高等数学微积分上复习题及解答

（D）a、b、c 都任意
22、设 f (x)
=
1 − e−x2 x
0
（A）0
（B） 1 2
x ≠ 0 , 则 f ′(0) = ( D )。 x=0
（C）－1
（D）1
23、设 f (x) 是可导函数, 则 ( A )
（A）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 为偶函数
（B）若 f (x) 为奇函数, 则 f ′(x) 亦为奇函数
（D）－ 1 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
∫ 30、当 ( C ) 时，广义积分 0 e−kxdx 收敛。 −∞
（A） k >0
（B） k ≥0
（C） k <0
（D） k ≤0
∫ 31、设 f (x=) sin x sin t2dt, g(x=) x3 + x4 ,则当 x → 0 时 f (x) 是 g(x) 的(B )无穷小. 0
1− x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (D)
1+ x x ≥ 0
42. 设 x → 0 时， esin x − ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n = ( C ).
(A)1
(B)2
(C)3
(D) 4
43. 设 f (x) 在 x = 0 的某个领域内可导，且 f ′(0) = 0 及 lim f ′(x) = 1 ，则( A ). x→0 1− cos x 2
(D) A, B,C 都不对
1− x
41.
设
g(x)
=

x
+
1
x≤0
x2
x
>
0
，
f
(x)
=

x
x < 0 ，则 g [ f (x)] = ( B ).
x≥0
1+ x2 x < 0 (A)
1− x x ≥ 0
1+ x2 x < 0 (B)
1+ x x ≥ 0
1− x2 x < 0 (C)
(D) f ′(x) < 0, f ′′(x) > 0
7.设 y = f (x) 是方程 y′′ − y′ + 4 y =0 的一个解,若 f (x) > 0 ,且 f ′(x0 ) = 0 ,则 f (x)
在 x0 处( A ).
(A) 取极大值 (C) 不一定取到极值
(B) 取极小值 (D) 一定不取到极值
（A） F (x) − F (a)
（B） F (t + a) − F (2a)
（C） F (x + a) − F (2a)
（D） F (t) − F (a)
∫ 28、设 f (x)dx = x2e2x + c, 则 f (x) = ( D ) 。
（A） 2xe2x
（B） 2x 2e2x
（C） xe2x (2 + x)
（B）连续但不可导 （D）可导且导数连续
13、由方程 e y + xy − e = 0 所确定的隐函数的微分 dy = ( C )。
（A） − x dx y + ex
（B） y dx x + ey
（C） −
x
y + ey
dx
（D）
1− y x + ey
dx
14、设函数 f (x) 二阶可导且处处满足方程 f ′′(x) + 3( f ′(x))2 + 2e x f (x) = 0 ，若
(C) 任一点ξ 处,总有 f ′(ξ ) = 0
(D) 任一点 ξ 处,总有 f ′(ξ ) ≠ 0
35.
设
f (0) = 0, lim x→0
f (x) x2
=
−1 ,则函数
f (x) 在 x = 0 处( B ).
(A) 可导,且 f ′(0) ≠ 0
(B) 取得极大值
(C) 取得极小值
(D) 不可导
(D) f ′[ f ′(a)]
33. 设 函 数 f (x) 处 处 可 导 , 且 有 f ′(0) = 1 , 并 对 任 何 实 数 x 和 h , 恒 有 :
f (x + h)= f (x) + f (h) + 2hx ,则 f ′(x) = ( A ).
(A) 2x +1
(B) x +1
（A）仅有水平渐近线
（B）仅有铅直渐近线
（C）既有水平还有铅直渐近线 （D）既没有水平也没有铅直渐近线
17、设 f (x) 是 sin 2 x 的一个原函数，则 df (x2 ) = ( A )。
（A） 2x sin 2 x 2dx
（B） sin x4dx
（C） 2x sin x2dx
（D） sin x 2dx 2
系式为( C ). (A) a = c
(B) a + b + c =0
(C) b2 − 3ac = 0
(D) b2 − 4ac = 0
38. ∫ xx (1+ ln x)dx = ( B ).
(A) 1 xx+1 + ln x + C x +1
(B) xx + C
(C) x ln x + C
(D) 1 xx ln x + C 2
39. lim( 1 + 1 + + 1 ) = ( A ). n→∞ n +1 n + 2 n + n
(A) ln 2
(B) e
(C) 0
(D) 1
sin x
40.
设
f
(x)
=

