4.3.2空间两点间的距离公式

4.3.2空间两点间的距离公式
【学习目标】
1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．
2.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．
【学习重难点】
重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用 难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导 【预习指导】
（1）一楼屋顶C ’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达楼房角A 处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4米，蜂巢能被击落吗？
（2）在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为
|AB|=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？
（3）空间中任意一点P ),,(z y x 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
【合作探究】
空间两点间的距离公式
问题：在研究这一问题之前，我们先想想平面两点距离是怎样推出来的呢？如果是空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式会是怎样呢？
O y
z
x
M
P 1
P 2
N
M 1N 2N 1M 2H 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=
例1 课堂一开始提到的问题。

例2在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，H 为
三角形ABC 的外心，求点P 与H 的距离？ 【巩固练习】 教材P138练习1、2、3、4题 【当堂检测】
1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A.62
B. 3
C.32
D.63
【解析】
设P(x ，y ，z)，由题意可知⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2＝1，y 2
＋z 2
＝1，x 2
＋z 2
＝1，
∴x 2
＋y 2
＋z 2
＝3
2
.
∴x 2
＋y 2
＋z 2
＝6
2
.
【答案】 A
图4-3-3
2．如图4-3-3，空间直角坐标系Oxyz 中，正三角形ABC 的顶点A ，B 分别在xOy 平面和z 轴上移动．若AB ＝2，则点C 到原点O 的最远距离为( )
A.3－1 B ．2 C.3＋1 D ．3
【解析】 连结OA ，△AOB 为直角三角形(图略)，
设D 为AB 的中点，当OD⊥AB 时，O 到AB 的距离最大为1，又C 到AB 的距离为3，所以C 到O 的最远距离为3＋1，故选C.
【答案】 C
3．(2014·景德镇高一期末)在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)、A(2，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
【解析】 S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝1
2
×2×2＝2， S △ABC ＝34×|AB|2
＝34×8＝2 3.
故三棱锥的表面积S ＝6＋2 3. 【答案】 6＋2 3
图4­3­ 4
4．(2014·江苏苏州中学周练)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝|BC|＝2，|D 1D|＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图4­3­4所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；
(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP|的最小值． 【拓展延伸】
图4-3-1
如图4-3-1，以棱长为a 的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立
空间直角坐标系Oxyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．
(1)当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ|的最小值；
(2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ|的最小值．
【解】 (1)当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2，a 2，a 2.
因为点Q 在线段CD 上， 故设Q(0，a ，z)． 则|PQ|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2－z 2 ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2－z 2＋12a 2
.
当z ＝a 2时，|PQ|取得最小值，且最小值为2
2
a.
即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ|有最小值，且最小值为22a.
(2)因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ⊥AB 时，|PQ|最短．
连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ|＝|BQ|，所以△QAB
是等腰三角形，所以当P是线段AB的中点时，|PQ|取得最小值，由(1)知最
小值为
2
2
a.
【课堂小结】
今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？【课外作业】习题4.3组第3题
【教学反思】。