北京2019学年八年级上学期期中考试数学试题 (解析版)

上学期初中八年级期中考试数学试卷
（考试时间为100分钟，试卷满分为100分，另20分附加题）
一、选择题（每题3分共30分，四个选项中只有一个正确答案） 1. 计算2
5-的结果是（ ）。

A. －10
B. －25
C.
25
1
D. 25
1-
2. 图中全等的三角形是（ ）。

A. Ⅰ和Ⅱ
B. Ⅱ和Ⅳ
C. Ⅱ和Ⅲ
D. Ⅰ和Ⅲ 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）。

A. 1)(122
2
2
--=-+-b a b ab a B. )1
1(2222
2x
x x x +
=+ C. 4)2)(2(2
-=-+x x x
D. )1)(1)(1(12
4
-++=-x x x x
4. 如图，已知AB ＝AD ，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）。

A. CB ＝CD
B. ∠BCA ＝∠DCA
C. ∠BAC ＝∠DAC
D. ∠B ＝∠D ＝90° 5. 下列分式中，最简分式是（ ）。

A. 1
122+-x x
B. 1
12-+x x
C. xy x y xy x -+-2
222 D. 12
2362+-x x
6. 如图，已知钝角△AB C ，老师按如下步骤尺规作图：
步骡1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；
步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H 。

小明说：图中的BH ⊥AD 且平分AD 。

小丽说：图中AC 平分∠BAD 。

小强说：图中点C 为BH 的中点。

你认为（ ）。

A. 小明说得对
B. 小丽说得对
C. 小强说得对
D. 他们都不对 7. 学完分式运算后，老师出了一道题：化简：
4
2232
--+++x x
x x 。

小明的做法是：原式＝4
8
426424)2)(3(222
222--=----+=-----+x x x x x x x x x x x ； 小亮的做法是：原式＝426)2()2)(3(2
2
-=-+-+=-+-+x x x x x x x ； 小芳的做法是：原式＝
12
132123)2)(2(223=+-+=+-++=-+--++x x x x x x x x x x 。

其中做法正确的人是（ ）。

A. 小明
B. 小亮
C. 小芳
D. 没有正确的
8. 如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在小正方形的顶点上，在格点F 、G 、H 、I 中选出一个点与点D 、点E 构成的三角形与△ABC 全等，则符合要求的点共有（ ）个。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 若0322
=--a a ，代数式
)
2(1
-a a 的值是（ ）。

A. 3
1-
B.
31
C. －3
D. 3 10. 关于x 的分式方程1
2+-x m
x ＝3的解是负数，则字母m 的取值范围是（ ）。

A. 3<m
B. 23≠<m m 且
C. 3->m
D. 23-≠->m m 且
二、填空题（每题2分，共12分） 11. 当分式
1
22
+-x x 有意义的时候，x 的取值范围是____________。

12. 研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m ，用科学记数法表示0.00000156这个数是_______________。

13. 如果
023≠=n m ，那么代数式)2(432
2n m n m n m +⋅--的值是________________。

14. =--123x x ________________1
1-+
x 。

15. 如图，△ABC ≌△ADE 且BC 、DE 交于点O ，连结BD 、CE ，则下列四个结论：①BC ＝DE ，②∠ABC ＝∠ADE ，③∠BAD ＝∠CAE ，④BD ＝CE ，其中一定成立的有_________。

16. 已知),3,2,1()
1(1
2
=+=
n n a n ， )1()1)(1(2,),1)(1(2),1(22121211n n a a a b a a b a b ---=--=-= ，则通过计算推测出
n b 的表达式为n b ＝__________________。

（用含n 的代数式表示）
三、解答题（共10大题58分；在答题纸书写，保留解答过程，仅有答案不得分） 17. 因式分解（每小题4分） （1）b b a 822
-；
（2）xy xy xy 25102
3+-。