x
k
x≠0
ห้องสมุดไป่ตู้
1
的定积分 ∫0 f (x)dx ( C ).
x=0
(A) 不存在
(B) 存在且与 k 有关
(C) 存在且与 k 无关
dx 1 t
（A） f (x) sin( f (x)) f ′(x) x
（B） x sin( f (x)) f (x)
（C） x sin( f (x)) f ′(x) f (x)
（D） x sin xf ′(x) f (x)
20、下列广义积分收敛的是 ( C )。
+∞ ln x
+∞ 1
+∞ 1
+∞ 1
高等数学第一学期复习
一、选择题 (每小题 2 分)
1. 函数= f (x)

−1
ex

ln
x

1
x −1
x<0 0< x <1
x ≥1
,当( C )时无穷大量.
(A) x → −∞ (C) x → 0
(B) x → +∞ (D) x → 1
2. 下列函数中,在[−π ,π ] 上满足罗尔定理的条件是( C ).
x0 是该函数的一个驻点且 f (x0 ) <0，则 f (x) 在点 x0 处 ( B )。
（A）取极大值 （B）取极小值 （C）无极值
（D）不确定
15、若
y
=
3 1+ x2
在
[－1, 1]
上满足罗尔中值定理,
则定理中的
ξ
=(B)
（A）－1（B）0 （C）2 （D）1
16、当 x > 0 时, 曲线 y = x sin 1 ( A )。 x
8. 函数( C )的需求价格弹性 EQ 与价格无关. EQ = Q ' P
Ep
Ep Q
(A) Q= a − bp
(B) Q =a − bp − cp2
(C) Q = Apa
9.下列不等式中,( B )成立.
∫ ∫ (A)
e ln2 xdx >
e
ln xdx
1
1
∫ ∫ (C) +∞ x3dx > +∞ x2dx
(A) f ′(0) 必是 f ′(x) 的一个极小值
(B) f ′(0) 必是 f ′(x) 的一个极大值
(C) f (0) 必是 f (x) 的一个极小值
(D) f (0) 必是 f (x) 的一个极大值
44. 若已知 m > N 2 > 1,T= m +1 − m ，则( D ). （提示：Lagrange 定理）
∫ (D)
e x ln2 x
x 2 + cos2 x − 1
11、 lim
＝( B )
x→∞ (x + sin x)2
（A）0
（B）1 （C）不存在 （D） ∞
12、函数
f
(x)

