河南省卢氏一中高考数学二轮专题《立体几何》训练

河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《立体几何》专题训练

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．(2011·全国卷)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－5

2)

＝( )

A ．－12

B ．－14

C.14

D.12

解析：依题意得f (－52)＝－f (52)＝－f (52－2)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－1

2.

答案：A

2．(2011·重庆高考)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5

D ．y ＝2x

解析：依题意得，y ′＝－3x 2＋6x ，y ′|x ＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y －2＝3(x －1)，整理得y ＝3x －1.

答案：A

3．(2011·郑州模拟)把函数y ＝sin(4x ＋π

6)上的点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再把所

得到的图像向左平移π

6

个单位．所得函数图像的解析式为( )

A ．y ＝sin(2x ＋π

3)

B ．y ＝sin(2x ＋5π

12)

C ．y ＝－cos2x

D ．y ＝cos2x

解析：依题意得所得函数图像的解析式为y ＝sin[2(x ＋π6)＋π6]＝sin(2x ＋π

2)＝cos2x .

答案：D

4．(2011·合肥模拟)一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于( )

A. 3

B ．2 3

C ．3 3

D ．6 3

解析：依题意得，该几何体是底面为一个直角梯形(该直角梯形的两底边长分别是1、2，高是2)、一个侧面为等边三角形，且该侧面垂直于底面的四棱锥．由于四棱锥的高为2sin60°＝3，因此该四棱锥的体积是13×[1

2

(1＋2)×2]×3＝ 3.

答案：A

5．(2011·潍坊模拟)已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )

A ．m ∥β且l 1∥α

B ．m ∥β且n ∥β

C ．m ∥β且n ∥l 2

D ．m ∥l 1且n ∥l 2

解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”与选项D 的条件可知，由选项D 可推知α∥β.

答案：D

6．(2011·东北师大模拟)已知a 、b 、c 、d 是空间四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么( )

A ．a ∥b 且c ∥d

B ．a 、b 、c 、d 中任意两条可能都不平行

C ．a ∥b 或c ∥d

D ．a 、b 、c 、d 中至多有一对直线互相平行

解析：若a 与b 相交，则存在平面β，使得a ⊂β且b ⊂β，由a ⊥c ，b ⊥c ，知c ⊥β，同理d ⊥β，所以c ∥d .若a ∥b ，则c 与d 可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.

答案：C

7．(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )

解析：如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B .

答案：D

8．若{a n }是等差数列，公差为d .且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7的方差为4.则d 等于( ) A ．±1 B ．1 C ．2

D ．±2

解析：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7的平均值x ＝a 4.则s 2＝1

7[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2]

×2＝4d 2＝4.

∴d ＝±1. 答案：A

9．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )

A.6

3

B.255

C.155

D.

105

解析：建立如图所示坐标系，得

D (0,0,0)，B (2,2,0)，C

1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)， 则DB ＝(2,2,0)，1DD ＝(0,0,1)，1BC ＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．

∴⎩⎪⎨⎪⎧

n ·DB ＝2x ＋2y ＝0，n ·1DD ＝z ＝0.

∴取n ＝(1，－1,0)．

设BC 1与平面BD 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，1BC 〉|＝|1BC ·n ||1BC ||n |

＝

25·2

＝10

5.

答案：D

10.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在面ABC 上的射影H 必在( )

A ．直线A

B 上 B ．直线B

C 上 C ．直线AC 上

D ．△ABC 的内部

解析：∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1.又AC ⊂平面ABC . ∴平面ABC 1⊥平面ABC .

∴C 1在面ABC 上的射影H 必在两平面交线AB 上，故选A. 答案：A

二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)

11．(2011·新课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的3

16

，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．

解析：设球心为O 1，半径为r 1，圆锥底面圆圆心为O 2，半径为r 2，则有316×4πr 21＝πr 22，即r 2＝

3

2r 1

，所以O 1O 2＝r 21－r 2

2＝r 12

. 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h 1、h 2，则h 1

h 2＝r 1－

r 12r 1＋

r 12

＝13

. 答案：13

12．(2011·全国高考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．

解析：取A 1B 1的中点F ，连接EF ，F A ，则有EF ∥B 1C 1∥BC ，∠AEF 即是直线AE 与BC 所成的角或其补角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则有EF ＝2a ，AF ＝(2a )2＋a 2

＝5a ，AE ＝(2a )2＋(2a )2＋a 2＝3a .在△AEF 中，cos ∠AEF ＝

AE 2＋EF 2－AF 2

2AE ·EF

＝9a 2＋4a 2－5a 22×3a ×2a ＝23.因此，异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值是

2

3

. 答案：23

13．设m ，n 是异面直线，则：①一定存在平面α，使m ⊂α且n ∥

α

；②一定存在平面α，