数． （1）求实数t 的值．
（2）若(1)0f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在R 上恒成立，求实数b 的取值范围． （3）若3(1)2
f =
，且221()2()x
x h x a mf x a =+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．
广东省广州市荔湾区2019-2020学年上学期期中考试
高一数学试题参考答案
数学试卷（共4页）
第Ⅰ部分
基础检测（共100分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．设集合{}0,2,M x =，{}0,1N =，若N M ⊆，则x 的值为（ ）． A ．2 B ．0 C ．1 D ．不能确定
【答案】C
【解析】{}0,2,M x =，{}0,1N =， ∵N M ⊆， ∴0M ∈，1M ∈， ∴1x =． 故选C ．
2．已知集合{}
2
|10A x x mx =++=，若A R =∅，则实数m 的取值范围是（ ）．
A ．2m <
B ．2m >-
C ．22m -≤≤
D ．22m -<<
【答案】D
【解析】{}
2
|10A x x mx =++=为方程210x mx ++=的根的集合，
∵A R =∅， ∴A =∅， ∴240m ∆=-<， 解得22m -<<． 故选D ．
3．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（ ）．
A
．
B ．
C
．
D
．
【答案】C
【解析】解：由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一数值与之对应， A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，
有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．
根据函数的定义中“定义域内的每一个x 都有唯一的函数值与之对应”判断． 故选C ．
4．设函数2
21,1
()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩
≤则
1(2)f f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为（ ）． A ．18 B ．2716
-
C ．89
D ．
1516
【答案】D
【解析】解：函数2
21,1
()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩
≤，
2(2)2224f =+-=，
则2
11115
1(2)4416f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故选D ．
5．设0x 是方程2
ln(1)x x
+=
的解，则0x 在下列哪个区间内（ ）． A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,e)
D ．(3,4)
【答案】B
【解析】构造函数2
()ln(1)f x x x
=+-
， ∵(1)ln 210f =-<，(2)ln310f =->， ∴函数2
()ln(1)f x x x
=+-的零点属于区间(1,2)，即0x 属于区间(1,2)． 故选B ．
6．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）． A ．2y x =-
B ．||2x y -=
C ．1
y x
=
D ．lg ||y x =
【答案】D
【解析】0x >时，2y x =-在(0,)+∞单调递减，
||
12
2
2x
x x
y --⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
在(0,)+∞单调递减， 11
y x x
=
=在(0,)+∞单调递减， lg ||lg y x x ==在(0,)+∞单调递增．
故选D ．
7．函数1
2()2x f x -=的大致图象为（ ）．
A ．
B
．
C
．
D
．
【答案】A 【解析】1112
2
2
1()2
2
2x x x f x -
--+
⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，
∴1
2
()2x f x -=的图象为12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图象向右平移12个单位所得．
故选A ．
8
．已知a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）． A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c b a >>
【答案】A
【解析】1
0.220.30.31a c ==<=<， 0.30221b =>=，
∴b c a >>． 故选A ．
9．已知函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ）． A ．11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
B ．(1,2)
C ．(,0)-∞
D ．(,1)-∞
【答案】A
【解析】解：偶函数()f x 在[0,2]上是减函数，
∴其在(2,0)-上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大， ∴不等式(1)()f m f m -<可以变为|1|||22212m m m m ->⎧⎪
-⎨⎪--⎩≤≤≤≤，
解得11,2m ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
．
故选A ．
10．已知4log 28a =，5log 35b =，6log 42c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b c a <<
B ．c b a <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
【答案】B
【解析】解：444log 28log (47)1log 7a ==⨯=+，
555log 35log (57)1log 7b ==⨯=+， 666log 42log (67)1log 7c ==⨯=+， 且654lg7lg7lg7
log 7log 7log 7lg6lg5lg 4
=
==<=， ∴c b a <<． 故选B ．
11．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合{}(,)|12,*,*M a b a b a b =⊕=∈∈N N 中的元素个数是（ ）．
A ．10个
B ．15个
C ．16个
D ．18个
【答案】B
【解析】12111210394857661122634=+=+=+=+=+=+=⨯=⨯=⨯，其中26⨯舍去，66+只有一个，其余的都有2个，所以满足条件的(,)a b 有：27115⨯+=个． 故选B ．
12．设函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则使()()
0f x f x x
--<的x 的取值范围为（ ）．
A ．(1,0)(1,)-+∞
B ．(,1)(0,1)-∞-
C ．(,1)(1,)-∞-+∞
D ．(1,0)(0,1)-
【答案】D