18. 计算（每小题4分） （1）
2335)3()41(21a b a b a -⋅-÷； （2）)2
5
2(423--+÷--m m m m 。

19. （5分）已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一直线上，且AB ＝CD ，AE ∥BF ，AE ＝BF 。

求证：∠E ＝∠F 。

20.（5分）先化简x
x x x x 1
121122-÷++--，再任取一个你喜欢的x 的值，代入求值。

21. （5分）如图，BE 、CF 分别是钝角△ABC （∠A>90°）的高，在BE 上截取BP ＝AC ，在CF 的延长线截取CQ ＝AB ，连结AP 、AQ ，请推测AP 与AQ 的数量和位置关系并加以证明。

22. （5分）解方程：
4
2
122
-=--x x x 。

23. （5分）列方程解应用题：根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到2020年底，我国建设城际轨道交通的公里数是客运专线的2倍。

其中建设城际轨道交通约投入8000亿元，客运专线约投入3500亿元。

据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需1.5亿元。

预计到2020年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？
24. （5分）将两个全等的△ABC 和△DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于F 。

（1）求证：AF ＋EF ＝DE ；
（2）若将图1中的△DBE 绕点B 顺时针旋转角α，且60°<α<180°，其他条件不变，如图2，请直接写出此时线段AF ，EF 与DE 之间的数量关系。

25. （6分）如下表，方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程。

（1）猜想方程1的解，并将它们的解填在表中的空白处。

_________
（2）若方程
)(1b a b
x x >=--的解是10,621==x x ，猜想a,b 的值。

（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解。

26. （6分）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝5，求BC 边上的中线AD 的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长AD 到Q ，使得DQ ＝AD ；
②再连接BQ ，把AB 、AC 、2AD 集中在△ABQ 中；
③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD 的取值范围是_____________。

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。

（2）请你写出图1中AC 与BQ 的位置关系并证明。

（3）思考：已知，如图2，AD 是△ABC 的中线，AB ＝AE ，AC ＝AF ，∠BAE ＝∠FAC ＝90°。

试探究线段AD 与EF 的数量和位置关系并加以证明。

附加题（1—2题每题4分，3—4题每题6分）
1. 如图，已知△ABD ≌△ACE ，且∠ABC ＝∠ACB ，则图中一共有多少对全等三角形？（ ）。

A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对
2. 已知322
--x x 是多项式332
3
-++bx ax x 的因式（a ，b 为整数），则a ＝_______，b ＝_________。

3. 如果一个正整数能写成2
23b a +的形式（其中a ，b 均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22
＋3×12
，31＝22
＋3×32。

（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数。

（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数。

4. 请阅读下述材料：
下述形式的繁分数叫做有限连分数，其中n 是自然数，a 0是整数，a 1，a 2，a 3，…，a n 是正整数：
其中n a a a a a ,,,,,3210 称为部分商。

按照以下方式可将任何一个分数转化为连分数的形式：1349=a ，则13103+=a ；考虑13
10
的倒数，有10311013+=，从而10
3113++=a ；再考虑103的倒数，有
313310+=，于是得到a 的连分数展开式，它有4个部分商：3，1，3，3；
可利用连分数来求二元一次不定方程的特殊解，以11349=-y x 为例，首先将
13
49
写成连分数的形式，如上所示；其次，数部分商的个数，本例是偶数个部分商（奇数情况请见下例）；最后计算倒数第二个渐近分数4
15
3
1
113=
++
，从而15,400==y x 是一个特解。

考虑不定方程13449=-y x ，先将
3449写成连分数的形式：3
1
11312113449++
+
+=。

注意到此连分数有奇数个部分商，将之改写为偶数个部分商的形式：
计算倒数第二个渐近分数：
25
36
2
1
11312113449
=
++
+
+=，所以36,2500==y x 是13449=-y x 的一个特解。

