【包头一中三模】内蒙古包头一中2013届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题

包头一中2013年高三年级第三次模拟考试
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，把唯一正确的答案的涂在答题卡上）
1. 已知集合A ={x |x 2+3x +2≤0}，B ={y |y =2x -1,x ∈R }，则A ∩C R B =( )
A ．φ
B ．{-1}
C ．[-2，-1]
D ．[-2,-1) 2. 对于非零向量，，“2=+”是“//”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．若复数
i
bi
++21的实部与虚部相等，则实数b 等于( ) A ．3 B. 1 C. 31 D. 2
1
-
4.下列大小关系正确的是 （ ）
A.30440433..log <<
B.30443043.log .<<
C.30440433..log <<
D.04343304.log .<<
5.右图是一个算法的流程图，最后输出的W=（ ） A ．18 B ． 16 C ．14 D ．12
6.将函数()()32sin 2--=θx x f 的图象F 向右平移
6
π
， 再向上平移3个单位，得到图象F ′,若F ′的一条对称轴方程 是4
π
=x ,则θ的一个可能取值是（ ）
A. 6π-
B. 3π
-
C.
2
π
D.
3
π
7．已知正数x ,y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-0
5302y x y x ，则y x z )21
(4⋅=-的最小值为( )
A ．1
B ．
3241 C ．161 D ．32
1
8.在三棱锥D ABC -中，已知2AC BC CD ===，CD ⊥平面ABC ,
90ACB ∠= . 若其直观图、正视图、俯视图如
图所示，则其侧视图的面积为 （ ）
A. B. 2
C.
D.
9.若直线l 被圆42
2
=+y x 所截得的弦长为32,则l 与曲线13
22
=+y x 的公共点
个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．1个或2个 D ．1个或0个
10．已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）
11．已知F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，
过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ΔABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )
A ．(1，+∞)
B ．(1,2)
C ．(1,1+2)
D ．(2,1+2) 12.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都相切，则皮球的半径为 （ ）
A ．
B ．10 cm
C ．
D ．30cm
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，将正确答案写在题中横线上）
13.已知函数x a x f 2log )(-=的图象经过点(1,1)A ，则不等式()1f x >的解集为_______
14.在△ABC 中，若a =2,b +c =7,cos B =4
1
-
,则b = 。

15． 在矩形ABCD 中，边AB,AD 的长分别为2,1.若M,N 分别是边BC,CD 上的点,
=则AN AM ⋅的取值范围是 .
16.已知数列{n a ）满足1111
,(2)2(1)
n n n n a a a a a n n n --=
-=≥-，则该数列的通项公式n a =
三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明和解题
步骤）
17. （本小题满分12分）
某单位有A 、B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点O ,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ,70BC =m ,50CA =m .假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上. (1)求BAC ∠的大小;
(2)求点O 到直线BC 的距离.
18．（本小题满分12分）
在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点. （1）求证：DE ∥平面ACF ； （2
）若,AB =
在线段EO 上是否存在点G ，
使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EG
EO
的值；若不存在，请说明理由．
A B
C
D E
F
O
19. （本小题满分12分）
一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
（Ⅰ）要从
物理成绩高于90分的概率；
（Ⅱ）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆy= bx+a．
y(物理成绩)
20. （本小题满分12分）
如图,已知点(0,1)A ，点P 在圆C ：22(1)8x y ++=上，点M 在AP 上，点N 在CP 上，且满足AM =MP ，NM ⊥AP ，设点N 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程； (2)过原点且斜率为k （k >0)的直线交曲线E 于G 、F 两点，其中G 在第一象限，它在y 轴上的射影为点Q ，直线FQ 交曲线E 于另一点H ，证明：GH ⊥GF .
21．（本小题满分12分） 已知函数1
()()a f x ax a R x
-=+
∈，()ln g x x =。

（1）若对任意的实数a ，函数()f x 与()g x 的图象在x = x 0处的切线斜率总想等，求x 0的值；
（2）若a > 0，对任意x > 0不等式()()1f x g x -≥恒成立，求实数a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22. （本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且
ABC PAC ∠=∠.
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，
5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求直径AB 的长.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆C 的方程是0422=-+x y x ，圆心为C ．在以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1
：ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点．
（1）求直线AB 的极坐标方程；
（2）若过点C (2,0)的曲线C 2
:212
x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(t 是参数)交直线AB 于点D ，交y 轴于点E ，求|CD|:|CE|的值.
24． (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()1f x x =-．
（1）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤； （2）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a .
