数学-2022年高考考前押题密卷(新高考2卷)(全解全析)

9 + 1 4 4 2 2 ⎭ AB 2022 年高考考前押题密卷（新高考 2 卷）
数学·全解全析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
C
B
C
D
A
C
D
BCD
ACD
BCD
BD
合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】因为 A = {x | -2 ≤ x < 3} ， B = {
y | y = 2x , x ≤ 1}
={ y 0 < y ≤ 2}，所以 A B = {x | 0 < x ≤ 2} ．故选 C ． 2．【答案】C
【解析】由 z (i 3
-1) = 2i +1 得 z = 2i +1 = 2i +1 = - (2i +1)(1- i) = - 3 - i ，所以 z = = 10 ，
故选 C ．
3
. 【答案】
B
i 3
-1 -i -1 (1+ i)(1- i) 2 2 2
【解析】命题 p ：“ ∃x ∈⎡ 1 , 4⎤
，x 2 - ax + 4 > 0 ”，即a < ⎛ x + 4 ⎫ ，设函数 f (x ) = x + 4
，易得 f (x ) 在
x = 2 时 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ x
⎪
x ⎝
⎭max
取得最小值为 4，在 x = 1 时取得最大值为
17 ，故a <
17 ，故选 B ．
2
2
2
4
. 【答案】C
【解析】因为α∈ ⎛π, 3π⎫
，则α+ π∈⎛ 4π, 11π⎫ ，又tan ⎛α+ π⎫ = -2 < 0，故α+ π∈⎛ 3π, 11π⎫ ， 2 ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ 3 ⎝ 3 6 ⎭ ⎝ 3 ⎭ 3 ⎝ 2 6 ⎭
则cos ⎛α+ π⎫ = 5 , s in ⎛α+ π⎫ = - 2 5
，故 3 ⎪ 5
3 ⎪ 5 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
cos ⎛α+ π ⎫ = cos ⎡⎛α+ π⎫ - π⎤ = cos ⎛α+ π⎫cos π+ sin ⎛α+ π⎫sin π 12 ⎪ ⎢ 3 ⎪ 4 ⎥ 3 ⎪ 4 3 ⎪ 4
⎝ ⎭ ⎣⎝
⎭ ⎦ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ = ⨯ 5 + ⨯⎛ - 2 5 ⎫ = - 10．故选 C ．
2 5 2 5 ⎪ 10 ⎝ ⎭
5
. 【答案】D
【解析】由题意可知 A (a , 0) ， BF ⊥ x 轴，当 x = c 时， c 2 - y 2 = ，解得： y 2 = b 4
，又因为直线 AB 的斜
⎛ b 2 ⎫
a 2
b 2
1
a 2
b 2
率为4 ，所以点 B 在第一象限，所以 B c , ⎝ ⎪ ，k = a = 4 c - a
，即b 2
= 4a (c - a ) ，化简得3a 2 - 4ac + c 2 = 0 ，
a
AM =
=
10
两边同时除以a2后得3 - 4e +e2= 0 ，解得：e =1（舍去）或e = 3．故选
D．6．【答案】A
【解析】设点P (t，t+4)， C (x1, y1 )，D (x2 , y2 )，因为PD，PC 是圆的切线，所以OD ⊥PD, OC ⊥PC ，
所以C，D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为⎛x - t ⎫2⎪ +⎛y - t+4 ⎫2⎪ t2+(t+4)2，又C，D在圆x2+y2= 4
⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭4
上，则将两个圆的方程作差得直线CD 的方程：tx+(t+4)y - 4 = 0 ，即t (x+y)+ 4(y -1)= 0 ，所以直线CD 恒过定点Q (-1，1)，又因为OM ⊥CD ，M，Q，C，D四点共线，所以OM⊥MQ，即M在以OQ为直径的