对于分式，有类似的连分式的概念，利用将分数展开为连分数的方法，可以将分式展开为连分
式。

例如11222
24+++++x x x x x 的连分式展开式如下，它有3个部分商：,2,22
++-x x x 3
131-x ；
再例如，x
x x x x x x x 1111
121233+
-+
+=+-++，它有4个部分商：1，x x x ,1,-。

请阅读上述材料，利用所讲述的方法，解决下述两个问题
（1）找出两个关于x 的多项式p 和q ，使得1)1()1(2
2=+-++q x p x x 。

（2）找出两个关于x 的多项式u 和v ，使得1)1()12(2
2
3
=++-+++v x x u x x x 。

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算5﹣2的结果是（）
A．﹣10 B．﹣25 C．D．﹣
【分析】直接利用负指数幂的性质分析得出答案．
【解答】解：5﹣2＝＝．
故选：C．
2．图中全等的三角形是（）
A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅣC．Ⅱ和ⅢD．Ⅰ和Ⅲ
【分析】仔细观察图形，验证各选项给出的条件是否符合全等的判定方法，符合的是全等的不符合的则不全等，题目中D选项的两个三角形符合SAS，是全等的三角形，其它的都不能得到三角形全等．
【解答】解：A选项中条件不满足SAS，不能判定两三角形全等；
B选项中条件对应边不相等，不能判定两三角形全等；
C选项中条件不满足SAS，不能判定两三角形全等；
D选项中条件满足SAS，能判定两三角形全等．
故选：D．
3．下列各式变形中，是因式分解的是（）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A 错误；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；
C（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
Dx4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
4．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）
A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【分析】由图形可知AC＝AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：
在△ABC和△ADC中
∵AB＝AD，AC＝AC，
∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；
当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；
当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；
当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；
故选：B．
5．下列分式中，最简分式是（）
A．B．
C．D．
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式＝＝，不合题意；
C、原式＝＝，不合题意；
D、原式＝＝，不合题意，
故选：A．
6．如图，已知钝角△ABC，老师按如下步骤尺规作图：
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①，
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D．
步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．
小明说：图中的BH⊥AD且平分AD．
小丽说：图中AC平分∠BAD．
小强说：图中的C为BH的中点
认为（）
A．小明说得对B．小丽说的对C．小强说的对D．他们都不对【分析】根据线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题．
【解答】解：连接CD，BD．
由作图可知：CA＝CD，BD＝BA，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
∴BH⊥AD且平分AD，
故小明的说法正确，
故选：A．
7．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”．
小明的做法是：原式＝；
小亮的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
小芳的做法是：原式＝．
其中正确的是（）
A．小明B．小亮C．小芳D．没有正确的
【分析】小明的做法在通分后分子（x﹣2）的符号没有变换；
小亮的做法把分母忘记写了；
小芳的做法是正确的．
【解答】解：+
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝1．
所以正确的应是小芳．
故选：C．
8．如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：由图形可知
AB＝，AC＝3，BC＝，
GD＝，DE＝，GE＝3，DI＝3，EI＝，
所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，
故选：B．
9．若a2﹣2a﹣3＝0，代数式的值是（）
A．﹣B．C．﹣3 D．3
【分析】根据整体代入，可得答案．
【解答】解：移项，得
a2﹣2a＝3．
＝＝，
故选：B．
10．关于x的分式方程＝3的解是负数，则字母m的取值范围是（）A．m＜3 B．m＜3且m≠2 C．m＞﹣3 D．m＞﹣3且m≠﹣2
【分析】解分式方程，得到含有m得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于m得不等式，解之即可．
【解答】解：＝3，
方程两边同时乘以x+1得：2x﹣m＝3（x+1），