【解析】∵奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数， ∴()f x 在(,0)-∞为增函数， ∵(1)0f =， ∴(1)(1)0f f -=-=，
∴当(,1)(0,1)x ∈-∞-，()0f x <， 当(1,0)(1,)x ∈-+∞，()0f x >，
又
()()()()2()
0f x f x f x f x f x x x x
--+==<，
∴()0xf x <，
∴当0x >，()0f x <，(0,1)x ∈， 当0x <，()0f x >，(1,0)x ∈-， 综上，x 的取值范围为(1,0)(0,1)-．
故选D ．
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
13．若函数()(1)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x m m =-+（其中0a >，1a ≠）的图象恒过定点A 的坐标为__________． 【答案】(3,2)
【解析】∵()(1)a f x m x =-是幂函数， ∴11m -=解得2m =，
∴()log ()log (2)2a a g x x m m x =-+=-+， 当3x =，(3)log (32)22a f =-+=， ∴()g x 的图象恒过定点(3,2)．
14．已知函数1()lg 51x
f x x x
+=++-，且()6f a =，则()f a -=__________． 【答案】4
【解析】∵1()lg 51x
f x x x
+=++-， ∴1()lg 51x
f x x x
--=-+++ 1lg
51x
x x
+=--+-
1lg 51x x x +⎛
⎫=-++ ⎪-⎝⎭
，
又1()lg 561a
f a a a
+=++=-， ∴1lg
11a
a a
++=-， ∴1()lg 51541a f a a a +⎛
⎫-=-++=-+= ⎪-⎝⎭
．
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分10分）已知函数2
1
()42
a f x x ax =-+-
+． （1）若2a =，求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值．
（2）若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值． 【答案】（1）0．（2）6-或103
． 【解析】∵2a =，
∴2
21
()242
a f x x ax x x =-+-
+=-+， 对称轴为直线2
12(1)
x =-
=⨯-，
∴()f x 在区间[0,1]上的最小值是(0)0f =，
解：配方，得2
22
11()242442a a a a f x x ax x ⎛
⎫=-++-=--+
-+ ⎪⎝⎭
， ∴函数()y f x =的图象开口向下的抛物线，关于直线2
a
x =对称． （1）当[0,1]2
a
∈，即02a ≤≤时，
()f x 的最大值为2
122442
a a
a f ⎛⎫=
-+= ⎪⎝⎭，解之得2a =-，或3，经检验不符合题意． （2）当
12
a
>时，即2a >时，函数在区间中[0,1]上是增函数， ∴()f x 的最大值为1(1)1224a f a =++-=，解之得103
a =． （3）当
02
a
<时，即0a <时，函数在区间中[0,1]上是减函数， ∴()f x 的最大值为1(0)224
a
f =
-=，解之得6a =-，
综上所述，得当()f x 区间[0,1]上的最大值为2时，a 的值为6-或10
3
．
16．（本小题满分10分）化简计算．
（1
(0,0)a b >>．
（2）522log 253log 648ln1+-．
（3）916log 16log 2534+．
（4）5
lg 242
log 9log 1210--+．
【答案】（1）a ．（2）22．（3）9．（4）8
5
-．
【解析】（1）原式2
1123
3
1111
4443
23
a b
a
b
+
+
⨯-⨯+⋅=
⋅
52
7733
33
a
b
--=
a =．
（2）原式26522log 53log 280=+-⨯
2236=⨯+⨯
22=．
（3）原式916log 16
11
2log 25
21(16)
9⎛⎫ ⎪=
+ ⎪⎝⎭
log 25
1691
1log 162
2
(9
)(16
)=+
112
2
1625=+
45=+
9=．
（4）原式(lg5lg 2)lg9lg12
10lg 4lg 2
--=
-+ 22lg 2lg52lg3lg(32)10lg 2lg 2
-⨯=-+ 2lg3lg32lg 22
2lg 2lg 25
+=
-+ 2
25
=-+
85
=-．
17．（本小题满分12分）
为了检验某种溶剂的挥发性，在容器为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的容积，已知溶剂注入过程中，其容积y （升）与时间t （分钟）成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y 与t 的关系为30
15t a y -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
（a 为常数），如图．
（1）求容积y 与时间t 之间的函数关系式．
（2）当容积中的溶液少于8毫升时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？
)
【答案】（1）2301
,0221,25t t t y t -⎧⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪
> ⎪⎪⎝⎭
⎩≤≤．（2）92． 【解析】解：（1）∵两分钟匀速注满容积为1升的容器， ∴注入速度为
12（升/分），在注入过程中，02t ≤≤，容积y 与时间t 的关系是1
2
y t =， 注入结束后，y 与t 的关系为30
1
5t
a y -=，且当2t =时，1y =，有230
1
15
a -=，解得115
a =
， ∴在注入结束后，2t >，容积y 与时间t 的关系是230
1
5t y -=，
综上所述，y 与x 的函数关系式为2301
,0221,25t t t y t -⎧⎪⎪
=⎨⎛⎫
⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩≤≤． （2）试验结束的条件是：容器注满之后，容积减少为8毫升之后， 即23021851000t t ->⎧⎪⎨<⎪⎩，即233021155t t ->⎧⎪⎨<⎪⎩
，即22330t t >⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得92t >．
第二部分
能力检测（共50分）
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
18．函数
12
()log (42)x x
f x =-的单调递减区间为__________． 【答案】(0,)+∞
【解析】12
()log (42)x x
f x =-，(0,)x ∈+∞，
令2x t =，则(1,)t ∈+∞，
22
112211()log ()log 24f x t t t ⎡⎤
⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当(1,)t ∈+∞，
2
12
()log ()g t t t =-单调递减， ∴()f x 的单调减区间为(0,)+∞．
19．定义(),()(()()(),()()g x f x g x f x g x
f x f x
g x ⎧⊗=⎨<⎩≥
，若3
9