包头一中2013年高三年级第三次模拟考试
数学试卷（文科）参考答案
一、 选择题
1-5 CAACB 6-10 BCDCA 11-12 BB 二填空题
13.(0,1) 14.4 15.[1,4] 16. 31
n
n -
三、解答题
17.
解:(1)在△ABC 中,因为80AB =m ,70BC =m ,50CA =m ,
由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=⨯⨯2228050701
280502
+-==⨯⨯
因为BAC ∠为△ABC 的内角,所以3
BAC π
∠=
(2)方法1:因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等, 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心 设外接圆的半径为R ,
在△ABC 中,由正弦定理得2sin BC
R A
=,
因为70BC =,由(1)知3
A π
=
,
所以sin A =.
所以2R ==
即R =过点O 作边BC 的垂线,垂足为D , 在△OBD 中
,OB R ==
,70
3522
BC BD ===,
所以OD ==
=
. 所以点O 到直线BC
m 18.解：（1）连OF .
由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，
所以OF ∥DE . …………………2分 又⊂OF 平面ACF ，⊄DE 平面ACF ，
所以DE ∥平面ACF . …………4分
(2) （方法一）
若⊥CG 平面BDE ，则必有使OE CG ⊥，于是作OE CG ⊥于G .
由⊥EC 底面ABCD ，所以EC BD ⊥，又底面ABCD 是正方形，
所以AC BD ⊥，又EC AC C = ，所以⊥BD 平面ACE . ………………8分 而⊂CG 平面BDE ，所以CG BD ⊥.
又OE BD O = ，所以⊥CG 平面BDE . ……………………………………10分 又CE AB 2=
，所以=
CO ,2
2
CE AB = 所以G 为EO 中点，所以
1
.2
EG EO = ………………………………………… 12分 19.解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、
43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况 (3)
分
其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、
51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况， 故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率
7
P 10
=. ………………………5分
（2）散点图如右所示. ……………………6分
可求得： x =
59795939189++++=93y =5
93
92898987++++=90， ………………8分
5
1
()()30i
i
i x x y y =--=∑
∑=-5
1
i 2
i
)
x x (=2
2222420)2()4(+++-+-=40，
30
40
b =
=0.75，
a y bx =-=20.25， ……………………………………………11分 故y 关于x 的线性回归方程是： ˆ0.7520.25y
x =+.
（20）解：
（Ⅰ）NM 为AP 的垂直平分线，∴|NA |=|NP |，
又∵|CN |+|NP |=22，∴|CN |+|NA |=22>2.
∴动点N 的轨迹是以点(01)C -，，(01)A ，为焦点的椭圆，………………………3分 且长轴长222=a ，焦距22c =，∴1,1,22===
b c a ，
∴曲线E 的方程为2
2
12
y x +=.…………………………………………………………5分
（Ⅱ）设G (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则F (－x 1，－kx 1)，Q (0，kx 1)， 直线FQ 的方程为y ＝2kx ＋kx 1， 将其代入椭圆E 的方程并整理可得 (2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 12－2＝0.
依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得
－x 1＋x 2＝21
2
424k x k
-+，即122224x x k =+. 因为点H 在直线FQ 上， 所以y 2－kx 1＝2kx 2＝
1
2
424kx k
+.…………………………………………………………9分 于是GF
＝(－2x 1，－2kx 1)， GH ＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(21
2424k x k -
+，12
424kx k +)． 而GH GF ⊥等价于22
1
2
4(22)024k x GF GH k
-⋅==+ .…………………………………12分 21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）x x g x a a x f 1
)(',1)('2=-+=
由题设知00>x ，且)(')('00x g x f =，即0
2
01
1x x a a =
-+
， ……2分 0)1()1(,01020020=-+-∴=-+-∴x x a a x ax
因为上式对任意实数a 恒成立，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴.