解得：x＝﹣m﹣3，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1
即﹣m﹣3≠﹣1，
解得：m≠﹣2，
又∵方程的解是负数，
∴﹣m﹣3＜0，
解不等式得：m＞﹣3，
综上可知：m＞﹣3且m≠﹣2，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．当分式有意义的时候，x的取值范围是x≠﹣．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：依题意得：2x+1≠0，
解得：x≠﹣．
故答案是：x≠﹣．
12．研究表明，H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数为 1.56×10﹣6．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此可得，此题的a＝1.56，10的指数为﹣6．
【解答】解：0.000 001 56＝1.56×10﹣6m．
13．如果≠0，那么代数式•（2m+n）的值是．
【分析】先化简该分式，再设＝k，则m＝3k、n＝2k，代入化简后的分式计算可得．【解答】解：原式＝•（2m+n）＝，
设＝k，
则m＝3k、n＝2k，
所以原式＝＝＝，
故答案为：．
14．＝﹣2 +．
【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．
【解答】解：﹣＝＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2
15．如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有①②③．
【分析】由全等三角形的性质依次判断即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE
∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC
∴∠BAD＝∠CAE
故答案为：①②③
16．已知a n＝（n＝1，2，3，……），b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…，b n＝2（1
﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）则通过计算推测出b n表达式为b n＝（用含n的代数式表示）【分析】根据题意可以写出a n的前几项和b n的前几项，从而可以得到b n表达式，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，
a1＝，a2＝，a3＝，…，a n＝，
则b1＝2×（1﹣）＝2×＝，b2＝，b3＝，b4＝，…，b n＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
17．因式分解
（1）2a2b﹣8b
（2）xy3﹣10xy2+25xy
【分析】（1）直接提取公因式2b，进而利用平方差分解因式即可；
（2）直接提取公因式xy，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）2a2b﹣8b＝2b（a2﹣4）＝2b（a﹣2）（a+2）；
（2）xy3﹣10xy2+25xy＝xy（y2﹣10xy+25）＝xy（y﹣5）2．
18．计算
（1）a5b3+（﹣a3b）•（﹣3a）2；
（2）÷（m+2﹣）
【分析】（1）根据积的乘方和同底数幂的乘方可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）a5b3+（﹣a3b）•（﹣3a）2
＝a5b3+（﹣a3b）•9a2
＝b；
（2）÷（m+2﹣）
＝
＝
＝
＝﹣．
19．已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，且AB＝CD，AE∥BF，AE＝BF．求证：∠E＝∠F．
【分析】根据题意可以推出AC＝BD，∠A＝∠FBD，即可推出△EAC≌△FBD，所以∠E＝∠F．【解答】证明：∵AB＝CD，AE∥BF，
∴AC＝BD，∠A＝∠FBD，
∵AE＝BF，
∴△EAC≌△FBD，
∴∠E＝∠F．
20．先化简1﹣÷，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后选一个使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：1﹣÷
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
21．如图，BE、CF分别是钝角△ABC（∠A＞90°）的高，在BE上截取BP＝AC，在CF的延长线截取CQ＝AB，连结AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．
【分析】先证明△APB≌△QAC，得∠BAP＝∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF＝90°即可得AP ⊥AQ．
【解答】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．
∵BP＝AC，CQ＝AB，
在△APB和△QAC中，
，
∴△APB≌△QAC（SAS）．
∴∠BAP＝∠CQA，AP＝AQ，
∵∠CQA+∠QAF＝90°，
∴∠BAP+∠QAF＝90°．
即AP⊥AQ
22.解方程：．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】本题考查解分式方程的方程，因为x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），所以可确定原方程的最简公分母为（x+2）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意一定要检验．
【解答】解：去分母，得x（x+2）﹣（x2﹣4）＝2，
去括号，得x2+2x﹣x2+4＝2，
整理，得2x＝﹣2，
解得x＝﹣1，