⎛ 1 ⎫2 ⎛
1 ⎫
2 1'⎛ 1 1 ⎫2
圆上，其圆的方程为 x+
2 ⎪
+ y -
2 ⎪
=
2
，圆心O - ，
⎪，半径为r =
，所以
2
min
AO'
⎝⎭⎝⎭
-r =
⎝
-
2
=2
2
2 2 ⎭
，所以AM 的最小值为2，故选A．
7.【答案】C
【解析】由题可得任取 4 个数字的数字串，其中偶数个数、奇数个数及数字个数的分类有：0，4，4；1，3，4；2，2，4；3，1，4；4，0，4．则第一步得到数字串依次为044，134，224，314，404；第二步得到的数
C1⋅C3+ C3⋅C150 + 50 100 10字串依次为303，123，303，123，303．故第二步便进入“黑洞”的概率为5555===，
4210 210 21故选C．
8.【答案】D
【解析】因为f (x)= 2 -f (-x)，所以f (ax)≥ 2 -f (-2 l n x)=f (2 l n x)，又f (x)为定义在R 上的增函数，所以ax ≥ 2 ln x ，对∀x∈(0,+∞) 恒成立，即a ≥ 2
ln x
，设h (x )=
ln x
，则h'(x )=1- ln x ，当x ∈(0, e)时，
x x x2
h'(x)> 0, h (x)单调递增，当x ∈(e, +∞)时，h'(x)< 0 ，h (x)单调递减，则h (x)≤h (e)=1 ，所以a ≥2 ，即
e e
⎛
-2 + 4⎪+ 2 ⎪
1⎫2 ⎛1 ⎫2
⎝ ⎭⎝⎭
2 2
C
⎩ 10 10 10 ⎭
a ∈ ⎡ 2 , +∞ ⎫
．故选 D ．
⎢⎣ e ⎪
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9
. 【答案】BCD
⎧E ( X ) = np = 30 【解析】对于 A ， ⎨
D ( X ) = np (1 - p ) = 20
，解得 p = 1
，A 错误； 3
对于 B ，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B 正确；
对于 C ，ξ服从正态分布 N (0,1) ， P (-1 < ξ≤ 0) = P (0 ≤ ξ< 1) = 1
- P (ξ> 1) = 1
- p ，C 正确；
2
2
⎧C k 0.8k ⨯ 0.210-k ≥ C k -10.8k -1 ⨯ 0.211-k
对于 D ， X ~ B (10, 0.8) ，则 P ( X = k ) = C k 0.8k ⨯ 0.210-k ，由⎨ ⎩
10 10 ，解 C k 0.8k ⨯ 0.210-k ≥ C k +1
0.8k +1 ⨯ 0.29-k 得 39 ≤ k ≤ 44
，所以k = 8 ．D 正确．故选 BCD ． 5 5
1
0. 【答案】ACD
【解析】对于 A ，函数的定义域为R ,且 f (- x ) = f ( x ) ,则ln (
e
-2 x
+1)+ a (- x ) = ln (
e 2 x
+1 )
+ ax ,则ln e 2 x
+1 = -2ax ,
e -2 x +1
则ln e 2x = -2ax ,故2x = -2ax 恒成立,故a = -1 ,故 A 正确；
对于 B ，若a = - 1 ,则 f (x ) = ln (e 2x +1)- 1 x ， f (1) = ln (e 2 +1)- 1 > 0 ， f (-1) = ln (e -2 +1)
+ 1
> 0 ，
2 2 2 2
f (1) = - f (-1) 不成立，故 B 不正确.
对于 C ，当a = -1 时, f (x ) = ln (e 2 x
+ 1)
- x ,可得 f '(x ) = 2
e 2 x -1 = 1- 2 ，令
f '( x ) = 0 ,即1- 2 = 0 ,解得 e 2x +1 e 2x +1
e 2x +1
x = 0 ,所以当 x ∈(-∞, 0) 时, f '( x ) < 0 , f (x ) 单调递减,当 x ∈(0, +∞) 时, f '( x ) > 0 , f (x ) 单调递增,所以
f (x )min = f (0)= ln 2 ,所以 C 正确；