01,01020x x ……4分
故，所求10=x ……5分
（Ⅱ）1)()(≥-x g x f 即1ln 1
≥--+x x
a ax ， 方法一：在(0,)x ∈+∞时1ln 1
≥--+
x x
a ax 恒成立，则在1=x 处必成立，即101≥--+a a ，
故1≥a 是不等式1)()(≥-x g x f 恒成立的必要条件. ……7分 另一方面，当1≥a 时，记,ln 1
)(x x
a ax x h --+
=则在),0(+∞上，1)(≥x h 2
222)
1)(1(111)('x x a ax x a x ax x x a
a x h --+=-+-=--+= ……9分
1,0,1>-+∴>≥a ax x a
∴)1,0(∈x 时0)('<x h ，)(x h 单调递减；(1,)x ∈+∞时0)('>x h ，)(x h 单调递增
1
2)1()(min -==∴a h x h
1≥a ，112≥-∴a ，即1)(≥x h 恒成立
故1≥a 是不等式1)()(≥-x g x f 恒成立的充分条件. ……11分 综上，实数a 的取值范围是[)+∞,1 ……12分 方法二：记,ln 1
)(x x
a ax x h --+
=则在),0(+∞上，1)(≥x h )0,0()
1)(1
1(111)('2
22
2>>--+=-+-=--+=a x x x a x a x a x ax x x a a x h ……7分
① 若102a <≤
，1
11a
-+>，(0,1)x ∈时，0)('>x h ，)(x h 单调递增，012)1()(≤-=<a h x h ， 这与),0(+∞上1)(≥x h 矛盾； ……8分
② 若
1
12a <<，1011a
<-+<，),1(+∞上)(,0)('x h x h >递增，而112)1(<-=a h ， 这与),0(+∞上1)(≥x h 矛盾；……9分
③若1≥a ，01
1≤+-a
，∴)1,0(∈x 时0)('<x h ，)(x h 单调递减；(1,)x ∈+∞时0)('>x h ，)(x h 单调递增
112)1()(min ≥-==∴a h x h ，即1)(≥x h 恒成立 ……11分
综上，实数a 的取值范围是[)+∞,1 ……12分 22.（1）证明：AB 为直径，,2
π
=
∠∴ACB 2
CAB ABC π
∴∠+∠=
，
,2
PAC ABC PAC CAB π
∠=∠∴∠+∠=
,
AB AB PA ,⊥∴为直径，PA ∴为圆的切线.
……………………………4分
（2）6,5,2,3CE k ED k AE m EB m ====,
,AE EB CE ED m ⋅=⋅∴= ,
连DB,由AEC ∆∽DEB
∆3,,86BD m
BD k ∴
=∴=……………………6分 连AD,由CEB ∆∽AED ∆,BC CE
AD AE
∴=.在ABC Rt ∆，ADB Rt ∆中，
642522-=m BC ，80m 252
2-=AD ，于是有80m 2564m 2522--=59)3(2=m k ， 2=m ，10m 5==+=∴EB AE AB . ……………………………10分
23. 解：
（1）在以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,
极坐标与直角坐标有关系:222
tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
或cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， ………………………1分 所以圆1C 的直角坐标方程为03422=++y y x ， …………………………………2分 联立曲线C:0422=-+x y x ，得
1100x y =⎧⎨=⎩
或22
3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，
即不妨令(0,0),(3,A B ，从而直线AB 的直角坐标方程为
:y x =， (此处如下解法也可:联立曲线1C 与C ,消去2x 与2y 项,
0x +=)，
所以sin cos 3ρθρθ=-
，
即tan 3
θ=-， …………………………………………………………………4分 所以直线AB 的极坐标方程为6
πθ-=，R)(∈ρ. ………………………………5分 （2）（方法一）由(1)可知直线AB
的直角坐标方程为y x =， …………………6分 依题令交点D 11(,)x y
则有1111212
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
又D 在直线AB
上，所以，
111)2t =+
，解得1t =， 由直线参数方程的定义知|CD|=|1t
|=， …………………………………8分 同理令交点E 22(,)x y
，则有2222212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又E 在直线0x =
上，所以220+
=
，解得2t = 所以|CE|=|2t
|=
…………………………………………………………9分 所以|CD|:|CE|=12
. …………………………………………………………10分 （方法二）将曲线C 2
:212
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)化为普通方程
:2)y x =-， ………6分 将其联立AB 的直线方程
:3y x =-，解得
:1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
从而D (1,)3-， 再将曲线C 2与直线0x =联立,
解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
,从而
E (0,， 这样
3， ………………………………………8分
， …………………………………………9分 从而|CD|:|CE|=12
. ……………………………………………………10分 24.解: （1）由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=. 因此只须解不等式122x x -+-≤. ……………………………………………２分
当1x ≤时,原不式等价于232x -+≤,即
112
x ≤≤. 当12x <≤时,原不式等价于12≤,即12x <≤.
当2x >时,原不式等价于232x -≤,即522x <≤. 综上，原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
. …………………………………………５分 （2）由题()()f ax af x -11ax a x =---. 当0＞a 时, ()()f ax af x -1ax ax a =--- 1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =. ………………10分。