检验：将x＝﹣1代入（x+2）（x﹣2）＝﹣3≠0，
∴x＝﹣1是原方程的解．
23.根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到2020年底，我国建设城际轨道交通的公里数是客运专
线的2倍．其中建设城际轨道交通约投入8000亿元，客运专线约投入3500亿元．据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需1.5亿元．预计到2020年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】设我国将建设城际轨道交通专线x公里，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设我国将建设城际轨道交通专线x公里，
可得：，
解得：x＝5000，2x＝10000
经检验x＝5000是原方程的解，
答：我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约5000，10000公里．
24.将两个全等的△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点
E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F．
（1）求证：AF+EF＝DE；
（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转角a，且60°＜α＜180°，其他条件不变，如图2，请直接写出此时线段AF、EF与DE之间的数量关系．
【考点】KA：全等三角形的性质；R2：旋转的性质．
【专题】553：图形的全等；558：平移、旋转与对称．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可证Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由线段之间关系可求解；
（2）由全等三角形的性质可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可证Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由线段之间关系可求解．
【解答】证明：（1）连接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴DE＝AC＝AF+CF＝AF+EF
（2）连接BF，
∵△ABC≌△DBE
∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，
∵BE＝BC，BF＝BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴EF＝CF
∴AF＝AC+CF＝DE+EF
25.如下表，方程1、方程2、方程3．是按照一定规律排列的一列方程
（1）猜想方程1的解，并将它们的解，填在图中的空白处．
﹣＝1
﹣＝1
﹣＝1
（2）若方程﹣＝1（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，猜想a、b的值．
（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解．
【考点】37：规律型：数字的变化类；B2：分式方程的解．
【专题】11：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】（1）根据表格中方程解的特征判断出所求即可；
（2）根据表格中的规律确定出a与b的值即可；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．
【解答】解：（1）填写如下：
﹣＝1
﹣＝1
﹣＝1
故答案为：3，4；
（2）若方程﹣＝1（a＞b）的解是x1＝6，x2＝10，则有a＝12，b＝5；
（3）归纳得：第n个方程为﹣＝1，它的解为x1＝n+2，x2＝2n+2．26.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．
（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长AD到Q使得BQ＝AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；
③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是2＜AD＜7 ．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中
（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．
【考点】KY：三角形综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，进而判断出∠ABQ＝∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出结论．
【解答】解：（1）延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△QDB和△ADC中，，
∴△QDB≌△ADC（SAS），
∴BQ＝AC＝5，
在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，
∴4＜AQ＜14，
∴2＜AD＜7，
故答案为：2＜AD＜7；
（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，
∴∠BQD＝∠CAD，
∴AC∥BQ；
（3）EF＝2AD，AD⊥EF，
理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），
∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，
∵AC＝AF，
∴BQ＝AF，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，
