南京理工大学工程流体力学1

2.
4.
由于静止流体的压力沿表面的内法线方向作用，故
∫τFρdτ + ∫ pdS = 0
S
∫τFρdτ − ∫ pndS = 0
S
应用奥氏公式，有
∫τ(Fρ −∇p)dτ = 0
§1-1 静止流体的平衡方程
静止流体的平衡方程
由于体积τ是任取的，故被积函数为零
F=
1
ρ
∇p
欧拉平衡方程
1 ∂p X= ρ ∂x 1 ∂p Y= ρ ∂y 1 ∂p Z= ρ ∂z
dSz1 = dSz2 = dSz
∫
结论：浮力等于与物体同体积的液体的重量。
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
Sz
dP = ρg∫ (h1 − h2 )dSz 阿基米德定理 = −ρgV z
Sz
第二章 流体静力学
§1-3 标准大气
§1-3 标准大气
地球大气层的结构
地球大气层厚度约为2000～3000km。分为几层： 对流层：平均11km，空气质量 约占3/4，温度随高度而降低， 各种气象变化。 平流层：对流层之上到32km， 空气质量约占1/4，空气水平流 动，20km以下为同温层。 中间层：平流层之上到80km， 空气质量约占1/3000，温度随高 度先升后降。
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体对柱面的作用力
P = p0Sz + ρgV z
结论： p0Sz为压力p0在Sz上的作用力， 作用线通过Sz的形心； ρgV为体积V中液体的重力，作 用线通过其重心。
P = P i + Pk x z
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
浮力问题
第二章 流体静力学
§1-1 静止流体的平衡方程
§1-1 静止流体的平衡方程
静止流体中的力
质量力（体积力）：作用在流体上的非接触力，如万 有引力、电磁力、惯性力等。 表面力：由相邻流体或物体直接施加的表面接触力。 应力：单位面积上的表面力。
§1-1 静止流体的平衡方程
静止流体中的力
在一般情况下，表面力与 作用面不垂直，应力可以分解 为法向应力（正应力）和切向
§1-3 标准大气
美国标准大气
求压力和密度随 高度的变化关系。 气体静力平衡方程：
温度 压强 密度 气体常数 重力加速度 对流层（z = 0～11 km） 平流层（z = 11～20 km） （z = 20～32 km）
T0 = 288.15 K p0 = 101325 Pa = 760 mmHg ρ0 = 1.225 kg/m3 R = 287.05 kJ/kg·K g0 = 9.80665 m/s2
问题：浸没在静止液体中的物体所受液体的作用力。 研究水平分力。 在物体中取微元柱体，其 母线与x轴平行。柱体与物体表 面相交构成两个微元面积。
dSx1 = dSx2
合力为： dP = dP − dP = pdS − pdS x x1 x2 x1 x2 积分：
Байду номын сангаас
P = ∫ dP = pC (Sx1 − Sx2 ) = 0 x x
§1-3 标准大气
地球大气层的结构
地球大气层厚度约为2000～3000km。分为几层： 高温层：中间层之上到400km， 温度随高度而上升，在400km处 达到1500～1600K。高温层存在 几个电离层。 外层大气：400km以上，空气分 子有机会逃逸。
§1-3 标准大气
地球大气层的结构
§1-3 标准大气
结论：
平板面积对形心C的惯性积
P的大小等于S形心处的压力与S的乘积； P的作用线通过S的压力中心f。
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体对柱面的作用力
条件：液体受重力作用， 处于静止状态。 柱面母线与液面 平行。 取柱面上微元面积dS， 作用其上的力为：
dP = pdS
p = p0 + ρgh
T0 = 288.15 K p0 = 101325 Pa = 760 mmHg ρ0 = 1.225 kg/m3 R = 287.05 kJ/kg·K g0 = 9.80665 m/s2
T = 288.15− 0.0065z
T = 216.65K
T = 216.65 + 0.001(z − 20000)
T = 288.15 − 0.0065z
T = 216.65K
T = 216.65+ 0.001( z − 20000)
dp = −ρgdz 气体状态方程： p = RT ρ dp g =− dz p RT
将各层的温度关系 式代入，即可求得压力 和密度随高度的变化关 系。
§1-3 标准大气
作业
作业： P34
重力场中静止液体对柱面的作用力
将P力分解，z方向：
dP = pdS sin θ z
积分：
= ( p0 + ρgh)dS sin θ
P = ∫ dP = ∫ ( p0 + ρgh)dS sin θ z z
S S
= ∫ ( p0 + ρgh)dSz = p0Sz + ρg∫ hdSz
S S
= p0Sz + ρgV
由惯性矩的平行移轴定理
Iox = ICx + y S
2 C
P = ( p0 + ρghC )S = pCS
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体对平板的作用力
ρg sin αICx yf = yC + ( p0 + ρgyC sin α)S
可见 同理可得
yf > yC
ρg sin αICxy xf = xC + ( p0 + ρgyC sin α)S
§1-1 静止流体的平衡方程
欧拉平衡方程讨论
用矢径dR与欧拉平衡方程点乘
F= 1
1 ∂p ∂p ∂p 1 Xdx +Ydy + Zdz = dx + dy + dz = dp ρ ∂x ∂y ∂z ρ
只考虑不可压缩的情况。根据场论，该质量力场为有 势场，存在势函数U(x,y,z)
静止流体的特点： 质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件； 在静止流体中，等压面与等势面重合； 在静止流体中，质量力与等压面垂直。（为什么？）
pa g pa a g g pa rω2
