2023年北京中考数学二模分类汇编——四边形综合(解析版)

2023年北京中考数学二模分类汇编——四边形综合
1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点．连接DE并延长至点F，使得EF＝DE．连接AF，BF．
（1）求证：四边形AFBO为平行四边形；
（2）若∠BDA＝∠BDC，求证：四边形AFBO为矩形．
【分析】（1）由三角形中位线定理得OE∥BF，BF＝2OE，再证BF＝OA，即可得出结论；
（2）证∠DBC＝∠BDC，得CD＝CB，再证平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF＝DE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥BF，BF＝2OE，
∵E为OA的中点，
∴OA＝2OE，
∴BF＝OA，
∴四边形AFBO为平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BDA＝∠DBC，
∵∠BDA＝∠BDC，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴CD＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
由（1）可知，四边形AFBO为平行四边形，
∴平行四边形AFBO为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OE，若AB＝2，BC＝4，求OE的长．
【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE，从而得证；
（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，欲求OE，只需在直角△OEF中求得OF、FE的值即可．OF结合三角形中位线求得EF，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥CE．
∵Ac∥DE．
∴四边形ACED是平行四边形．
∴AC＝DE．
在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴BD＝DE
（2）解：作OH⊥BE于H，如图．
在矩形ABCD中，AC＝BD，且AC与BD交于点O，
∴OB＝OC＝OA．
∴BH＝HC．，
∵AB＝2，BC＝4，
∴OH＝1，HC＝2．
在平行四边形ACED中，AD＝CE．
∴CE＝BC＝4．
∴HE＝6．
在Rt△OHE中，OE＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，过点A，C分别作BC，AD的平行线，相交于点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接BE，DE，若，求AB的长．
【分析】（1）首先证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCE是矩形；
（2）在Rt△BCE中，根据三角函数的定义求出CE，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AB．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，点D是BC的中点
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形ADCE是矩形，BD＝CD＝3，
∴∠ADB＝∠BCE＝90°，BC＝6，AD＝CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE＝＝，
∴CE＝6×＝8，
∴AD＝8，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、矩形的判定、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，．
（1）求证：四边形ABCE为菱形；
（2）若，AC＝8，求CD的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质定理和菱形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质和解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，．
∴AE∥BC，AE＝BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE为菱形；
（2）解：∵四边形ABCE为菱形，
∴AE＝CE＝AD，
∴∠ACD＝90°，
∵BC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴，
∵AC＝8，
∴CD＝6．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，连接DB，过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，DE．
（1）求证：四边形BECD是菱形；
（2）连接AE，当∠ACB＝30°，AB＝2时，求AE的长．
【分析】（1）先证四边形BECD是平行四边形，由直角三角形的性质可证BD＝CD，即可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得AC＝2AB＝4，证明△CDE是等边三角形，再利用勾股定理即可得结果．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，CE＝DB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，D是AC中点，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形；
（2）解：如图，连接AE，
∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝4，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE，
∵AD＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝30°，
∴∠CEA＝90°，
∵CE＝CD＝2，
∴AE＝＝＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BM∥AC，过点C作CN∥DB交BM于点E．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接DE，若AB＝2，∠BAC＝60°，求DE的长．
【分析】（1）先证四边形BECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠BOC ＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BC＝AB＝2，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边
三角形，得AC＝AB＝2，进而由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，然后由矩形的性质得BE＝OC＝1，∠OBE＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BM∥AC，CN∥DB，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝2，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴OC＝AC＝1，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
由（1）可知，四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝1，∠OBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝，
即DE的长为DE的长为．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．7．如图，直线AB∥CD，E是AB上一点，F是CD上一点，连接EF，以F为圆心EF长为半径画弧，在点F的右侧交直线CD于点G，再分别以点E和点G为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点H，连接FH交AB于点M，连接MG．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形EFGM的形状；
（2）证明（1）中的结论．