=

x2 −1 x −1
2
x ≠ 1 在点 x = 1 处 ( A ) x =1
（A）不连续 （C）可导但导数不连续
6. 若 f (= −x) f (x)(−∞ < x < +∞) ,在 (−∞, 0) 内 f ′(x) > 0 ,且 f ′′(x) < 0 ,则在 (0, +∞)
内有( C ). (A) f ′(x) > 0, f ′′(x) < 0
(B) f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0
(C) f ′(x) < 0, f ′′(x) < 0
(A) 等价
(B) 同阶非等价
(C) 高阶
(D) 低阶
32. 如果 f (x) 处处二次可微,
则
lim
k →0
lhi→m0
f
(a + k
+ h) −
f
(a + k) − hk
f
(a + h) +
f
(a)
=(
B
).
(A) f ′(a) f ′(k)
(B) f ′′(a)
(C) [ f ′(a)]2
18、
∫
1 ( cos 2
x
−1)d (cos
x)
=
(
D
)
（A） tan x − x + c
（C） − 1 − x + c cos x
（B） tan x − cos x + c （D） − 1 − cos x + c
cos x
∫ 19、设 f (x) 单调可导， g(x) 是 f (x) 的反函数，则 d f (x) g(t) sin tdt = ( C )。
1
1
10.下列广义积分收敛的是( D ).
+∞ ln x
(A) ∫e
dx x
(D) Q = A p+a
∫ ∫ (B)
e2 ln2 xdx >
e2
ln xdx
e
e
∫ ∫ (D) −2 x4dx > −2 x3dx
−1
−1
+∞ dx
(B) ∫e x ln x
+∞ dx
(C) ∫e x ln x
+∞ dx
∫ ∫ ∫ ∫ （A）
dx （B）
dx （C）
dx （D）
dx
ex
e x ln x
e x ln 2 x
e x ln x
21、若当 x → ∞ 时
1
~ 1 ，则 a、b、c 的值一定是( B )。
ax2 + bx + c x + 1
（A）a＝0，b＝1，c＝1
（B）a＝0，b＝1，c 任意
（C）a＝0，b、c 任意
(D) 4
(A) f [g(x)]
(B) f [ f (x)] (C) g [ f (x)]
(D) g [g(x)]
5. 函数 f (x) 在 (a,b) 内连续,则( C )也在 (a,b) 内连续.
(A) 1 f (x)
(B) ln f (x)
(C) 3 f 2 (x)
(D) arcsin f (x)
36.设 f (x) 是 (−∞, +∞) 上奇函数，且对任意实数 x 有： f (x + 2) − f (x) =f (2) 成
立, 则当 f (x) 是以 2 为周期的周期函数时,必有 f (1) = ( B ).
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
37. y = ax3 + bx2 + cx + d 在同一 x 处有一拐点和一水平切线,则 a,b, c 应满足关
（C）若 f (x) 为单调函数, 则 f ′(x) 亦为单调函数
（D）若 f (x) 为非负函数, 则 f ′(x) 亦为非负函数 24、设 y = f (−x) 可导，则 y′ ＝( D )。
（A） f ′(x)
（B）－ f ′(x)
（C） f ′(−x)
（D）－ f ′(−x)
25、 f ′(x0 ) = 0 且 f ′′(x0 ) > 0 是 y = f (x) 在点 x0 处有极值的( B )条件。
(A)
f
(x)
=
1 x2
(B) f (x) = sin x
(C) f (x) = cos x
(D) f (x) = x cos x
1
3. 曲线 y = e x2 arctan
x2 − x − 2
有( B )条渐近线.
(x −1)(x + 2)
(A) 1
(B) 2
(C) 3
4. 若 f (x) 为奇函数, g(x) 为偶函数,则( B )为奇函数.
(A) T > 1 2N −1
(B) T < 1 2N −1
(C) x
(D) ex
34. 设 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导,且有 f (a) = f (b) ,若 f (x) 不恒等于
常数,则在 (a,b) 内( B ).
(A) 至少存在一点 ξ ,使得 f (ξ ) > 0 (B) 至少存在一点 ξ ,使得 f ′(ξ ) > 0
（A）必要
（B）充分
（C）充分必要 （D）无关
26、若点（1, 3）是曲线 y = ax3 + bx2 上的拐点，则 a, b 分别为 ( B )。
（A）－3/2，－9/2
（B）－3/2，9/2
（C）3/2，－9/2
（D）3/2，9/2
x
27、已知 F (x) 是 f (x) 的原函数, 则 ∫ a f (t + a)dt =( C )。
（D） 2xe2x (1 + x)
29、设
f (x)
连续且不等于零, 若
∫ xf (x)dx = arcsin x + c , 则
∫
dx f (x)
=
(
D
)。
（A） 2 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
（B） 1 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3
（C）－ 2 (1 − x 2 )3/ 2 + C 3