对于 D ， f '(x ) = (2 + a ) - 2
e 2x + 1 ,因为
f (x ) 存在极值,则 f '( x ) = 0 有零点,令 f '( x ) = 0 ,即(2 + a ) - 2 e 2x +1
= 0 , 所以e 2x =
-a
a + 2
-a ,则 a + 2 > 0 ,即a (a + 2) < 0 ,解得-2 < a < 0 ,所以 D 正确.故选 ACD. 1
. 【答案】BCD
【解析】对于 A ，由题意知，抛物线的解析式为 y 2 = 8x ，所以焦点 F (2, 0) ，故 A 错误；
对于 B ，若直线 AB 的斜率k AB = 0 ，显然不合题意；设直线 AB : x = my + n ，代入 y 2 = 8x ，得 y 2 - 8my - 8n = 0 ，
2 2
1 - ⎛
2 ⎫2
⎝ 2 ⎭ ⎪ 2 则 y 1 + y 2 = 8m ， y 1 y 2 =
-8n
，所以 x 1 x 2
y 2 y 2
= 1 ⋅ 2 = 8 8 n 2 ，所以 k OA k OB = -8 = y 1 ⋅ y 2 = -8 x 1 x 2 n
，所以n = 1 ，所以直线 AB 过定点(1, 0) ，故 B 正确；
对于 C ，由直线 AB 过点 F ，可设直线 AB : x = my + 2 ，代入 y 2 = 8x ，得 y 2 - 8my -16 = 0 ，则 y 1 + y 2 = 8m ，
y 2 y 2
y 1 y 2 = -16 ，所以 x 1x 2 = 1 ⋅ 2 = 4 ，故 C 正确；
8 8
对于 D ，由 C 可知，x x = 4 ，x + x = 8m 2 + 4 ，所以 AF ⋅ BF = ( x + 2)(
x + 2) = 16m 2 +16 ，所以当m = 0 时，
1 2
1
2
1
2
AF ⋅ BF 的最小值为 16，故 D 正确，故选 BCD ．
1
2. 【答案】BD
【解析】如图，
正方体内切球的球心O 即正方体的中心，且球半径 R = 1 ，当G 与 B 重合时， A ∈ 平面 EFB ，O ∉平面 EFB ， 此时直线OA 与平面 EFG 相交，A 错误；
当G 为 BC 的中点时，EG ⊥ BD ，EG ⊥ BB 1 ，BD BB 1 = B ，则
EG ⊥ 平面 BB 1D 1D ，因为 B 1D ⊂ 平面 BB 1D 1D ， 所以 EG ⊥ B 1D ；同理，FG ⊥ B 1D ，因为 EG FG = G ，所以 B 1D ⊥ 平面 EFG ，即OD ⊥ 平面 EFG ，B 正确； 取 EF 的中点 M ，由对称性可知，OE = OF ，则OM ⊥ EF ．因为OE = ，EM = 1 EF = 1 EC 2 + FC 2 = 6
，
2 2 2
则OM = = ，所以直线 EF 的被球O 截得的弦长为2 2 = 2 = ，C 错误；
设截面圆半径为r ，球心O 到截面的距离为d ，则r 2 + d 2 = R 2 = 1．因为d ≤ OM = 2 ，则r 2 = 1 - d 2
≥ 1
，
2
2
所以截面圆面积S = πr 2 ≥ π
，D 正确，故选 BD ．
2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1
3. 【答案】10
⎛ 1 ⎫ 【解析】因为向量a 和b 的夹角为120︒ ，且 a = 2 ，
b = 2 ，所以a b = a ⋅ b cos120︒ = 2⨯ 2⨯ - ⎪= -2 ，所 ⎝ ⎭ OE 2 - EM 2 R 2 - O M 2 2
3 a 2 + a 2
+ a 2
2
a ⎭
以(2a - b ) ⋅ a = 2a
1
4. 【答案】 21
16
- b ⋅ = 2⨯ 22 - (-2) = 10 ，故答案为10 ．
9
r
3r
3 6 ⎛ 1 ⎫ r 9- r 1 r - r 1 r 9-
【解析】由题意可得，C n = C n ，解得n = 9 ，所以 x - ⎝ 2 x ⎪ 展开式的通项为T r +1 = C 9 x (- ) x 2 = C 9 (- ) x 2 ， 2 2 由9 - 3 r = 0 得， r = 6 ，所以常数项为第七项T = (- 1 )6 C 6 = 21