【分析】（1）根据作法即可补全图形，进而利用菱形的判定即可判断四边形EFGM的形状；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明（1）中的结论．
【解答】（1）解：如图即为补全的图形，四边形EFGM是菱形；
（2）证明：根据作图过程可知：FE＝FG，FM平分∠EFG，
∴∠EFM＝∠GFM，
∵AB∥CD，
∴∠EMF＝∠GFM，
∴∠EFM＝∠EMF，
∴EF＝EM，
∴FG＝EM，
∴四边形EFGM是平行四边形，
∵EF＝EM，
∴四边形EFGM是菱形；
【点评】此题考查了作图﹣基本作图，平行线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E 作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长．
【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DF＝AE＝5，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE ＝2CD＝4，进而由勾股定理得EF＝3，然后由面积法求出EG的长即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝5，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF＝＝＝3，
∵EG⊥DF，
＝DF•EG＝DE•EF，
∴S
△DEF
∴EG＝＝＝，
即EG的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A关于BC的对称点为D，连接BD，CD．（1）求证：四边形ABDC是菱形；
（2）过点A作AE⊥BD于E，且交BC于点F，若AB＝6，BE＝4，求AF的长．
【分析】（1）连接AD交BC于O，根据线段垂直平分线的性质得到AO＝DO，AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BO＝CO，根据菱形的判定定理得到四边形ABDC是菱形；
（2）根据垂直的定义得到∠AEB＝∠AED＝90°，根据勾股定理得到AO＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD交BC于O，
∵A关于BC的对称点为D，
∴BC垂直平分AD，
∴AO＝DO，AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BO＝CO，
∴四边形ABDC是菱形；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴＝2，
∴AD＝＝＝2，
∴AO＝，
∵∠AOF＝∠AED＝90°，∠OAF＝∠EAD，
∴△AOF∽△AED，
∴，
∴，
∴AF＝．
【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是过点O作BC的平行线与过点B作BD的垂线（垂足为B）的交点．
（1）求证：四边形OEBC是平行四边形；
（2）连接AE，求证：四边形AEBO是矩形．
【分析】1）由菱形的性质可得出：AC⊥BD，再根据BE⊥BD可得出BE∥OC，然后再根据已知条件OE∥BC即可判定四边形OEBC是平行四边形；
（2）首先根据（1）的结论得出OC∥BE，OC＝BE，再根据菱形的性质得出OC＝OA，据此可得到BE∥OA，BE＝OA，于是可先判定四边形AEBO为平行四边形，最后再根据已知条件BE⊥BD即可判定四边形AEBO是矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又∵BE⊥BD，
∴BE∥AC，
即：BE∥OC，
∵OE∥BC，
∴四边形OEBC是平行四边形．
（2）由（1）可知：四边形OEBC是平行四边形，
∴OC∥BE，OC＝BE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OC＝OA，
∴BE∥OA，BE＝OA，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵BE⊥BD，
∴四边形AEBO是矩形．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握菱形的两组对边分别平行；四条边都相等；对角线互相垂直平分；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
11．如图，点O为▱ABCD的对角线AC的中点，直线l绕点O旋转，当l⊥AC时，与边AB，CD分别交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠BAC＝15°，BE＝1，EC＝2，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△AOE≈△COF，得OE＝OF，再证明四边形AECF是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明即可；
（2）过点C作CH⊥AB交AB延长线于点H，求出CH＝1，再根据菱形的面积计算公式求解即可．
【解答】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥DC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵l⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，
∴∠AHC＝90°，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝2，∠BAC＝∠ACE＝150°，
∴∠HEC＝∠EAC+∠ACE＝30°，
∴CH＝EC＝1，
∵BE＝1，
∴AB＝AE+EB＝2+1＝3，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB×CH＝3×1＝3
【点评】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质和以及菱形面积求法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）连接AC，BD交于点O，当，AC＝6时，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）证△AEB≌△AFD（ASA），得AB＝AD，再由菱形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，再由锐角三角函数定义求出BC＝5，然后由勾股定理得OB＝4，则BD＝8，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
又∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：如图，
由（1）可知，▱ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△BOC中，cos∠ACB＝＝，
∴BC＝OC＝5，
∴OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
＝AC•BD＝×6×8＝24．
∴S
菱形ABCD
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD＝3，AB＝4，∠ADB的角平分线DE交AB于点E，求AE的长．
【分析】（1）根据矩形的判定解答即可；
（2）过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG＝EA．由三角函数定义得出AB＝4，sin∠CAB＝sin∠ABD＝，设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BEG中，由三角函数定义得出，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，OA＝BO，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝3，AB＝4，
∴DB＝，
过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG＝EA．
∵AO＝BO，
∴∠CAB＝∠ABD．
∵AD＝3，tan∠CAB＝，
∴tan∠CAB＝tan∠ABD＝．
∴AB＝4．
∵BD＝5，
∴sin∠CAB＝sin∠ABD＝．
设AE＝EG＝x，则BE＝4﹣x，
在△BEG中，∠BGE＝90°，
∴sin∠ABD＝．
解得：x＝1.5，
∴AE＝1.5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．。