人教版高中数学必修五课时作业28：习题课 正弦定理和余弦定理

习题课 正弦定理和余弦定理
基础过关
1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝13
14，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17
D.－18
解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ＝
49＋9－642×7×3＝－1
7.
答案 C
2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，1
5，则此人能( )
A.不能作出这样的三角形
B.作出一个锐角三角形
C.作出一个直角三角形
D.作出一个钝角三角形
解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，1
5对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23
110<0，
∴A 为钝角. 答案 D
3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )
A.19
B.14
C.－18
D.－19
解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝19
35.
所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )
＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1935＝－19，故选D.
答案 D
4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则c
sin C ＝________.
解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝3
2， ∴c ＝2，
∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝3，
∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝3
32＝2.
答案 2
5.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c
cos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝b
cos B ，
∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边
6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值；
(2)求sin(2B －A )的值.
解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝b
sin B ，得a ＝2b .
由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝－55ac ac ＝－5
5.
(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝5
5.
由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝4
5，
cos 2B ＝1－2sin 2B ＝3
5，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35
×255＝－255. 7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.
解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝b
sin B ， 得sin A ＝
32
. 因为A 是锐角，所以A ＝π
3.
(2)因为a ＝6，cos A ＝1
2，
所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36.
又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝28
3. 由三角形面积公式S ＝1
2bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝73
3.
能力提升
8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为1
3，则其外接圆半径为( ) A.922
B.924
C.928
D.229
解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝22
3. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
∴a 2＝32＋22－2×3×2×1
3＝9，∴a ＝3. ∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝
32×223
＝92
8. 答案 C
9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 2
43，则cos C 的值为
( ) A.12
B.22
C.32
D.0
解析 S △ABC ＝1
2ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，
∴tan C ＝3
3，C ∈(0，π)，
∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C
10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝3
2.
又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°
11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝1
2a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________.
解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝1
2a 可得：a ＝c ，b ＝3
2c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34. 答案 34
12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.
(1)求1tan A ＋1
tan C 的值； (2)设BA →·BC
→＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝3
4及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝7
4，由b 2＝ac 及正弦定
理，得sin 2 B ＝sin A sin C ， 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B
＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝47
7.
(2)由BA →·BC
→＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝3
4，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.
创新突破
13.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积. 解(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0
得tan A＝－3，又0<A<π，所以A＝2π
3.
由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos 2π
3.
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝π
2
，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π
6.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
1
2AB·AD sin π6
1
2AC·AD
＝1.
又△ABC的面积为1
2×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为 3.。