101,109
()10
log (1),9x x f x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩
≤，()|1|g x x =-，则函数()()
(h x f x g x =⊗在3,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的单调性是__________．（填“递增”、“递减”、“先减后增”、“先增后减”其中
之一即可） 【答案】先增后减
【解析】由定义()()f x g x ⊗结果为()f x ，()g x 的较小者3,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
3()log (1)f x x =--单调递减，3()[0,log 2]f x ∈， ()1g x x =-单调递增，1(),12g x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，又31log 212<<，
∴0x ∃，03,2x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，()()f x g x >，()()h x g x =，
(]0,2x x ∈，()()f x g x <，()()h x f x =，
∴()h x 在3,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
先增后减．
五、解答题：本大题3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分12分）
已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域．
（2）若()log ()a f x x t =+有且仅有一实根，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）(2,2)-．（2）(2,)+∞．
【解析】（1）∵()log (2)log (2)a a f x x x =+--， ∴2020x x +>⎧⎨->⎩
，解得22x -<<，
∴()f x 的定义域为(2,2)-． （2）()log (2)log (2)a a f x x x =+-- 2
log 2a
x x
+=-， ∵()log ()a f x x t =+有且仅有一实根， ∴
2
2x x t x
+=+-在(2,2)-上有且仅有一实根， 整理得2(1)220x t x t +-+-=在(2,2)-上， 有且仅有一实根，
令2()(1)22f x x t x t =+-+-， ∴(2)(2)0f f -<，
即4(84)0t -<，解得2t >．
21．（本小题满分14分）
定义在R 上的非负函数()f x ，对任意的x ，y ∈R 都有()()()f x f y f xy =且(0)0f =，(1)1f -=，当1y >，都有()1f y >．
（1）求(1)f 的值，并证明()f x 是偶函数． （2）求证：()f x 在(0,)+∞上递增．
（3）求满足2312f x x ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围．
【答案】（1）(1)1f =．（2）见解析．（3）1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
【解析】（1）∵()()()f x f y f xy =，(1)1f -=， ∴令1x y ==-，则1xy =，
即(1)(1)(1)(1)(1)1f f f --==+⨯+=， ∴(1)1f =，
()[(1)](1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-=，
∴()f x 是偶函数．
（2）任取120x x <<，由于()f x 在R 上非负，
2
1
1x x >， ∴222111221111()()1()()()x x f x f x f x x f x x f f x f x f x x ⎛⎫
⎛⎫⋅ ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭⎝⎭===> ⎪
⎝⎭
， ∴21()()f x f x >， ∴()f x 在(0,)+∞上递增．
（3）∵()f x 为R 上偶函数且()f x 在(0,)+∞上递增， ∴由231(1)2f x x f ⎛⎫
-<= ⎪⎝⎭，
得2
312x x --<，
解得：1
22
x -<<，
∴x 的取值范围为1,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
22．（本小题满分14分）
已知函数1()(0,1)x x
t
f x a a a a -=+
>≠是定义域为R 是奇函数． （1）求实数t 的值．
（2）若(1)0f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在R 上恒成立，求实数b 的取值范围． （3）若3(1)2
f =
，且221()2()x
x h x a mf x a =+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．
【答案】（1）2t =．（2）(3,5)-．（3）2m =．
【解析】解：（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =， 所以1(1)0t +-=，所以2t =．
（2）由（1）知：1
()(0,1)x
x
f x a a a a =-
>≠， 因为(1)0f >，所以1
0a a
-
>，又0a >且1a ≠，所以1a >， 所以1
()x
x
f x a a =-
是R 上的单调递增， 以()f x 是定义域为R 是奇函数，
所以222()(4)0()(4)4f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-， 即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以2(1)160b ∆=--<，即35b -<<， 所以实数b 的取值范围为(3,5)-． （3）因为3(1)2
f =
，所以132a a -=，解得2a =或1
2a =-（舍去），
所以2
221111
()22222222222x
x x x x x
x x
h x m m ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
， 令1
()22
x u f x x ==-，则2()22f u u mu =-+， 因为1()22x f x x =-
在R
上为增函数，且1x ≥，所以3
(1)2u f =≥， 因为221
()22()2x
x
h x mf x =-
-在[1,)+∞上的最小值为2-， 所以2()22g u u mu =-+在3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上的最小值为2-，
因为222()22()2g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m =，
所以当3
2
m ≥时，2min ()()22f u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去），
当32m <
时，min 317
()3224
f u f m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =
>， 综上可知：2m =．。