2020高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数第三节数学归纳法课后作业理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数第三节
数学归纳法课后作业理
一、选择题
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋1
3
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋1
4
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋1
3
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋1
4
2．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k ＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得( ) A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
5．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2) …·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( ) A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.2k＋3
k＋1
二、填空题
6．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N，且n>1)，第一步要证的不等式是________________．
7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为______________________________________．
三、解答题
9．求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
10．用数学归纳法证明：
1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．
1．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n) 的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
2．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
A. B.1
2n2n＋1
C. D.1
2n＋12n＋2
3．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是____________．
4．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．
答案
一、选择题
1．解析：选D 由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.
2．解析：选C 因为当n ＝k(k∈N*)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，命题也成立．现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时命题也不成立．
3．解析：选B 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n 的最小值是8.
4．解析：选C 边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．
5．解析：选B 当n ＝k(k∈N*)时，
左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k＋k)；
当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k －1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k ＋1)，
则左边应增乘的式子是＝2(2k ＋1)．
二、填空题
6．解析：当n ＝2时，左边为1＋＋＝1＋＋，右边为2.故应填1＋＋<2.
答案：1＋＋<2
7．解析：n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立． 答案：2k ＋1
8．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k2，
则当n ＝k ＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2，
故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2.
答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2
三、解答题
9．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－＝，
右边＝＝，左边＝右边，等式成立．
(2)假设n ＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n ＝k ＋1时，
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12k ＋1－12k ＋2
＝＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－1
2k ＋2 ＝＋＋…＋＋.
即当n ＝k ＋1时，等式也成立．
综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
10．证明：(1)当n ＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n ＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，即
1＋＋＋…＋<2－.
当n ＝k ＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－1
k ＋1
＝2－，命题也成立．
综合(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．
1．解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．
2．解析：选C 由a1＝，Sn ＝n(2n －1)an 求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an ＝.
3．解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.
答案：1
2k ＋12k ＋2 4．解：∵f′(x)＝x2－1，且an ＋1≥f′(an＋1)，
∴an ＋1≥(an ＋1)2－1.
∵函数g(x)＝(x ＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数．
于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，
进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，
由此猜想：an≥2n－1.
下面用数学归纳法证明这个猜想：
①当n ＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1.
当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上是增函数知ak＋1≥(ak ＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，
即n＝k＋1时，结论也成立．
由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.
即1＋an≥2n，∴≤，
∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n<1.。