．故答案为
21
．
2 1
5. 【答案】36π
7 2 9 16
16
【解析】因为三棱锥 P - ABC 中，底面为等边三角形，侧棱长相等，所以三个侧面均为全等的等腰三角形， 又∠APB = 90 ，即三个侧面均为全等的等腰直角三角形，所以 PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且 PA =PB =PC ， 所以可将三棱锥 P - ABC 补形为正方体，则该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
设 PA = PB = PC = a ，则 AB = AC = BC = 2a ，又
P 到底面 ABC 的距离为 2，所以由
1 S ⨯
2 = 1 S ⨯PA ，即 1 ⨯ ( 2a )2 ⨯ 2 = 1 ⨯ 1
a ⨯ a ⨯ a ，解得a = 2 ，所以正方体的外接球直径
3 ABC 3 PBC 3
4 3 2
2R = = 6 ，即 R = 3 ，所以该三棱锥外接球的体积为
V = 4πR 3 = 4
π⨯ 33 = 36π，故答案为
36π． 3 3
46 -1
1
6. 【答案】
3
【解析】由 g (n ) 的定义易知 g (n ) = g (2n ) ，且若n 为奇数则 g (n ) = n ， 令 f (n ) = g (1) + g (2) + g (3) + + g (
2n -1)
，
则 f (n +1) = g (1) + g (2) + g (3) + + g (
2n +1 -1) = 1+ 3 + + (2 n +1 -1 )
+ g (2) + g (4) + + g (2 n +1- 2)
3
(2 3 )2
+ (2 3 )2
+ (2 3 )
2
3 9 +12 - 2 ⨯ 3⨯ 2 3 ⋅
3
2
3 (
1⨯(
1- 4 )
3
+ = + ⎝ ⎭
2n ⨯ ⎡⎣1+ (2n +1
-1)⎤⎦
n
= n
=
+g (1) +g (2) + +g 2
2
-1
)
4 + f (n ) ，
即 f (n +1) - f (n ) = 4n ，
由此可得 f (1) = 1, f (2) - f (1) = 4, f (3) - f (2) = 42 , , f (6) - f (5) = 45 ，
6
以上各式相加得 f (6) = 1+ 4 + 42 + 45 = = 46 -1 ，
1- 4 3
46 -1
即 g (1) + g (2 )+ g (3 )+ ⋅⋅⋅ + g (2 6 -1 )=
，
故答案为： 46 -1
. 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ⎧2a 1 + d = 8
17．（10 分）【解析】（1）设公差为d ，由题⎨ ⎩9a 1 36d 11a 1 33d ，（3 分）
解得a 1 = 3， d = 2 ．所以a n = 2n + 1．（5 分）
（2）由（1），
a n = 2n + 1，则有 S n = n
(3 + 2n +1) = n 2 + 2n ．（7 分）
2
则 1 = 1 = 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ．
⎪ S n n (n + 2) 2
n n + 2
所以T = 1 ⎡⎛1- 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + + ⎛ 1 -
1 ⎫ + ⎛ 1 -
1 ⎫⎤ = 1 ⎛1+ 1 - 1 -
1 ⎫ < 3 ．（10 分）
n 2
⎢ 3 ⎪ 2 4 ⎪ 3 5 ⎪ n -1
n +1 ⎪ n n +2 ⎪⎥ 2 2 n +1 n +2 ⎪ 4
⎣⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝
⎭ ⎝ ⎭⎦ ⎝ ⎭
18．（12 分）【解析】（1）由已知及正弦定理得sin C cos A +sin A cos C = 2sin B cos A . （2 分） 即sin ( A + C ) = 2cos A sin B .