∴∠BAC+ABQ＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABQ＝∠EAF，
在△ABQ和△EAF中，，
∴△ABQ≌△EAF，
∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，
延长DA交EF于P，
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAQ+∠EAP＝90°，
∴∠AEF+∠EAP＝90°，
∴∠APE＝90°，
∴AD⊥EF，
∵AD＝DQ，
∴AQ＝2AD，
∵AQ＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD，AD⊥EF．
附加题
1.如图，已知△ABD≌△ACE，且∠ABC＝∠ACB，则图中一共有多少对全等三角形？（）
A．3对B．4对C．5对D．6对
【考点】KA：全等三角形的性质；KB：全等三角形的判定．
【专题】553：图形的全等．
【分析】根据全等三角形的性质得到AE＝AD，CE＝BD，∠ABD＝∠ACE，推出△BFE≌△CFD，△BCD ≌△CBE，△BDE≌△CED于是得到结论．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AE＝AD，CE＝BD，∠ABD＝∠ACE，
∴BE＝CD，
在△BFE与△CFD中，，
∴△BFE≌△CFD（AAS），
在△BCD与△CBE中，
∴△BCD≌△CBE（SSS），
∴BD＝CE，
在△BDE与△CED中，，
∴△BDE≌△CED（SSS），
∴共有4对全等三角形．
故选：B．
2.已知x2﹣2x﹣3是多项式3x3+ax2+bx﹣3的因式（a、b为整数）则a＝﹣5 ，b＝﹣11 ．
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】11：计算题．
【分析】设另一个因式是：mx+n，计算（x2﹣2x﹣3）（mx+n），展开以后与多项式3x3+ax2+bx﹣3对应项的系数相同，即可列方程组求a、b的值．
【解答】解：设另一个因式是：mx+n，则（x2﹣2x﹣3）（mx+n）＝mx3+（n﹣2m）x2+（﹣3m﹣2n）x﹣3n＝3x3+ax2+bx﹣3
则：
解得：
故答案是：﹣5，﹣11．
3.如果一个正整数能写成a2+3b2的形式（其中a、b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7
和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22+3×12，31＝22+3×32．
（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；
（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】44：因式分解；512：整式．
【分析】（1）根据一个正整数能写成a2+3b2的形式，28＝12+3×32＝28，217＝132+3×42＝217；
（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，所以xy＝（a2+3b2）•（c2+3d2），然后根据乘法公式化简，最后分解因式即可．
【解答】证明：（1）∵28＝12+3×32＝28，
217＝132+3×42＝217，
∴28和217都是婆罗摩笈多数．
（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，
xy＝（a2+3b2）•（c2+3d2）
＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2
＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2
＝（ac+bd）2+3（ad﹣bc）2
因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．
4.请阅读下述材料：
下述形式的繁分数叫做有限连分数，其中n是自然数，a0是整数，a1，a2，a3…，a n是正整数：a0+
其中a0，a1，a2，a3，…a n称为部分商．
按照以下方式，可将任意一个分数转化为连分数的形式：a＝，则a＝3+；考虑的倒数，有＝1+，从而a＝3+，再考虑的倒数，有＝3+，于是得到a的连分数展开式，是他有4个剖分商：3，1，3，3；
a＝＝3+．
可利用连分数来求二元一次不定方程的特殊解，以49x﹣13y＝1为例，首先将写成连分数的形式，如上所示；其次，数部分商的个数，本例是偶数个部分商（奇数情况见下例）；
最后计算倒数第二个渐进分数3+＝从而x0＝4，y0＝15是一个特解
考虑不定方程49x﹣34y＝1，先将写成连分数的形式：＝1+
意到此联分数有奇数个部分商：将之改写为偶数个部分商的形式：
＝1+
计算倒数第二个渐进分数：1+＝，所以x0＝25，y0＝36，是49x﹣34y＝1的一个
特解
对于分式，有类似的连分式的概念，利用将分数展开为连分数的方法，可以将分式展开为连分式，例如
的连分式展开式如下，它有3个部分商：
x2﹣x+2，x+2，x﹣；
x2﹣x+2+，
再例如＝1+，他有4个部分商：1，x，x﹣1，x
请阅读上述材枓，利用所讲述的方法，解决下述两个问题
（1）找出两个关于x的多项式p和q，使得（x2+x+1）p﹣（x2+1）q＝1
（2）找出两个关于x的多项式u和v，使得（x3+2x2+x+1）u﹣（x2+x+1）v＝1
【考点】37：规律型：数字的变化类；43：多项式；92：二元一次方程的解；AF：高次方程；B2：分式方程的解．
【专题】21：阅读型；23：新定义；35：转化思想．
【分析】（1）根据题意可以将题目中的式子分式展开为连分式；然后按要求求出计算倒数第二个渐进分式，即可得到所求关于x的多项式p和q；
（2）根据题意可以将题目中的式子分式展开为连分式；然后按要求求出计算倒数第二个渐进分式即可两个关于x的多项式u和v．．
【解答】解：（1），
计算倒数第二个渐进分数：，
∴p＝x，q＝x+1，
（2），
计算倒数第二个渐进分数：，∴u＝x+1，v＝x2+2x，。