Z = −g
Z = −g X = −a
Z = −g X = −rω2
§1-1 静止流体的平衡方程
第二章 流体静力学
§1-2 重力场中不可压缩流体的 静力平衡
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体内部的压力
条件：液体不可压缩； 处于静止状态； 质量力为重力。
z H h p g o z p0
X = 0 Y = 0 Z = −g
∂U ∂U ∂U dU = dx + dy + dz 积分 ∂x ∂y ∂z = -( Xdx +Ydy + Zdz) = gdz
美国标准大气
地球大气层的实际状态随纬度、季节、昼夜等多 种因素而变化，非常复杂。 对于工程应用，需要规定一个标准大气。此标准 大气应反映大气结构的主要特征。 美国标准大气按中纬度地区的大气统计平均值确 定（北纬45°32′42″），初值为海平面的大气特征参 数。
§1-3 标准大气
美国标准大气
温度 压强 密度 气体常数 重力加速度 对流层（z = 0～11 km） 平流层（z = 11～20 km） （z = 20～32 km）
U = gz + C
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体内部的压力
设
z =0
U =0
U = gz + C U = gz
C =0
势函数：单位质量的 重力势能
设
dp = −ρdU = −ρgdz p + ρgz = C C = p0 + ρgH z = H p = p0 p = p0 + ρg(H − z) = p0 + ρgh
Sx
结论：水平分力等于零。
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
浮力问题
问题：浸没在静止液体中的物体所受液体的作用力。 研究垂直分力，即浮力。 在物体中取微元柱体，其 母线与z轴平行。柱体与物体表 面相交构成两个微元面积。 合力为： dP = dP1 − dP 2 = p1dSz − p2dSz = ρg(h − h2 )dSz z z z 1 积分： P = z
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体对柱面的作用力
将P力分解，x方向：
dP = pdS cosθ x
积分：
= ( p0 + ρgh)dS cosθ
P = ∫ dP = ∫ ( p0 + ρgh)dS cosθ x x
S S S S
Sx对y轴的静矩
= p0Sx + ρghCSx = ( p0 + ρghC )Sx = pCSx
工程流体力学
第一章 流体静力学
第一章 流体静力学
流体静力学：研究流体在静止状态下的规律。
流体相对于某 坐标系静止 惯性的或非惯性的
流体静力学问题是流体动力学问题的特例。 流体静力学理论对理想流体和粘性流体均适用。
第一章 流体静力学
本章主要内容： 静止流体的平衡方程 重力场中不可压缩流体的 静力平衡 标准大气
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
= ∫ ( p0 + ρgh)dSx = p0Sx + ρg∫ hdSx
重力场中静止液体对柱面的作用力
P = ( p0 + ρghC )Sx = pCSx x
结论： Px的大小等于Sx形心处的压力与 Sx的乘积； Px的作用线通过Sx的压力中心。
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
∂U = −X ∂x ∂U = −Y ∂y ∂U = −Z ∂z
ρ
∇p
∂U ∂U ∂U 1 − dU = − ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz = Xdx +Ydy + Zdz = ρ dp
§1-1 静止流体的平衡方程
欧拉平衡方程讨论
dp + ρdU = 0
求P的作用点f。由合力矩定理
Pyf = ∫ ypdS
S
= ∫ y( p0 + ρgh)dS
S
= p0 ∫ ydS + ρg sin α∫ y2dS
S S
= p0 yCS + ρg sin αIox
p0 yCS + ρg sin αIox yf = ( p0 + ρgyC sin α)S
平板面积对x轴的惯性矩
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体对平板的作用力
条件：液体受重力作用， 处于静止状态。 平板在液面下， 面积S，斜角α。 取平板上微元面积dS， 作用其上的力为：
dP = pdS
p = p0 + ρgh = p0 + ρgy sin α
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体对平板的作用力
对平板积分：
P = ∫ pdS = p0S + ρg sin α∫ ydS
S S
平板面积对x轴的静矩
hCS ∫S ydS = yCS = sin α
P = ( p0 + ρghC )S = pCS
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
重力场中静止液体对平板的作用力
§1-2 重力场中不可压缩流体的静力平衡
规律：压力随深度线性变化。
重力场中静止液体内部的压力
p = p0 + ρgh
自由表面上的外加压力 液体自重引起的压力 绝对压力：以完全真空为基准的压力。 相对压力：以大气压力为基准的压力，也称表压力。 真空度：压力小于大气压力时，与大气压力的差值。 压力单位：以单位面积上的力表示：Pa、kgf/cm2等。 以液柱高表示：厘米汞柱、米水柱等。 以大气压表示：物理大气压、工程大气压。 76厘米汞柱 10米水柱
o z p n
应力（切应力）。
z p n
y x
静止流体中只存在正应力， 即压力。 静止流体中压力的值只是空
o y x
间位置和时间的函数，与作用面 的方向无关。
§1-1 静止流体的平衡方程
静止流体的平衡方程
任取一有限曲面S所包围的流体体积τ。 分析受力：作用于τ上的单位质量的质量力F； 作用于S上的单位面积的表面力p。 流体静止时合力为零：