由sin ( A + C ) = sin B ≠ 0 ，可得cos A = 1 ，因为0 < A <π，所以 A = π
．（6 分）
（2）根据余弦定理可得a = 2
3 = (b + c )2 - 2bc (1 + cos A ).（8 分）
由已知， 1 bc sin A = 3 3
，可得bc = 3 ，因为b + c = 5, cos A = 1 ，所以a = 4 ．（12 分）
2 4
2 19．（12 分）【解析】（1）∵ AD =
3 ， DN = 2 ，
∠ADB = 30︒ ，
∴ AN = = ，∴
AN 2 + AD 2 = DN 2 ．（2 分）
∴ ∠DAN = 90︒ ，∴ AC ⊥ AD ，∵ PA ⊥ 平面 ABCD ，而 AC 在平面 ABCD 中，
c 2 + b 2 - 2bc cos A
3 2 ⋅ 2 10 ∴ PA ⊥ AC ， PA ⋂ AD = A ，且 PA , AD 都在平面 PAD 内，
∴ AC ⊥ 平面 PAD ．（6 分）
（2）以点A 为原点，以 AC , AD , AP 为 x , y , z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 P (0, 0, 3) ， A (0, 0, 0) ， B ⎛ 3 3 , - 3 , 0⎫ ， D (0,3, 0) ， M ⎛ 0, 3 , 3 ⎫ ， C (3, 0, 0) ，（7 分）
2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
⎛ 3 3 3 ⎫ ⎛ 3 3 ⎫
∴ PA = (0, 0, -3) ，
AB = , - , 0 ⎪ ， AM = 0, , ⎪， AC = (3, 0, 0) ⎝ 2
2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭
设平面 PAB 与平面MAC 的一个法向量分别为n 1 = ( x 1, y 1, z 1 ) ， n 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ， 平面 PAB 与平面 MAC 所成二面角为θ，
⎧ ⎪n 1 ⋅ PA = 0 ∴ ⎨ ⎧-3z 1 = 0
⎪ ⎨3 3
3 ，可取n 1 = (1, 3, 0)
，（8 分） ⎪n 1 ⋅ AB = 0 ⎩
⎩⎪
2 x 1 - 2 y 1 = 0
⎧ ⋅ = 0
⎧ 3
y + 3 z = 0 ⎪n 2 AM ⎪ 2 2 ⎨ ⇒ ⎨ 2 2 ，可取n 2 = (0,1, -1) ⎪
n 2 ⋅ AC = 0 ⎪ 3x = 0 ⎩
⎩ 2
∴
cos θ = = = 6 4 ，则
sin θ= ．（ 4
12 分）
20．（12 分）【解析】（1）由图可知m = 1- (0.15 + 0.20 + 0.30 + 0.10) = 0.25 ，（2 分）估计这一批口罩中优等品的概率为0.25 + 0.1 = 0.35 .（5 分）
n 1 ⋅ n 2 n 1 n 2
⇒
2 C ⎩
⎩ ⎨1 1 2 2 3 2 (
（2）因为m = 0.25 ，所以从[98，99）中抽取 0.25 0.25 + 0.1 ⨯ 7 = 5 个，从[99，100]中抽取 0.1
1.25 + 0.1
⨯ 7 = 2 个．
则 X 的可能取值为 1，2，3，（7 分）
C 1C 2 且 P ( X = 1) = 5 2 C 3 1 C 2C 1 = , P ( X = 2) = 5 2 7 C 3 = 4 , P ( X = 3) = 5 7 C 3 2 ．（9 分） 7 7
7 7
故 X 的分布列为
X 1
2
3
P
1
7
4
7
2 7
E ( X ) = 1⨯ 1 + 2⨯ 4 + 3⨯ 2 = 15
．（12 分）
7 7 7 7
⎧4a = 12
21．（12 分）【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c (c > 0) ，由题意可得⎨2a + 2c = 8 ，（2 分）
⎧a = 3
解得⎨c = 1
，所以b = = 2 ，
2 因此椭圆C 的方程为 x + y
= 1．（6 分）
9
8
（2）因为直线l 过点 F 2 (1, 0) 且不与 x 轴重合，所以设l 的方程为 x = my + 1 ，
⎧x = my + 1
⎪ 联立方程⎨ x 2 ⎪⎩ 9
+ y
2
8 ，消去 x 并整理得 8m = 1 2 + 9)
y 2 + 16my - 64 = 0 ， ⎧
y + y = - 16m
1
2
设M ( x , y ) ， N ( x , y ) ，则 8m 2 + 9 ， ⎪ y y = - 64
⎪⎩
1 2 所以
x + x = m ( y + y ) + 2 = 18 8m 2 + 9
， 1
2
1
2
8m 2 + 9
-72m 2 + 9
x x = (my + 1)(my + 1) = m 2
y y + m ( y + y ) + 1 =
．（9 分）
1 2
1
2
1 2
1
2
8m 2 + 9
设T (t , 0) ，则直线TM 与TN 的斜率分别为k TM y 1
x - t ，
k TN y 2 x - t ，
则k ⋅ k =
1 2
y 1 y 2
TM
TN
( x 1 - t )(x 2 - t )
- 64
= y 1 y 2 = 8m 2
+ 9
x x - t (x + x )+ t 2 -72m 2 + 9 - 18 2
1 2 1 2
8m 2 + 9 t ⋅ 8m 2 + 9 + t
a 2 - c 2 = ⎪ = =
=
．
-64
(
8t 2 - 72)
m 2 + 9 -18t + 9t 2
所以当8t 2 - 72 = 0 ，即
当t = -3 时，
∀m ∈ R ， k ⋅ k = - 4
； TM
TN
9
当t = 3 时，
∀m ∈ R ， k ⋅ k = - 16 ．
TM
TN
9
因此，所有满足条件的T 的坐标为(-3, 0) 和(3, 0) ．（12 分）
22．（12 分）【解析】（1）因为 f ( x ) = ln2x + ax + 2(x > 0) ，所以 f '( x ) = 1
+ a ． x 若a ≥ 0 ，则 f '(
x ) > 0 恒成立； 若a < 0 ，令 f '( x ) = 0 ，解得 x = - 1
，
a 当 x ∈⎛ 0, - 1 ⎫ 时， f '( x ) > 0 ；当 x ∈⎛ - 1 , +∞⎫
时， f '( x ) < 0 ，（5 分） a ⎪ a ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
综上所述，当a ≥ 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为(0, +∞) ；
当a < 0 时， f ( x ) 的单调递增区间为⎛ 0, - 1 ⎫ ，单调递减区间为⎛ - 1 , +∞⎫ ．（6 分） a ⎪ a
⎪ ⎝ ⎭ （2）
g ( x ) = f ( x ) - 2 x e ax +1 = ln2 x - 2 x e ax +1 + ax + 2 = ln ( 2 x e ax +1) 令t = 2x e ax +1,t > 0 ，则ln (2 x e ax +1 )
-2 x e ax +1 +1 = ln t - t +1 ， 令函数h (t ) = ln t - t + 1(t > 0) ，则h '(t ) = 1 -1 ，
t 可得h (t ) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +∞) 上单调递减，
⎝ ⎭ - 2 x e ax +1 + ，
又由h (1) = 0 ，所以h (t )有且仅有一个零点t = 1，即2x e ax +1 = 1， 故函数 g ( x ) 有且只有 x , x 两个零点等价于函数ϕ( x ) = 2x e
ax +1
-1(x > 0) 有且只有 x , x 两个零点，
1 2
1 2
可得ϕ
'( x ) = 2 (1+ ax ) e ax +1
，（8 分）
若a ≥ 0 ，则ϕ'(
x ) > 0 恒成立，ϕ( x ) 在(0, +∞) 上单调递增， 则ϕ( x ) 最多只有一个零点，不符合题意；
若a < 0 ，则当 x ∈⎛
0, - 1 ⎫ 时，ϕ'( x ) > 0,ϕ( x ) 单调递增；
a ⎪ ⎝ ⎭
当 x ∈⎛ - 1 , +∞⎫
,ϕ'( x ) < 0,ϕ( x ) 单调递减．
a ⎪ ⎝ ⎭
当 x → 0 或 x → +∞ 时，ϕ( x ) < 0 ，故要使ϕ( x ) 有 x 1 , x 2 两个零点，
则需ϕ⎛ - 1 ⎫
= - 2 -1 > 0 ，即-2 < a < 0 ，（10 分）
a ⎪ a ⎝ ⎭ 不妨令0 < x < - 1
< x ，
1
a
2
今函数 H ( x ) =ϕ( x ) -ϕ⎛ - 2 - x ⎫ =2 x e ax +1 +⎛ 4 +2 x ⎫e -ax -1 ⎛
0 < x < - 1 ⎫
a ⎪ a ⎪ a ⎪
，
⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
则 H '( x ) = 2 + 2ax ⎡(e ax +1 )2 -1⎤
，
e ax +1 ⎢⎣
⎥⎦
因为-2 < a < 0, 0 < x < - 1
，所以ax +1 > 0, e ax +1 >1，
a 故 H '( x ) > 0, H ( x )在⎛
0, - 1 ⎫ 上单调递增，
a ⎪ ⎝ ⎭ 又因为 H ⎛ - 1 ⎫ = 0 ，所以 H (
x ) < 0 ，即ϕ( x ) =ϕ(x
) <ϕ⎛- 2 - x ⎫ ，
a ⎪ 1 1 2 a 1 ⎪
⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 因为- 2 - x > - 1 ,ϕ( x ) 在⎛ - 1 , +∞⎫ 上单调递减， a 1 a a ⎪
⎝ ⎭
所以 x > - 2 - x ，即 x + x > - 2 ．（12 分） 2 a 1 1 2 a。